อ่านถึงตรงนี้ ผมเชื่อว่า พอจะเข้าใจพื้นฐานเรื่อง mod ได้แล้ว

ถ้าน้องๆหลานๆสนใจ ก็ต้องหาแบบฝึกหัดมาทำให้เกิดความช่ำชอง

ผมเชื่อว่า ด้วยพื้นฐานที่ได้อ่านมานี้ ก็สามารถไปอ่านเรื่อง mod ในหนังสือต่างๆด้วยความเข้าใจได้

ไม่มีวิธีลัดที่จะให้เก่งเรื่อง mod มากไปกว่าการทำแบบฝึกหัดมากๆ

ส่วนผม ผมคงจบตรงนี้ เพราะวัตถุประสงค์ของผม แค่เพื่อติวหลานที่อยู่ประถมเท่านั้น

โปรดอย่าถามอะไรที่ยากๆ หรือที่เกินประถมหรือมัธยมต้น

เพราะผมก็รู้แค่นี้แหละ

รู้แล้วเอามาเผยแพร่ให้เด็กๆของเรา เป็นเด็กเก่ง

เพราะเด็กๆในวันนี้ จะเป็นอนาคตของชาติต่อไป

เสริมสุดท้าย

ถ้าเซียน หรือท่านผู้รู้เรื่อง mod เห็นว่า มีผิดพลาดตรงไหน

หรืออยากเพิ่มเติมตรงไหน ก็ช่วยแนะนำด้วยครับ

สุดท้ายจริงๆ ขอบคุณอาจารย์ ดำรงค์ ทิพย์โยธา ที่เสียสละเวลาเขียนหนังสือดีๆให้พวกเราได้เรียนรู้

:great:ขอบคุณ คุณลุง banker จริงๆครับ สมควรปักหมุดๆ

ฝากไว้
จงแสดงว่า $2^{340} \equiv 1 (mod 341)$

hint
$2^{10} = (1024) = (1023+1) = (3(341) +1)$

ขอบคุณ คุณbankerมากครับ สมควรปักหมุดมากๆ
ขอถามหน่อยนะครับว่า ทวินาม เป็นเรื่องที่หาได้จากระดับการศึกษาชั้นไหนครับ

อยากเพิ่มเติมข้างหน้า mod เพื่อให้เกิดความกระชุ่มกระช่วยของ ท่านสว. banker โดยเติมคำว่า four เป็น four mod ครับ เพราะนอกจากจะปักหมุดแล้วอาจปักอกแถมอีกอย่างได้ครับ :D:D:laugh:

ต้องขอขอบคุณคุณอา banker มากๆเลยครับ
ผมกำลังสนใจเรื่อง mod อยู่พอดี แต่หาอ่านยากมาก
ได้แบบนี้แล้วหาโจทย์ใน MC ทำให้มันส์ไปเลยล่ะกัน
ขอบคุณคุณอาอีกครั้งครับที่เสียสละเวลามาแบ่งปันความรู้:please:

ย่อยของยากให้ทานได้ง่ายและคล่องคอมากขึ้น
ขอบคุณครับคุณอาBanker

อธิบายได้เห็นภาพเลยลุง เข้าใจง่ายดี ขอบคุณมากๆครับ เก็บเข้าคลังไว้ก่อน

ลองทำข้อพวกนี้แบบไม่ใช้ mod ดู ^^
จงหาเศษ
1.$(4)(4!)^2000$ หารด้วย 7
2.$(5)(5!)^2000$ หารด้วย 7
3.$(6)(6!)^2000$ หารด้วย 7

