Equivalent expressions

If X is a domain of x and P(x) is a predicate dependent on x, then the universal proposition is expressed in Boolean algebra terms as
$\forall x\in X, P(x) \equiv \{x\in X\} \rightarrow P(x) \equiv \{x\notin X\} \vee P(x)$,
which equivalently reads "if x is in X, then P(x) is true." If x is not in X, then P(x) is indeterminate. Note that the truth of the expression requires only that x be in X, so it can be any x in X, independent of P(x), whereas the falsity of the expression, or the truth of
$\{x\in X\} \wedge \neg P(x)$,
additionally requires that x be such that P(x) evaluates to false; this is the reason behind calling x a "bound variable." This last expression can thus be read as "for some x in X, P(x) is false," or "there exists an x in X such that P(x) is false." So, we now have the equivalent Boolean expression for the existential proposition:
$\exists x\in X : P(x) \equiv \{x\in X\} \wedge P(x)$.

See also:Quantification

เนื่องจากผมเองเขียนอธิบายไปแล้วนะครับ ว่าการนิยาม for all แปลงเป็นถ้าแล้ว และ for some แปลงเป็นและ มีความสมมูลกันในแง่ logic ซึ่งก็นิยามแบบอื่นได้อีก ไม่มีอะไรขัดแย้งเช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้เห็นความชัดเจนกว่านี้จะพูดถึงข้อเสียของการแปลงไปเป็นรูป logic แทนว่าจริงๆแล้วมันไม่ equivalent กันซะทีเดียว

อ้อ สังเกตว่า ใน wiki ต่างจากหน้าที่แล้วเล็กน้อยตรง ไม่กำกับ for all, for some อีกแล้วหลังจากแปลงเป็น logic ซึ่งการละนั้น เช่นการเขียน $\{x\in X\}$ เข้าใจว่าหมายถึง for all x in X นะครับ (ตรงกับ convention ที่ใช้กันทั่วไป)

ก่อนอื่นขอพูดถึง ผลเสียของการดึง set ใน for all, for some ที่ทำหน้าที่เหมือนเป็น Universe ที่จะพิจารณาของเรา เข้ามาใน logic ทำให้เกิดความหละหลวมขึ้น (เพราะตัด Universe ทิ้งไปแล้ว)
อย่างประโยคสัญลักษณ์แรกที่เขียน $\{x\in X\} $ ตรงนี้ยังไม่มีปัญหาเท่าไรเพราะอยู่ต่ำแหน่ง hypothesis ของ logic ถ้าแล้ว แต่สิ่งที่ตามมาก็คือ พอเปลี่ยนเป็น equivalent expression ซึ่งมี $\{x\notin X\} $ โผล่มาปัญหาจะเริ่มเกิดแล้ว เพราะไม่รู้ว่า Universe คืออะไร แล้วจะพิจารณาข้อความ "x ไม่อยู่ใน X" จากอะไร เช่น X=เซตของจำนวนจริง การที่บอก "x ไม่อยู่ที่ X" หมายถึงสิ่งต่างๆมากมาย เช่น x อาจจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรืออื่นๆที่ไม่ใช่ตัวเลขก็ยังได้ แล้วใครจะรู้ว่าเราพูดถึงอะไร :confused:
กลับกัน ถ้ามี Universe ให้พิจารณาตีกรอบสิ่งที่สนใจไม่เข้ามามั่วกับ logic ใน Universe ประโยค "x ไม่อยู่ใน X"
ก็จะมีความหมายขึ้นมา นั่นคือ "x ใน Universe แต่ไม่อยู่ใน X" นั่นเอง

ต่อมาจะแสดงให้เห็นความผิดปกติที่เกิดขึ้น เนื่องจากการละเลย Universe เพื่อความชัดเจนผมขอใช้สองตัวแปรนะครับ
ลองพิจารณา well-known fact ที่ว่า $[\forall x,y\in \mathbf{R} , xy\not= yx] \equiv F$ ; R=real number
แต่ถ้าเราลองใช้ความ equivalent ตาม wikipedia ที่คุณเล็กแนะนำมา จะได้
$\forall x,y\in \mathbf{R} , xy\not= yx $
$\equiv \{x,y \notin \mathbf{R} \} \vee \{xy\not= yx\} $
ซึ่งประโยคหลังสุดเรานึกตัวอย่างค้านได้ง่ายๆ
เช่น ให้ x,y เป็น Matrix 2x2 จะใดๆ ซึ่งแน่นอนว่า เมทริกไม่ได้อยู่ใน R และ Matrix ไม่มีสมบัติสลับที่การคูณ
ดังนั้นประโยคบนจะได้
$\equiv T \vee T $
$\equiv T $
ซึ่งขัดแย้งกับประโยคแรกสุด ที่เป็น well-known fact ว่า false

