จะว่าไปแล้วยังมีอะไรน่าคิดเกี่ยวกับจำนวนอีกเยอะเลยครับ
ในปัจจุบันขณะนี้ระบบจำนวนที่ใหญ่ที่สุดก็คือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งด้วยความที่ไม่ยอมแพ้ มนุษย์ก็สามารถหาจำนวนที่ยกกำลัง 2 แล้วติดลบได้
หลังจากที่ไม่เคยมีคนคิดว่าจะมีจำนวนแบบนี้อยู่
ถ้าคิดเล่นๆว่าเราสามารถสร้างจำนวนชนิดใหม่ที่หาคำตอบของสมการ $\frac{x}{0}=a$ ได้ และสอดคล้องกับระบบจำนวนเดิมทั้งหมด
คงจะมีอะไรใหม่ๆอีกเยอะเลยครับ(ถ้ามีจริงคงเป็นยุคที่ก้าวหน้าสุดๆเพราะว่าคงจะสร้างอะไรที่คิดว่าสร้างไม่ได้จากจำนวนพวกนี้ก็ได้)
คำถามทิ้งท้ายก่อนนอน จำนวนที่ยกกำลัด้วยจำนวนเชิงซ้อนจะหาค่าได้มั้ยครับ
อยากรู้จัง:confused::laugh:

มีโจทย์ให้ลองทำเล่นดูครับว่าวิธีที่ว่านั้น ถูกหรือไม่
จงหา $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{1+e^x})^{\frac{1}{x}}$

ได้$\frac{1}{e}$ ป่าวครับเพราะกำลังมันตัดกันอ่ะครับ

ขอโทษครับ พิมพ์โจทย์ตกไป ต้องเป็นอย่างนี้ครับ

$\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{1+e^x})^{\frac{1}{x}}$

คุณหยินหยางกำลังจะบอกว่าถ้าคิดโดยไม่เปลี่ยจะรูปจะได้ $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{1+e^x})^{\frac{1}{x}}$
เท่ากับ $0^0$ ซึ่งไม่นิยาม
แต่ถ้านำ $e^x$ มาหารทั้งเศษและส่วนก่อนก็จะได้ $$\lim_{x\to\infty}{(\frac{\frac{1}{e^x}}{\frac{1}{e^x}+1})}^{\frac{1}{x}}$$
$$=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{e}}{({\frac{1}{e^x}+1})}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$$
รึป่าวครับ

จุดประสงค์ของผมก็คือจะให้ตรวจสอบวิธีคิดที่ว่า ผมป้อน0เข้าไปแล้วรูทหลายครั้งแต่ได้0ครับ ตามที่คุณ Xx GAMMA xX แสดงไว้ว่าจริงหรือไม่ และต้องการบอกว่าคำที่ว่า $0^0$ ไม่นิยามครับแต่สามารถใช้แคลคูลัสหาลิมิตได้ครับ(มั้ง) ตกลงเป็นอย่างไรกันแน่
ลองคิดโจทย์อีกข้อดูครับ $\lim_{x \to 0^+} 0^x$ ว่าได้ค่าเท่ากับเท่าไร และที่เราพูดว่า $0^0$ คืออะไรกันแน่ ทำไมถึงบอกว่าไม่มีนิยาม หรือบอกว่าเป็น รูปแบบไม่กำหนด ตกลงมันเป็นอะไรกันแน่ แล้วถ้าเป็นไปตามหลักคิดที่ว่าโจทย์ที่ผมยกตัวอย่างทำไมถึงไม่เป็น 0 ละ แล้วถ้าอย่างนั้น มันจะมีค่าอะไรได้บ้าง แต่ทำไมถึงกดเครื่องคิดเลขทุกครั้งถึงได้แต่ 0 ละ ลองคิดดูครับ :happy: เดี๋ยวค่อยมาเสวนาใหม่ไปธุระก่อนครับ

ตามความคิดของผมแล้ว $0^0$ ไม่นิยามครับเพราะเกิดข้อขัดแย้งอยู่ 2 อย่างครับ
ถ้าคิดตามสมบัติของ 0 แล้ว 0 ยกกำลังเท่าไหร่ก็จะได้ 0 เสมอดังนั้น $0^0=0$ ด้วย
ถ้าคิดตามกฏเลขยกกำลัง จะได้ว่าจำนวนใดๆยกกำลัง 0 ได้ 1 เสมอดังนั้น $0^0=1$ ด้วย
จากข้อขัดแย้งนี้เราจึงไม่นิยามค่า $0^0$
หลักการเหมือนการพิจารณาการหารด้วย 0 อ่ะครับ
ถ้า $a\not=0 ,\frac{a}{0}=b$ จะได้ $a=b\times0 ,a=0$ ก็จะขัดแย้งกับที่กำหนดไว้
แต่ถ้า a=0 จะได้ว่า $0=b\times0$ แสดงว่า b มีได้หลายคำตอบ
นั่นคือ การหารด้วย 0 อาจไม่มีคำตอบ หรือ มีหลายคำตอบก็ได้ เราจึงไม่นิยามค่าที่หารด้วย 0 ครับ
ส่วนลิมิตนั้นเราหาค่าได้อยู่แล้วครับและก็ไม่เป็น 0 เสมอไปเพราะลิมิตเป็นแค่การเข้าใกล้เท่านั้นไม่ใช่ค่า ณ จุด x=0 ครับ
อีกอย่างการกดเครื่องคิดเลขนั้นมันจะหาค่าทุกครั้งที่เรากดคือพอเรากดรูท0 มันก็จะได้ 0 พอกดรูทอีกที มันก็คิดเป็นรูท 0อีก ก็จะได้ 0 ออกมาซึ่งจะไม่ใช่การยกกำลังซ้อนแล้วหาลิมิตครับ

