|
อ้างอิง:
กรณีที่ 1. 0, 0, 0, 0, 0 เลือกได้ $\binom{5}{5} = 1$ วิธี กรณีที่ 2. 0, 0, 0, 1, 2 เลือกได้ $\binom{5}{3}\binom{5}{1}\binom{5}{1} = 250$ วิธี กรณีที่ 3. 0, 0, 1, 1, 1 เลือกได้ $\binom{5}{2}\binom{5}{3} = 100$ วิธี กรณีที่ 4. 0, 0, 2, 2, 2 เลือกได้ $\binom{5}{2}\binom{5}{3} = 100$ วิธี กรณีที่ 5. 0, 1, 1, 2, 2 เลือกได้ $\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{3} = 500$ วิธี กรณีที่ 6. 1, 1, 1, 1, 2 เลือกได้ $\binom{5}{4}\binom{5}{1} = 25$ วิธี กรณีที่ 7. 1, 2, 2, 2, 2 เลือกได้ $\binom{5}{1}\binom{5}{4} = 25$ วิธี รวม 1 + 250 + 100 + 100 + 500 + 25 + 25 = 1,001 วิธี |
ผมชอบข้อนี้มากเลย ถ้าใครรู้จัก Cauchy Equation จะมองออกทันที :p
อ้างอิง:
แทน $x=y$ ในสมการพบว่า $f(2x)=2f(x)+4x^2$ ดังนั้น $f(4x)=2f(2x)+16x^2=4f(x)+24x^2$ ทำให้ $f(20)=4f(5)+24 \cdot 25$ เก็บเอาไว้ก่อน $f(5)=f(1)+f(4)+4(1)(4)=f(4)+20$ แต่ $f(4)=4f(1)+24(1)^2=40$ ดังนั้น $f(5)=60$ ตัวที่เก็บไว้ก็จะได้ต่อว่า $f(20)=240+600=840$ # สร้าง $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$ นิยามโดย $g(x)=f(x)-2x^2$ จากสมการเดิมจึงได้ $g(x+y)=g(x)+g(y)$ ดังนั้น $g(x)=cx$ สำหรับบาง $c\in\mathbb{Z}$ ทำให้ $f(x)=2x^2+cx$ แล้วแทนเงื่อนไข $f(1)=4$ ได้ $f(x)=2x^2+2x$ ดังนั้น $f(20)=2(400)+2(20)=840$ # |
อ้างอิง:
กรณีที่ 1. ABCD $\binom{4}{4}\cdot 4!$ = 24 กรณีที่ 2. ABCC $\binom{4}{1}\binom{3}{2}\cdot \frac{4!}{2!1!1!} = 144 $ กรณีที่ 3. AABB $\binom{4}{2}\cdot \frac{4!}{2!2!}=36$ รวม 3 กรณี ได้ 24 + 144 + 36 = 204 |
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{x-8}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x(\sqrt[3]{x+8}^2-\sqrt[3]{x+8}\sqrt[3]{x-8}+\sqrt[3]{x-8}^2)}{2x}=6$$
|
อ้างอิง:
มี 5 จำนวนที่ $\equiv 0 (mod3)$ ให้จำนวนที่แทนคุณสมบัตรนี้คือ x มีค่า 0 มี 5 จำนวนที่ $\equiv 1 (mod3)$ ให้จำนวนที่แทนคุณสมบัตรนี้คือ y มีค่า 1 มี 5 จำนวนที่ $\equiv 2 (mod3)$ ให้จำนวนที่แทนคุณสมบัตรนี้คือ z มีค่า 2 กำหนด A ={x,y,z} ให้ S = ผลบวกของ 5 จำนวนใดๆที่เลือกมาจากสมาชิกของ A ซึ่งทำให้ $3\mid S$ แจงกรณี $1; S = 0 : x+x+x+x+x $ จะเลือกได้ $\binom{5}{5} $ $2; S = 3 : x+x+y+y+y, x+x+x+y+z$ จะเลือกได้ $\binom{5}{2}\binom{5}{3} + \binom{5}{3}\binom{5}{1}\binom{5}{1}$ $3; S = 6 : x+x+z+z+z, x+y+y+z+z, y+y+y+y+z$ จะเลือกได้รวม $\binom{5}{2}\binom{5}{3}+\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{2}+\binom{5}{4} \binom{5}{1}$ $4; S = 9 : y+z+z+z+z$ จะเลือกได้ $\binom{5}{1}\binom{5}{4}$ $\therefore$ วิธีทั้งหมดคือ $\binom{5}{5} +\binom{5}{2}\binom{5}{3} + \binom{5}{3}\binom{5}{1}\binom{5}{1} +\binom{5}{2}\binom{5}{3} +\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{2}+\binom{5}{4} \binom{5}{1} +\binom{5}{1}\binom{5}{4} = 1001 $วิธี |