ดังนั้นจะเห็นได้ว่า Universe ที่พูดถึงมีความสำคัญมาก ไม่ควรยุบเข้ามาไว้ใน Logic เป็นอย่างยิ่ง(ตามที่ wikipedia อ้างว่าเป็น equivalent expression) :blood:

ผมคิดว่า ถ้า for all, for some, universe สามารถแปลงเป็น logic ได้อย่างสมบูรณ์แบบ นักคณิตศาสตร์คงไม่ต้องเสียเวลานิยามขึ้นมาใหม่ให้วุ่นวายนะครับ

การพิสูจน์ โดยใช้การหานิเสธ แล้วบอกว่าไม่ขัดแย้งกัน ดังนั้นจะเขียนแบบใดก็ได้ ผมคิดว่าไม่ถูกครับ

ตรรกวิทยา เป็นเรื่องของการให้เหตุผล

ลองคิดดูครับว่า ถ้ากำหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของสิ่งที่มีชีวิตในโลกนี้

ข้อความ "คนทุกคนเป็นลิง" ต้องเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์อย่างไรครับ

เดี๋ยวขอทวนจุดประสงค์ของผมอีกทีนะครับ กลัวเดี๋ยวจะออกทะเลไปไกล ผมต้องการบอกว่า การดึง for all, for some, universe แบบใน คห ที่ 8 ที่คุณเล็กแสดง ยังบอกไม่ได้บอกเป็นวิธีที่ถูกต้อง 100% ถึงจะมีความ consistent ส่วนที่ถูกคืออะไร ซึ่งหลังจากผมลองไปค้นๆดูพบว่า
http://en.wikipedia.org/wiki/Logic
มี 4 คุณสมบัติที่สำคัญในการสร้าง logical system ขึ้นมาคือ 1.consistency 2.validity 3.soundness 4.completeness
ซึ่งถ้ามีครบแปลว่าการใช้แบบคุณเล็กแนะนำนั้นดีมาก ไร้ข้อกำกวม ใช้ได้ดีในบริบทหนึ่งๆ(ในsystem ที่คุณเล็กสร้างมาเอง) แต่ก็ยังสรุปไม่ได้ว่าใช้ได้ดีกับทุก field ทุกเรื่องอื่นๆ

มาถึงคำถามของคุณเล็กบ้าง
ให้ U=เซตของสิ่งมีชีวิตบนโลก, H=เซตของคน, M=เซตของลิง
$\forall x\in U, x\in H\rightarrow x\in M $
ซึ่งเปรียบเหมือน $\forall x\in U, P(x)$
แต่ผมไม่ได้บอกว่ามันจะสมมูลกับ $\forall x, x\in U \rightarrow P(x)$ เสมอ แบบไร้ข้อขัดแย้งนะครับ(ดังที่แสดงไปแล้วในความเห็นก่อนหน้านี้ ความผิดปกติที่เกิดขึ้นเมื่อ Universe หายไปกลายเป็นเซตธรรมดาใน logic)