สมมติให้$\frac{0}{0} =n$
จะได้$0=(0)(n) 0=0 $
ดังนั้นจึงได้$n\in R$
หรือภาษาชาวบ้านคือnเป็นอะไรก็ได้(แต่ต้องเป็นRนะ)
ดังนั้น$\frac{0}{0} $จึงไม่นิยามครับ:great:

แต่ถ้าพูดถึง$0^0=n$
$0=n^{\frac{1}{0}}$
อย่างไรต่อครับช่วยด้วย:sweat:

เอาใหม่ครับ:happy:
$lim_{x\rightarrow 0^+}{0^x}=0$ครับ
เพราะ$0^{0.001}=0และ0^{0.0001}=0$ครับ
ในนองเดียวกัน$lim_{x\rightarrow 0^-}{0^x}=0$เช่นกัน
ดังนั้น$lim_{x\rightarrow 0}{0^x}=0$

ผมก็มั่วเหมือนเดิมแหละครับไม่รู้จะถูกไหม:haha:

คิดได้ครับ เรื่องพวกนี้ส่วนมากจะพูดแค่เลขฐานเป็น e (ระดับมหาลัย)

เพราะว่า $ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $

แต่ถ้าใส่ x ด้วยจำนวนเชิงซ้อนปุ๊ป มันจะแยกเป็นสองส่วนคือ ส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ
ซึ่ง $e^{ix}$ มันบังเอิญไปเท่ากับ $cos(x)+isin(x)$ ทุกจำนวนจริง (อันนี้ผมยังไม่รู้นะครับว่ามันมายังไง :aah: )
ไม่แน่ ตรงนี้อาจเป็นที่มาของหน่วยเรเดียนก็ได้ ว่าทำไมต้องเป็นเรเดียน เพราะถ้าใส่วนรอบ $2\pi $ จะได้ค่าเดิม จึงกำหนดว่า 360$\circ$ = 2$\pi$ rad

ทีนี้ ถ้าเราต้องการเปลี่ยนเป็นฐานอื่นก็ใช้ความรู้เรื่อง log มาแก้เอาครับ ไม่ยากมาก :)
และก็ เตื่อนอย่างนึงว่า การแก้สมการที่ได้เลขยกกำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน จะหาคำตอบออกมาได้หลายค่า (คล้ายกับการแก้สมการ $sin\theta = \frac{1}{2} $)

เพิ่มเติมนิดนึง เวลาเราพูดถึงเอกซ์โปเนนเชียลที่ยกกำลังด้วยจำนวนจริง ฟังก์ชันจะมีโดเมนเป็นจำนวนจริงบวก
หรือพูดง่ายๆคือ ถ้าแก้สมการแล้วได้เลขยกกำลังมีค่าติดลบ เราจะตัดคำตอบนั้นทันที
แต่ถ้าใช้ความรู้เรื่องนี้เข้ามาช่วยแล้ว ก็ไม่ยากที่จะแก้สมการออกมาเป็นจำนวนเชิงซ้อนหรอกครับ :)

เกือบถูกแล้วครับ เพราะข้อนี้ต้องตอบว่า หาค่าไม่ได้ จากความรู้เรื่องลิมิต
อย่างแรก แน่นอนอยู่แล้วว่า ถ้า $x>0$ แล้ว $0^x = 0$ เสมอ ดังนั้น $\lim_{x \to 0^+} 0^x = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$
แต่ว่า $\lim_{x \to 0^-} 0^x$ มีค่าเข้าใกล้ infinity นะครับ ไม่ใช่ 0 เพราะ $0^{-0.0001} = \frac{1}{0^{0.0001}} = \frac{1}{0} $ (ซึ่งไม่นิยาม แต่ถ้าใช้ลิมิตจะได้ infinity)
แสดงว่า ลิมิตสองข้างไม่เท่ากัน เมื่อไม่เท่ากันเรานิยามทันทีว่าลิมิตหาค่าไม่ได้ (ไม่ได้แปลว่า infinity นะครับ)

