$y=\frac{x^2}{1+x^2}$

ลองแทน x ด้วย $\frac{1}{x}$

$y'=\frac{1}{1+x^2}$

ดังนั้น $y+y'=1$

1.ห้างสรรพสินค้าลดกระหน่ำ ถ้าซื้อน้ำส้ม 1 ขวด ในราคา 7 เหรียญ จะสามารถซื้อขวดที่ 2 ได้ในราคา 1 เหรียญ ถ้าคน 9 คน ต้องการซื้อน้ำส้มคนละ 1 ขวด จะจ่ายเงินน้อยที่สุดเท่าไหร่?

(ข้อตอนกลางๆ) ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ และมีค่าไม่เกิน 100 ถ้า a-2b เป็นจำนวนเฉพาะบวก และ 2ab เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาค่า a+b ที่มากที่สุด

$2013^{\frac{1}{a}}=3$

$2013^{\frac{1}{b}}=671$

คูณกัน $2013^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=2013$

ริบบิ้น ABC
 

กำหนด ริบบิ้น ABC เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 3 cm ยาว 30 cm ถ้า AM=BM แล้ว AC ในรูปที่ 1 ยาวเท่าไร

ถ้าสามารถเลือกจำนวนเต็มบวกอะไรก็ได้ ที่มีค่าไม่เกิน 15 มากี่ตัวก็ได้ จงหาจำนวนวิธีที่ผลบวกของสมาชิกน้อยสุดกับสมาชิกมากสุด(ในแต่ละชุดที่เลือกมา)
เป็น 21

มีลูกบอลเหมือนกัน 130 ลูก นำมาใส่กล่องเหมือนกันหลายๆกล่อง จงหาจำนวนวิธีที่แต่ละกล่องใส่ลูกบอลอย่างน้อย 10 ลูก อย่างมาก 20 ลูก และแต่ละกล่องมีจำนวนลูกบอลไม่เท่ากันเลย

ได้ 7.5 ครับ:great:

39 บาทครับ:great:

$ได้ a=81, b=32 $
$a+b=113$:great:

(ข้อ 9 คะแนน)กำหนดให้ $106^5-92^5-58^5+44^5=a(10^n)$ โดยที่ $1\leqslant a < 10 $ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก...(จำไม่ได้อ่ะ ว่าเค้าถามอะไร:sweat: ) จำได้รางๆว่าให้หา 10a บวกหรือคูณกับ n ซักอย่างค่ะ:huh:

ขอบคุณคุณ gnap ค่ะ (ผิดไปเยอะเหมือนกัน แหะๆ)

ได้เป็น$ (1)... 6,15 ได้ 10 จำนวน$
$\binom{10}{2} +\binom{10}{3} +...+\binom{10}{10} $
$(2)...7,14 ได้ 8 จำนวน$
$\binom{8}{2} +...+\binom{8}{8} $
$(3)...8,13 ได้ 6 จำนวน$
$\binom{6}{2} +...+\binom{6}{6} $
$(4)...9,12 ได้ 4 จำนวน$
$\binom{4}{2} +...+\binom{4}{4} $
$(5)...10,11 ได้ 2 จำนวน$
$\binom{2}{2} $
จาก (1)-(5) บวกกัน ได้ 1329(ถ้าจำไม่ผิดจากในห้องสอบนะครับ):great:

ข้อนี้ผมก็ทำไม่ได้
ขอคำชี้แนะจากผู้รู้ครับ:please:

(แสดงวิธีทำ 20 คะแนน)
กำหนดให้ K เป็นจำนวนจริง และผลคูณรากที่เป็นจำนวนจริงของสมการ $$x^4+2x^3+(3+K)x^2+(2+K)x+2K=0$$ เป็น -2012 แล้วผลรวมของกำลังสองของรากที่เป็นจำนวนจริงเป็นเท่าไร