ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon (ข้อความที่ 127964) ข้อที่.? Solution พิจารณาสมการ $\sin 3A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ จะได้ว่า $\sin A = \sin \frac{\pi}{9}, \sin \frac{7\pi}{9}, \sin \frac{13\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ ให้ $\sin A = x$ แล้วจะได้ว่า $3x-4x^3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ให้ $y= \frac{1}{x^2}$ แล้วจัดรูปจะได้สมการ $3y^3-36y^2+96y-64=0$ ดังนั้น ผลบวกของรากจะเท่ากับโจทย์ $=-\frac{-36}{3}=12$

$$z^4-z^3+z+1=0$$
$$z^2-z+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0$$
$$(z-\frac{1}{z})^2-(z-\frac{1}{z})+2=0$$
$$z-\frac{1}{z}=\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}$$
$$z^2-2+\frac{1}{z^2}=\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{2}$$
$$z^2+2+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2=\frac{5\pm\sqrt{7}i}{2}$$
$$|z+\frac{1}{z}|^2=\sqrt{8}$$
$$|z+\frac{1}{z}|=\sqrt[4]{8}$$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik (ข้อความที่ 127974) Solution 33. $$z^4-z^3+z+1=0$$ $$z^2-z+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0$$ $$(z-\frac{1}{z})^2-(z-\frac{1}{z})+2=0$$ $$z-\frac{1}{z}=\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}$$ $$z^2-2+\frac{1}{z^2}=\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{2}$$ $$z^2+2+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2=\frac{5\pm\sqrt{7}i}{2}$$ $$|z+\frac{1}{z}|^2=\sqrt{8}$$ $$|z+\frac{1}{z}|=\sqrt[4]{8}$$

สังเกตว่า
$$\cos\frac{2\pi}{3}=4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{4\pi}{3}=4\cos^3\frac{4\pi}{9}-3\cos\frac{4\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{8\pi}{3}=4\cos^3\frac{8\pi}{9}-3\cos\frac{8\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
นั่นคือ $\cos\frac{2\pi}{9},\cos\frac{4\pi}{9},\cos\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ (สังเกตว่ามีสามรากพอดี)
$$4x^3-3x+\frac{1}{2}=0$$
จากสมการดังกล่าวจะได้ว่า
$$(4x^3-3x)^2=\frac{1}{4}$$
$$16x^6-24x^4+9x^2=\frac{1}{4}$$
จะได้ว่า $\cos^2\frac{2\pi}{9},\cos^2\frac{4\pi}{9},\cos^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16y^3-24y^2+9y=\frac{1}{4}$$
และได้ว่า $1-\cos^2\frac{2\pi}{9},1-\cos^2\frac{4\pi}{9},1-\cos^2\frac{8\pi}{9}$
หรือ $\sin^2\frac{2\pi}{9},\sin^2\frac{4\pi}{9},\sin^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16(1-y)^3-24(1-y)^2+9(1-y)=\frac{1}{4}$$
$$64y^3-96y^2+36y-3=0$$
และจะได้ว่า $\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}$ เป็นรากของสมการ
$$64(\frac{1}{y})^3-96(\frac{1}{y})^2+\frac{36}{y}-3=0$$
$$3y^3-36y^2+96y-64=0$$
โดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์จะได้ว่า
$$\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}=12$$

วาดแผนภาพในการหยิบแต่ละครั้ง

$$\bullet \cases{w & \cases{w(*) \cr w(*) \cr b \cr b} \cr w & \cases{w(*) \cr w(*) \cr b \cr b} \cr b & \cases{w \cr b(**) \cr b(**) \cr b(**)}} $$
โดยหลักแรกคือการหยิบลูกบอลจากกล่ิองแรกใส่กล่องสอง หลักที่สองคือกาหยิบจากกล่องสองใส่กล่องแรก

ถ้าหลักแรกเป็น $w$ แสดงว่าในกล่องที่เหลือมี $w,b$

วิธีที่เราต้องการคือได้ $w$ คืนมา ซึ่งก็คือวิธีที่ทำเครื่องหมาย $(*)$ ไว้

ในทำนองเดียวกับ $b$ ที่ทำเครื่องหมาย $(**)$ ไว้

ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับ $\frac{7}{12}$

กำหนดให้ $c=x$ จะได้ว่า $b=x-1,a=x-2$ (เพื่อความง่ายต่อการกระจาย)
เนื่องจากลำดับดังกล่าวเป้นลำดับเรขาคณิตจะได้ว่า
$$(x-2)(x+p)=(x+9)^2$$
$$(p-20)x=81+2p$$
$$x=\frac{81+2p}{p-20}=2+\frac{121}{p-20}$$
เนื่องจาก $x\in I$ จะได้ว่า $\frac{121}{p-20}\in I$ หรือ $(p-20)|121$
จะได้ว่า $p-20=\pm1,\pm11,\pm121$
หรือ $p=19,31,-101$ (จำนวนเฉพาะเป็นลบได้อ้างอิงจากตำรา สอวน. $p\in P\rightarrow -p\in P$)
และได้ $x-2=-121,11,-1$
ดังนั้น
$$a=-1,11,-121$$

พิจารณาขอบเขตของ arcsine และ arccosine นำมาใช้กับโจทย์,
$$-\pi \le 2 \arcsin \alpha \le \pi$$ $$\pi \le 2 \pi - \arccos \beta \le 2 \pi$$
แต่ LHS=RHS ดังนั้น สมการจะเกิดได้เพียงกรณีเดียวคือ LHS=RHS=$\pi$
จึงได้ระบบสมการที่เกิดพร้อมกัน (ค่า $x$ เดียวกัน) คือ
$$\arccos (x+a_n) = \pi$$ $$\arcsin (x+a_{n+1})=\frac{\pi}{2}$$
หรือก็คือ (take sine, cosine)
$$x+a_n=-1$$ $$x+a_{n+1}=1$$
$$\therefore a_{n+1}-a_n=2$$ $$a_{n+1}=a_n+2$$
ได้รูปทั่วไปคือ $a_n=2n-1$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2i-1} - \frac{1}{2i+1}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\frac{1}{2}$$
จบ เย่ :)