ข้อสามตอบ 4ป่าวครับ
|
อ้างอิง:
$(\sin A + \sin C)^2 - \sin^2 B = 3\sin A \sin C$ $(ka+kc)^2-(kb)^2=3(ka)(kc)$ $a^2+2ac+c^2-b^2=3ac$ $b^2=a^2+c^2-ac$ แต่โดยกฎของโคไซน์ , $b^2 = a^2+c^2-2ac\cos B$ ดังนั้น $\cos B = 1/2$ จึงได้ว่า $\sqrt{3 \csc ^2 B + 3 \sec ^2 B} = \sqrt{3(4/3)+3(4)} = \sqrt{16} = 4$ |
8. ให้ $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ สอดคล้องสมการ $$f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy$$ ทุกจำนวนนับ $x,y$ โดยที่ $f(1)=4$ จงหาค่าของ $f(20)$
ข้อนี้ถ้าแทนไปเรื่อยๆ โดยเริ่มจาก $$f(19+1)=f(19)+f(1)+4(19)(1)$$ $$f(18+1)=f(18)+f(1)+4(18)(1)$$ . . . $$f(1+1)=f(1)+f(1)+4(1)(1)$$ แล้วจับทุกสมการมาบวกกันอ่ะ จะได้$$f(20)=20f(1)+4(1)(1+2+3..+19)=80+760=840$$ |
ข้อ 3 ใช้กฏของไซน์ดูครับ :)
|
จากโจทย์ ...จำนวนตั้งแต่ 1-15 สุ่มเลือกมา 5 ตัว มีกี่วิธีที่ผลรวมหารด้วย 3 ลงตัว
ข้อนี้คิดง่ายๆได้นะครับ เอา 15C5 หารด้วย 3 ก็ได้คำตอบแล้วครับ เพราะผลบวกจะมีตั้งแต่ 15 ถึง 65 ซึ่งมี 51 แบบ แต่ที่ 3 หารลงตัวจะมี 17 แบบ คือ 15, 18, 21,...,51 จึงสามารถนำ 3 ไปหาร 15C5 ได้นั่นเองครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
ข้อ 10)
$a_1+a_3+...+a_{201}=101a_1+10100d=303$ $a_2+a_4+...+a_{200}=100a_1+10000d=k$ $a_1+100d=303-k$ $\dfrac{a_1+a_{201}}{2}=303-k$ $\dfrac{101}{2}(a_1+a_{201})=101(303-k)$ $303=101(303-k)$ $ \therefore k=a_2+a_4+...+a_{200}=300$ |
(tan20+4sin20)/(sin20sin40sin80) = 8
|
อ้างอิง:
$S = 1+\frac{6}{1+x}+\frac{15}{(1+x)^2}+\frac{28}{(1+x)^2}+\cdots ...(1)$ $\frac{S}{1+x} = \frac{1}{1+x}+\frac{6}{(1+x)^2}+\frac{15}{(1+x)^3}+\frac{28}{(1+x)^4}+\cdots ...(2)$ (1)-(2), $\frac{x}{1+x}S = 1+ \frac{5}{1+x} + \frac{9}{(1+x)^2} + \frac{13}{(1+x)^3 }+ \cdots ... (3)$ $\frac{x}{(1+x)^2}S = 1+\frac{5}{(1+x)^2} + \frac{9}{(1+x)^3} + \frac{13}{(1+x)^4}+ \cdot ... (4)$ (3)-(4), $\frac{x^2}{(1+x)^2}S = 1 + \frac{4}{1+x} + \frac{4}{(1+x)^2} + \frac{4}{(1+x)^3} + \cdots = 1+\frac{\frac{4}{1+x}}{\frac{x}{1+x}} = \frac{x+4}{x}$ ดังนั้น $S = \frac{x+4}{x}\cdot \frac{(1+x)^2}{x^2} = \frac{27}{4} = 3(\frac{3}{2})^2 \iff x = 2 $ เมื่อ $x > 0$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:28 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha