8. นี่ 150 เหรอครับ เห็นบ่อยมาก 555
เเล้วก็ข้อ 2.อสมการอ่ะครับ ถ้าไม่กระจายจะมีวิธีสวยๆไหมครับ

ข้อ $9$ โหดมาก

$(x,y)=(-1,-2),(-1,-3),(0,0),(0,-5),(2,-6),(2,1),(3,-6),(3,1),(5,0),(5,-5),(6,-2),(6,-3)$

มีใครหาได้มากกว่านี้มั้ยครับ

มีแน่นอนเลยครับ แต่ยาวนิดส์นึง:haha:

มาจาก Zenith 5 ใช่ปะครับ
ปีของพี่จิรวัฒน์เค้าเขียนโหดมากเลยจริง :blood: ขอคารวะๆ:please:
เคยเปิดเฉลยดู
ข้อ 1 เฉลยวิธีน่ากลัวไปหน่อยแฮะ :laugh:

ใช่แล้วครับ น้อง J ระดับน้องทำได้สบายๆมาก:haha:

ไม่หรอกครับ ชุดที่ 8 ทำได้น้อยมากๆ - -

เสริมโจทย์ให้แล้วกันๆ

1. จงหาค่าของ (ตอบในรูปสัญลักษณ์ทางคอมบินาทอริก)

$$\prod_{i = 1}^{n} (4-\frac{2}{i} )$$

2. จงแสดงว่า สำหรับทุก $x,y,z$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก

$$\sum_{cyc}^{} (\frac{x}{x+y} )^3 \geqslant \frac{3}{8} $$

ข้อ 1 ให้ตอบในรูปไหนอ่ะครับ ขอแคบนิดนึง

$$\prod_{i = 1}^{n} (4-\frac{2}{i} )$$
$$= \prod_{i = 1}^{n} (\dfrac{4i-2}{i} )$$
$$=\prod_{i = 1}^{n} (\dfrac{2^n \bullet (1\bullet 3 \bullet 5 ....\bullet (2n-1))}{n!} )$$
$$=\prod_{i = 1}^{n} (\dfrac{2^n \bullet(2n-1)!}{n!} )$$
$$=\prod_{i = 1}^{n} (\dfrac{2^n\bullet n! \bullet(2n-1)!}{(n!)^2} )$$
$$=\binom{2n}{n} $$

$x,y \in$ อะไร ครับ

เติมให้ครับ ใจดีๆ

1. เขียนตัวเลขลงในตารางหมากรุกขนาด $2012\times 2012$ หน่วย

โดยช่องที่อยู่ตรงกลางจะมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยของช่องที่อยู่ข้างๆ (ก็เหมือนปุ่มเลข 2 4 5 6 8 บนคียบอร์ดอ่ะครับ เลข 5 ก็จะอยู่ตรงกลาง)

จงแสดงว่า ตัวเลขทุกตัวบนกระดานมีค่าเท่ากันหมด

2.จงหารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่สร้างได้จากตารางจุดขนาด $10\times 10$ [สี่เหลี่ยมอาจจะตะแคงก็ได้ครับ]

3.หาจำนวนรูปแบบเซต $A,B,C$ ซึ่ง

$$A\cup B\cup C=[{1,2,3,...,2555}] แต่ A\cap B\cap C=\Phi $$

4.ถ้า a b c เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ

$$a+b+c=20$$

จงหาค่าผลรวมของ $abc$ ทั้งหมด เมื่อพิจารณาทุกกรณี $(a,b,c)$ ที่เป็นไปได้

ข้อ 2 เป็นของ TST Vietnam 2005 ครับ ปัญหาโด่งดัง

ข้อแรก ผมไล่ๆ ไป

ข้อสอง $550$

ข้อสาม $5^{2555}$

ข้อสี่ ยังไม่ได้อ่ะครับเยอะมากๆ

ปล . ผมไม่มั่นใจนะครับตรวจสอบให้หน่อย

ข้อ3. 1,...,2555 แต่ละตัวจะเลือกทางได้คือ
อยู่A อย่างเดียว
อยู่Bอย่างเดียว
อยู่cอย่างเดียว
อยู่แต่AกับB
อยู่แต่AกับC
อยู่แต่BกับC
ได้ 6^2555
อะครับ หรือผมผิดตรงไหน
ข้อ4. 1,1,18 กับ 1,18,1 แบบนี้ก็ต้องเอามาคูนแล้วบวกกันด้วยหรอครับ

ปล.ค่าย1ดูโหดแปลกๆอะครับ555

1. ช่องที่อยู่มุมสุดจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของสามช่องที่ติดไหมครับ ถ้าใช่ก็พิจารณาช่องรอบๆช่องที่มีค่าต่ำสุดก็ออกแล้วครับ

2. $\displaystyle \sum_{i=1}^9 i^2 = 285$

4. สปส. ของ $x^{20}$ จาก $ (x+2x^2+3x^3+\cdots)^3$

เติมอีกครับ ให้กระทู้เดินเพราะตอนนี้ผมเริ่มมีเวลามากขึ้นเเล้ว 555
Number Theory
1.ให้ $p=2^n+1$ เเละ $3^{(p-1)/2}+1\equiv 0 \pmod p$ จงเเสดงว่า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
2.ถ้า $p,p^2+2$ ต่างก็เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาว่ามีจำนวนนับกี่จำนวนที่สามารถหาร $p^5+2p^2$ ได้ลงตัว
Inequality
1.ให้ $a,b,c$ เเทนด้านสามเหลี่ยมใดๆ
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge \sqrt{3}$$
2.ให้ $a,b,c>0$ เเละ $a+b+c+abc=4$
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+c)$$

Ine 3.ให้ $a,b,c>0$ เเละ $abc=1$
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{b^2(c+a)(a+b)}+\frac{b}{c^2(a+b)(b+c)}+\frac{c}{a^2(c+a)(a+b)}\ge \frac{3}{4}$$
ปล.ผมอยากรู้เฉลยข้อ 10 ที่เป็นพีชคณิตจังครับ

1. จาก $3^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 0 (mod p) $
$3^{p-1} \equiv (-1)^2 \equiv 1 (mod p)$
จากบทกลับของ Fermat's Little theorem
ถ้า $a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$ และ $q$ เป็น $prime$ โดย $q\mid (p-1)$ และ $a^{\frac{p-1}{q}} \not\equiv 1 (mod p)$

จาก $p-1 = 2^n \therefore q = 2 $
ซึ่ง $3^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \not\equiv 1 (mod p)
\therefore p เป็น prime $