1.$(4!)^{2000}=24^{2000}=(7(3)+3)^{2000}$ เหลือเศษเท่ากับ $3^{2000}$
คิดตามแบบปกติ จะได้ว่า$(3^5)^{400}=(7(34)+5)^{400}$
$5^{400}=(7(89)+2)^{100}$
$2^{100}\times 4 =2^{102}=(7+1)^{34}$.....ตอบว่าเหลือเศษ 1
$24\equiv 24 (mod 7) \equiv3 (mod 7) $
$24^2 \equiv 72(mod 7) \equiv 2(mod 7)$
$24^3 \equiv 48(mod 7) \equiv 6(mod 7)$
$24^4 \equiv 144(mod 7) \equiv 4(mod 7)$
$24^5 \equiv 96(mod 7) \equiv 5(mod 7)$
$24^6 \equiv 120(mod 7) \equiv 1(mod 7)$
$24^6 \equiv 1(mod 7)$
ดังนั้น $k=6$
$2000=6(333)+2$
$24^{6(333)+2} \equiv 24^2(mod 7) \equiv 2(mod 7)$
$4\times 24^{2000} \equiv 4\times 2(mod 7) \equiv 8(mod 7) \equiv 1(mod 7)$
ได้คำตอบเท่ากันคือ เศษ 1

ข้อ 2 แบบนี้ถูกรึป่าวอ่ะครับ
$5!=120$
${(120)}^{2000}={(7(17)+1)}^{2000}$
${(5!)}^{2000}≡1(mod 7)$
$5{(5!)}^{2000}≡5(mod 7)$
ตอบเหลือเศษ 5
(พิมเครื่องหมาย ≡ ยังไงอ่ะครับ)

2.$5(5!)^{2000}$ $(120)^{2000}$
แยกเป็น $8^{2000}\times 3^{2000} \times 5^{2000}$
$8^2 \equiv 64 (mod 7) \equiv 1(mod7)$
$2000 =2(1000)+0$
$8^{2000} \equiv 8^0(mod 7) \equiv 1(mod7)$...เศษ 1

$3^2 \equiv 9 (mod 7) \equiv 2(mod7)$
$3^3 \equiv 6 (mod 7) $
$3^4 \equiv 18 (mod 7) \equiv 4(mod7)$
$3^5 \equiv 12 (mod 7) \equiv 5(mod7)$
$3^6 \equiv 15 (mod 7) \equiv 1(mod7)$
$3^6 \equiv 1(mod7)$
$2000=6(333)+2$
$3^{2000} \equiv 9 (mod 7) \equiv 2(mod7)$......เศษ 2

$5^2 \equiv 25 (mod 7) \equiv 4(mod7)$
$5^3 \equiv 20 (mod 7) \equiv 6(mod7)$
$5^4 \equiv 30 (mod 7) \equiv 2(mod7)$
$5^5 \equiv 10 (mod 7) \equiv 3(mod7)$
$5^6 \equiv 15 (mod 7) \equiv 1(mod7)$
$2000=6(333)+2$
$5^{2000} \equiv 25 (mod 7) \equiv 4(mod7)$......เศษ 4

$8^{2000} \equiv 1(mod7)$ $3^{2000} \equiv 2(mod7)$
$8^{2000} \times 3^{2000} \equiv 1\times 2(mod7) \equiv 2(mod7)$
$8^{2000} \times 3^{2000} \equiv 2(mod7)$ กับ $5^{2000} \equiv 4(mod7)$
$8^{2000} \times 3^{2000} \times 5^{2000}\equiv 2\times 4(mod7) \equiv 1(mod7)$
$(120)^{2000}\equiv 1(mod7)$
$5\times (120)^{2000}\equiv 5\times 1(mod7) \equiv 5(mod7)$
ตอบเศษ 5

ให้ง่ายอีกหน่อยเมื่อกี้รู้แล้วว่า$(4!)^{2000} \equiv 2(mod7)$
$5^{2000} \equiv 4(mod7)$
$(4!)^{2000}\times5^{2000} \equiv 2\times 4(mod7) \equiv 1(mod7)$
$(5!)^{2000} \times 5 \equiv 5(mod7)$

แหมตอนแรกผมนึกว่าจะหมายถึงmode (ฐานนิยม)เสียแล้วครับ