ข้อ 15
สมมุติ ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม เรียงจากมากไปน้อยคือ $\sqrt{a^2+b^2},a,b$ ตามลำดับ
จะได้ว่า $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=r\ \ \ ,\frac{b}{a}=r---->b=ar$
$\frac{a}{\sqrt{a^2+a^2r^2}}=r$
$\frac{a}{r}=\sqrt{a^2+a^2r^2}$
$\frac{a^2}{r^2}=a^2+a^2r^2$
$a^2(r^4+r^2-1)=0$ $(a^2\not=0)$
$r^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$1+r^2+r^4+r^6+...=\frac{1}{1-(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$

ข้อ 19
จาก $g(x)=\sqrt{f(x)-1}$
$g(0)=\sqrt{f(0)-1}$ ดังนั้น
$\sqrt{f(0)-1}=f(0)-3$
$f(0)-1=[f(0)]^2-6f(0)+9$
$[f(0)]^2-7f(0)+10=0$
$f(0)=2,5$ แต่ $g(0)\geqslant 0$ ดังนั้น $f(0)=5$
$g(x)=\sqrt{f(x)-1}$
$g'(x)=\frac{1}{2}(f(x)-1)^{-\frac{1}{2}}\cdot f'(x)$
$g'(0)=\frac{1}{2}(f(0)-1)^{-\frac{1}{2}}\cdot f'(0)$
$\frac{1}{3}=\frac{1}{2}(5-1)^{-\frac{1}{2}}f'(0)$
$f'(0)=\frac{4}{3}$

ตอน 2 ข้อ 3
$\frac{x}{x+1}-ax\leqslant 1$
$\frac{x-ax^2-ax}{x+1}-1\leqslant 0$
$\frac{-ax^2-ax-1}{x+1}\leqslant 0$
$(ax^2+ax+1)(x+1)\geqslant 0$ $(x\not=-1)$
ถ้าต้องการให้มีคำตอบเป็น $(-1,\infty)$ แสดงว่า $ax^2+ax+1\geqslant 0$ เสมอ
นั่นคือ $D\leqslant 0$
$D=a^2-4a=a(a-4)\leqslant 0$
$0\leqslant a\leqslant 4$ ค่า $a$ ที่มากที่สุดคือ 4