จริงๆถ้าคุณเล็กสนใจตรรกวิทยาจริงๆ ก็น่าจะพอมองออกได้ว่า mathematical logic มันไม่ได้เหมือนกับ logic ที่ใช้กันในชีวิตประจำวันสักเท่าไร เพราะ mathematical logic นั้นสร้างมาเพื่อใช้ในระบบของคณิตศาสตร์ มีคุณสมบัติที่สำคัญคือช่วย proof เรื่องต่างๆในคณิตศาสตร์ได้ สร้าง foundation ให้ mathematics
จุดต่างกันบางส่วนที่ผมพบก็เช่น logic ถ้าแล้ว คณิตศาสตร์บอก $T\rightarrow T\equiv T$
นั้นแสดงว่า ถ้าเราเอา tautology ใดๆสองอันมาเชื่อมกัน เช่น ถ้าคนบางคนเดินได้แล้วแมวบางตัวก็เดินได้ด้วย เป็นประโยคที่จริง สมเหตุสมผลตาม logic ถ้าแล้วในคณิตศาสตร์ ซึ่ง logic ในชีวิตจริงเรา ไปถามใครก็คงส่ายหน้าเพราะไม่มี logic เอาซะเลย
หรือเรื่องตัวเชื่อม หรือ (or) ในคณิตศาสตร์หมายถึง inclusive or แต่ในชีวิตจริงเราบางครั้งเราก็หมายถึง inclusive or บางครั้งก็หมายถึง exclusive or (T ทั้งคู่ไม่ได้ให้เลือกอันใดอันหนึ่ง)
อีกเรื่องคือการ proof by contradiction ในคณิตศาสตร์ สามารถเอาใช้พิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับการมีอยู่ได้
แต่ในชีวิตจริงมันจะ logical รึเปล่า? เหมือนกับการบอกว่า มันมีเพราะมันไม่มี หรือเพราะเราไม่รู้จริงๆกันแน่ว่ามันมีหรือไม่มี
หรืออย่างใน experimental science เวลาจะสรุปอะไรสักอย่าง เราก็ทำการทดลองหลายๆ(เช่น ในฟิสิกส์)ครั้งภายใต้สถานการณ์หนึ่งๆจนได้ข้อสรุปว่า สิ่งนั้นเป็นอย่างนั้นอย่างนี้ แต่ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะข้อความที่อยู่ใน infinite set ไม่ว่าจะทดลองกี่ตัวอย่างก็สรุปข้อความที่สนใจไม่ได้เพราะเป็นแค่ example
ดังนั้นมี gap อยู่ระหว่างความแตกต่างของตรรกะ ในแต่ละ field การที่พยายามยกตัวอย่างข้อความในชีวิตจริงเพื่อมาใช้เรียน logic ในศาสตร์อื่นๆ เช่นในที่นี้คือ mathematical logic ก็เป็นวิธีที่ดีเหมาะสำหรับผู้เริ่มต้นให้เห็นความเชื่อมโยง ความสอดคล้องกันในระดับหนึ่งกับ logic ในชีวิตประจำวัน แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าเรามาใช้ตรรกะในชีวิตประจำมาคอยพิสูจน์ตรรกะที่เค้าตั้งกันใน field อื่นนะครับ (ไม่งั้น mathematical logic คงไม่ต้องมีกัน เถียงกันตายก่อน)

ถ้าเป็นผมเขียน ผมจะเขียนว่า " ซึ่งเปรียบเหมือน $\forall x\in H, x\in M$ " ครับ

ป.ล. ผมคิดโดยใช้หลักการแค่ชั้น ม.ปลาย เท่านั้นครับ ถ้าสูงกว่านี้ผมความรู้ไม่ถึงจริง ๆ ครับ ขอบคุณ คุณ t.B. ที่ช่วยแนะนำครับ

มีความแตกต่างกันระหว่าง
$\forall x\in U, x\in H\rightarrow x\in M$ กับ $\forall x\in H, x\in M $

ต่างกันตรงที่
อันแรกใช้ logic ถ้าแล้ว หมายถึงว่า พิจารณาแต่ละตัวในเซต U ถ้า x อยู่ในเซตของคน แล้ว x จะอยู่ในเซตของลิงด้วย
นั่นหมายความว่า ถ้าข้อความนี้จริง การมีข้อมูลว่า x เป็นคนแล้วจะบอกว่า x เป็นลิงได้ด้วย
แต่ถ้าข้อความนี้เป็นเท็จนั่นคือยังบอกไม่ได้ว่าการรู้ว่า x เป็นคน x จะต้องเป็นลิง
ถ้า x ไม่เป็นคน logic นี้ในก็กลายเป็น $F\rightarrow ??\equiv T$ นั่นคือรู้ว่า x ไม่เป็นคนข้อความนี้ก็ไม่มีอะไรผิดอยู่ดี

กลับกัน $\forall x\in H, x\in M $ ยังไม่ได้ใช้ logic เกี่ยวกับ implication, และ,หรือ ใดๆ เป็นข้ออ้างขึ้นมาเฉยๆ ซึ่งหมายถึง พิจารณาแต่ละคนในเซต ดูว่าเป็นลิงด้วยมั้ย? ซึ่งถ้าเป็นลิงกันทุกคนข้อความนี้ก็จริง ถ้าไม่ทุกคนข้อความนี้ก็เท็จ แต่ไม่ได้แสดง implication ใดๆ ว่าการรู้ x เป็นเซตของคน จะไปพูดอะไรเกี่ยวกับลิงได้รึเปล่า
และในกรณี x ไม่อยู่ในเซตคนเราไม่ได้พิจารณา ดังนั้นจึงบอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จต้องมาดูกันอีกทีว่าเวลา x ไม่ใช่คนแล้วจะเกิดไรขึ้น อาจเป็นลิงไม่เป็นลิงก็ได้ (ในขณะที่กรณีบนเราสามารถบอกได้ว่า ข้อความของเราไม่ผิด เพราะเราสมมติว่า "ถ้า" เป็นคน)