ลืมพูดถึงอันนี้ไปเลย ที่มันได้ 1 น่ะ เพราะขีดจำกัดในการแสดงผลทศนิยมของเครื่องคิดเลขมากกว่า
สมมติเรามีเครื่องคิดเลขที่กดเลขได้ 100 หลักขึ้นมา กว่าเราจะกดรูทให้ได้ 1 ก็ต้องใช้เวลานานกว่าเครื่องคิดเลขที่เราใช้อยู่แล้ว
เพราะมันจะแสดงผลต่ำลงไปเรื่อยๆ หรือในขณะที่เครื่องร้อยหลักได้เลข 0 หลังจุดทศนิยมมากๆแล้ว เครื่องคิดเลขเราก็ปัดทิ้งกลายเป็น 1 ไปซะแล้ว
นี่แหละคือขีดความสามารถของเครื่องคิดเลข :sweat:

ขอบคุณมากครับ แต่ก็ยัง งงๆอยู่ว่า $e^x=cos x+i sin x$ ทุกจำนวนจริงนี่ ถ้า $x=\frac{\pi}{2}$ ก็จะได้$e^{\frac{\pi}{2}}=i$ คือเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่ $e^{\frac{\pi}{2}}$ น่าจะเป็นจำนวนจริงนะครับ หรือเป็นจำนวนเชิงซ้อนจริงๆ
เลยเกิดคำถามขึ้นอีกว่า จำนวนจริงยกกำลังด้วยจำนวนอตรรกยะจะเป็นจำนวนจริงอยู่มั้ยครับ

ตอบคำถามคาใจอีกนิดนึง $0^0$ นั่นคือ เราพูดถึงตัวเลขแบบสดๆดิบๆ
ส่วนลิมิตของตัวๆหนึ่งซึ่งถ้าแทนค่าแล้วได้ $0^0$ อันนี้เราพูดถึง ค่าของตัวเลขที่เข้าใกล้ $0^0$
แล้วไม่ได้แปลว่าลิมิตของฟังก์ชันหลายๆฟังก์ชันที่แทนค่าได้ $0^0$ จะมีค่าเป็น 0 เสมอไปนะครับ (งงป่าวเอ่ย)

เช่น $\lim_{x \to 0} x^x =1$

เมื่อกี้เขียนผิดครับ แก้ไขให้แล้ว e ต้องยกกำลังด้วย ix ไม่ใช่ x ครับ :wacko:

นายแน่มาก :great:
ที่เรามักพูดว่า $0^0$ นั้นมีอยู่ 2 กรณีด้วยกันครับ กรณีแรก คือไม่มีนิยาม เราใช้กรณีนี้เมื่อ 0 ตรงฐาน และตรงเลขยกกำลังนั้นมีค่าเป็น 0 ไม่ใช่เข้าใกล้ 0 เหตุที่เราไม่นิยามเพราะมันทำให้เกิดข้อขัดแย้งได้ในทางคณิตศาสตร์ หรือพูดง่ายๆก็คือไปขัดแย้งกับกฎเกณฑ์ที่ใช้กันในคณิตศาสตร์ อีกกรณีก็คือ อยู่ในรูปแบบไม่กำหนด (หรือ indeterminate form) เราจะพบมันได้ตอนเรียนแคลคลูลัส ซึ่ง 0 ตรงฐาน และตรงเลขยกกำลังนั้นมีค่าเข้าใกล้ 0 ไม่ใช่ ศูนย์ และด้วยเหตุนี้มั้งครับถึงได้ชื่อว่า indeterminate form (เพราะเรายังไม่สามารถกำหนดค่ามันได้ก่อน) เพราะต้องใช้เรื่องลิมิตในการหาค่าที่ว่าก่อนซึ่งค่าที่ได้ก็ขึ้นอยู่กับรูปแบบของโจทย์ อาจหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้ก็ได้ ภาษาไทยจึงใช้คำว่า รูปแบบไม่กำหนด
ส่วนในกรณีของเครื่องคิดเลข ตรงฐานนั้นเป็น 0 ไม่ใช่เข้าใกล้ 0 ดังนั้นยกกำลังอะไรที่เป็นจำนวนจริงบวกก็เป็น 0 ครับ ซึ่งเมื่อเรากดเครื่องคิดเลข
$\sqrt{0} =0$ ดังนั้นไม่ว่าเราจะกดกี่ครั้งก็เป็น 0 อยู่ดีครับ เหมือนที่คุณ poper ได้แสดงความเห็นไว้ครับ
โจทย์ที่ผมให้ไว้ก็เพื่อให้เห็นรูปแบบต่างๆ ของ $0^0$ แค่นั้นเองครับ แล้วเคยสงสัยมั้ยครับว่าทำไมพออยู่ในรูปแบบไม่กำหนด เราถึงต้องใช้กฎของโลปิตาลมาช่วย และทำไมเวลาใช้ ถึงดิฟเศษ กับดิฟส่วน แยกจากกัน ทำไมไม่ดิฟ เศษส่วนเหมือนกับเวลาเราดิฟ ฟังก์ชั่นเศษส่วนทั่วไปครับ ลองคิดมันๆดูครับ :D