เพื่อให้เห็นการใช้งานของ logic ที่ชัดเจนว่ามันแตกต่างกันพอสมควร ลองดูอีกประโยคในชีวิตประจำวันที่ชัดเจนกว่า
เช่น ผมพูดว่า ถ้าใครกินข้าวแล้วไปล้างจานด้วย เป็นการสร้างเงื่อนไขขึ้นมาให้ทุกคนรู้ว่า "ถ้า"เมื่อไรกินข้าวต้องล้างจาน ใครไม่ล้างก็จะผิด ปกติเราใช้ได้ทั้งตอนก่อนกินหลังกินหรือแม้แต่ระหว่างกิน
ในขณะที่ ถ้าใช้การกล่าวอ้างแบบ $\forall x\in H,x\in M$ ถ้าประโยคเป็นจริง ก็คือการบอกว่า แต่ละคนที่กินข้าวทุกคนล้างจานกันหมด(ดูจากเหตุการณ์เกิดขึ้นไปแล้ว) แต่ถ้าไม่จริงก็คือบางคนไม่ได้ล้างจาน(ดูจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไปแล้ว) ถ้าเหตุการณ์ยังไม่เกิดก็คือยังไม่มีคนที่กินข้าวให้พูดถึงเลย แล้วจู่ๆมาพูดแบบนี้ คนอื่นอาจจะงงว่าต้องการสื่ออะไร ไม่ make sense (แต่อาจมีกรณีอื่นที่ใช้ได้)

อีกนัยนึงของการ implication คือ มีเหตุไปผล(เหตุ $\rightarrow $ผล) เวลาเราพูดในชีวิตจริง คือ ผู้พูดเชื่อหรือรู้ว่ามันมีความสัมพันธ์อะไรกันบางอย่างแน่นอนภายใต้สถานการณ์ที่เราพูด เช่น ถ้าใครสูบบุหรี่จะเป็นโรคมะเร็ง
ต่างกับการบอกว่า ในกลุ่มของคนที่สูบบุหรี่ คนกลุ่มนี้เป็นโรคมะเร็ง
เหมือนกับการพูดว่า ในกลุ่มA, มี B อยู่ แต่ตัว B อาจจะมาจาก C,D,E,F ที่อื่นโดยไม่เกี่ยวกับ A เลยก็ได้ แต่ implication A->B หมายถึงการรู้ข้อมูล A จะสามารถสรุป B ได้แน่นอน

กลับมาที่ "คนทุกคนเป็นลิง" ก็ต้องดูว่าคนพูดต้องการบอกแบบนัยไหน บอกเล่าเฉยๆ(คนอาจถูกจับฉีดยากลายร่างเป็นลิงหมด) หรือ implication(มี DNA อะไรบางอย่างในคนที่เหมือนกับลิงเลยบอกได้ว่า ถ้ารู้ว่าเป็นคนจะต้องเป็นลิงด้วย)

สรุปคือคุณ t.B. บอกว่าการเขียน $\forall x \in A \left[ x \in B \right]$ และ $\exists x \in A \left[ x \in B \right]$ นั้น สามารถตีความได้ 2 แบบที่ไม่ขัดแย้งกันเลยคือ

• แบบที่ 1
  \[\begin{array}{rcl}
  \forall x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \forall x \left[ x \in A \rightarrow x \in B \right] \\
  \exists x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \exists x \left[ x \in A \wedge x \in B \right]
  \end{array}\]
• แบบที่ 2
  \[\begin{array}{rcl}
  \forall x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \forall x \left[ x \in A \wedge x \in B \right] \\
  \exists x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \exists x \left[ x \in A \rightarrow x \in B \right]
  \end{array}\]

โดยไม่ขัดแย้งในที่นี้หมายความว่า การตีความนั้นต้องทำให้ได้สมบัติ 2 ข้อนี้เป็นจริง
\[\begin{array}{rcl}
\sim \left( \forall x \in A \left[ x \in B \right] \right) & \equiv & \exists x \in A \left[ x \not\in B \right] \\
และ \sim \left( \exists x \in A \left[ x \in B \right] \right) & \equiv & \forall x \in A \left[ x \not\in B \right]
\end{array}\]
ส่วนจะตีความออกมาถูกใจเราหรือเปล่านั่นเป็นอีกเรื่องหนึ่ง :)

เข้าใจว่าโดยทั่วไปแล้วเราเลือกที่จะตีความแบบที่ 1 เพราะเราจะนำมาใช้เกี่ยวกับพวกทฤษฎีบทต่างๆ ที่มักเขียนเป็น $\forall x \left[ P(x) \rightarrow Q(x) \right]$ หรือ $\exists x \left[ P(x) \wedge Q(x) \right]$

ตัวอย่างของการเขียนประพจน์แบบที่ 2 แล้วเกิดปัญหา ก็คือประพจน์อันหนึ่งที่เพิ่งจะถกกันไปไม่นาน $\exists x \left[ (x^2 < 4) \rightarrow (x < -2) \right]$ :cool:
อ่านผ่านๆเหมือนประพจน์นี้จะเป็นเท็จใช่ไหมครับ "มี $x$ อยู่ตัวหนึ่ง ซึ่งถ้า $x^2 < 4$ แล้วจะได้ว่า $x < -2$"
เรามองหา $x$ ทุกตัวซึ่งทำให้ $x^2 < 4$ จริงแล้วทำให้ $x < -2$ ด้วยไม่พบเลยสักค่าเดียว ก็ควรจะสรุปว่าประพจน์นี้เป็นเท็จใช่ไหม
แต่เนื่องจาก $\left[ P(x) \rightarrow Q(x) \right]$ ถ้าเริ่มจากเท็จ ($F$) แล้วสรุปว่าจริง ($T$) ได้ทันที
ดังนั้นยกตัวอย่าง $x = 3$ ก็พิสูจน์ได้แล้วว่าประพจน์นี้เป็นจริง :blood:
มองแล้วขัดกับสามัญสำนึก แต่ถ้าต้องการให้ได้ผลลัพธ์ตามสามัญสำนึก ต้องเขียนประพจน์นี้เป็น $\exists x \left[ (x^2 < 4) \wedge (x < -2) \right]$

ส่วนตัวแล้วผมเห็นว่า พึงหลีกเลี่ยงการเขียนแบบนี้ เพราะ การเขียนเพียงแค่ $\forall x \left[ P(x) \right]$ หรือ $\exists x \left[ P(x) \right]$ นั้นเข้าใจตรงกัน
แต่ทำไมเพียงแค่เพิ่มเงื่อนไขเข้าไปนิดหน่อยเป็น $\forall x \in A \left[ P(x) \right]$ หรือ $\exists x \in A \left[ P(x) \right]$ กลับทำให้ข้างใน $\left[ \cdots \right]$ กลายเป็นคนละรูปแบบไปเลย ไม่ว่าจะเลือกรูปแบบไหนก็ตาม :rolleyes:

ได้ความเข้าใจมากเลยครับทั้งสามท่าน ตัวอย่างที่คุณTOPเอามายกตัวอย่างก็เป็นผมอีกแหละครับที่เอาไปโพสถาม จากข้อสอบโควตามช.ปี51
ผมตอบไม่ตรงกับหนังสือเฉลยสักเล่มเลย....โควตามช.2551 ข้อ6 ตอนที่2

ผมคิดว่าเขียนแบบอื่นก็ได้อีกครับ(ในกรณีที่เชื่อว่ามีการแปลงได้) แต่ logic อาจจะซับซ้อนกว่าสองอันบน กรณี for all แปลงเป็น และ for some เป็นถ้าแล้ว มันดูง่ายสุดผมเลยยกตัวอย่างเพิ่มมาเฉยๆ

จริงๆแล้วผมต้องการบอกว่า ผมไม่คิดว่าจะมีการแปลงส่วนของ for all,for some กลายมาเป็น logic ใดๆในประโยคที่ตามมาทั้งสิ้นครับ คือมันมีความหมายของมันเองอยู่แล้ว หมายถึง พิจารณาทุกตัวในเซตที่...(สำหรับ forall) และ พิจารณาบางตัวในเซตที่...(สำหรับ for some) ส่วนทฤษฏีทั้งหลายที่ เขียน for all, for some นำหน้า แล้วจะตามด้วย logic อะไรก็แล้วแต่ (ไม่ว่า for all จะใช้และหรือถ้าแล้วก็ต่อเมื่อหรืออื่นๆ และ for some ก็ด้วย) นั่นก็คือ การเขียนเพราะคนเขียนต้องการสื่อออกมาแบบนั้น ไม่ได้เขียนมาจากการแปลงโดยเอา Universe เข้าไปร่วมแจมใน logic อีกที