$2^{10}=2^5 \times 2^5 =32 \times 32=1024$
$3^8=81 \times 81=6561$
$2^{10}+3^8=1024+6561=7585$

ย้ายครั้งที่ 1 ถ้วยเบอร์ 4
ย้ายครั้งที่ 2 ถ้วยเบอร์ 5
ย้ายครั้งที่ 3 ถ้วยเบอร์ 4
ย้ายครั้งที่ 4 ถ้วยเบอร์ 3
ย้ายครั้งที่ 5 ถ้วยเบอร์ 2
ย้ายครั้งที่ 6 ถ้วยเบอร์ 1
ย้ายครั้งที่ 7 ถ้วยเบอร์ 2
ย้ายครั้งที่ 8 ถ้วยเบอร์ 3
ย้ายครั้งที่ 9 ถ้วยเบอร์ 4
ย้ายครั้งที่ 10 ถ้วยเบอร์ 5
ย้ายครั้งที่ 11 ถ้วยเบอร์ 4
ย้ายครั้งที่ 12 ถ้วยเบอร์ 3
ย้ายครั้งที่ 13 ถ้วยเบอร์ 2
ย้ายครั้งที่ 14 ถ้วยเบอร์ 1
ย้ายครั้งที่ 15 ถ้วยเบอร์ 2
ย้ายครั้งที่ 16 ถ้วยเบอร์ 3
ย้ายครั้งที่ 17 ถ้วยเบอร์ 4
ย้ายครั้งที่ 18 ถ้วยเบอร์ 5
ผมไล่จนถึงย้ายครั้งที่ 30 แต่พิมพ์ไม่ไหว เมื่อยมือ
รูปแบบของถ้วยที่ 5 คือย้ายครั้งที่ 2,10,18,26
รูปแบบของถ้วยที่ 4 คือย้ายครั้งที่ 1,3,9,11,17,19,25.....1-9-17 กับ 3-11-19
รูปแบบของถ้วยที่ 3 คือย้ายครั้งที่ 4,8,12,16,20,24
รูปแบบของถ้วยที่ 2 คือย้ายครั้งที่ 5,7,13,15,21,23,29....5-13-21-29,7-15-23
รูปแบบของถ้วยที่ 1 คือย้ายครั้งที่ 6,14,22,30
ใช้สูตรของอันดับเลขคณิต $\frac{a_{n}-a_1}{d}=n-1 $
จะเห็นว่า การย้ายครั้งที่ $7585$ นั้น 4หารไม่ลงตัว ดังนั้นไม่ตกถ้วยใบที่3 และ $7585$ หารด้วย 2 ไม่ลงตัวจึงไม่ตกที่ใบที่ 5 เช่นเดียวกับลำดับของถ้วยใบที่ 1 ที่จำนวนครั้งต้องหารด้วย 2 ลงตัว
เหลือแต่เช็คที่ ถ้วยใบที่ 4 กับ 2 มีแต่ลำดับของถ้วยใบที่ 4 ที่หาค่า $n$ ได้
ดังนั้นเมื่อย้ายถึงครั้งที่ $7585$ แล้วลูกบอลอยู่ที่ถ้วยใบที่4
ข้อนี้ตอบข้อ ง

Attachment 12538

กรณีอย่างโชคร้ายที่สุดคือ
โจ๊กเกอร์ 2ใบ โพดำ 3 ใบ โพแดง 3 ใบ ดอกจิก 3 ใบ ข้าวหลามตัด 3 ใบ รวม 14 ใบ
ดังนั้นต้องแจกอย่างน้อย 15 ใบ จึงจะได้ชุดเดียวกันอย่างน้อย 4 ใบ

ตอบข้อ ค.

ให้ $\sqrt{x+y}=a$
$\sqrt{134-x}=b$
$\sqrt{120-y}=c$
จะได้ $13a+7b+6c=254$
$a^2+b^2+c^2=254$
$a=13$
$b=7$
$c=6$
$\sqrt{x+y}=a=13$
$\sqrt{134-x}=b=7$
$\sqrt{120-y}=c=6$
$134-x=49 .... x=85$
$120-y=36 .... y=84$
$ดังนั้น 3x+y=3(85)+84$
$=339$

ทำไมต้องแจก15ใบอ่ะครับ ^^

เพราะพอแจกใบที่ 15 มันจะต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งในไพ่ทั้ง 4 ชุดแน่ๆ
จึงทำให้ได้ไพ่ชุดเดียวกัน ครบ 4 ใบน่ะครับ

Attachment 12539
เลือกเลขในหลักหน่วยและหลักร้อยที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งรวมกันแล้วได้เลข 2 หลัก มีดังนี้

$(9,1),(9,2),...,(9,8)$
$(8,1),(8,2),...,(8,7)$
$(7,1),(7,2),...,(7,6)$
$(6,1),(6,2),...,(6,5)$
$(5,1),(5,2),...,(5,4)$
$(4,1),(4,2),(4,3)$
$(3,1),(3,2)$
$(2,1)$

รวมทั้งหมด $36$ คู่ แต่สามารถสลับที่ได้อีก จึงกลายเป็น $36\times2=72$

ตอบข้อ ค.

Attachment 12540

ผมได้น้อยสุด 3 ชิ้น มีใครได้ 2 ชิ้นมั้ยครับผม

http://www.mathcenter.net/forum/atta...4&d=1358738946
จากการลองนับตำแหน่งลูกบอลดู ถ้าเริ่มหยิบใส่ถังครั้งที่ 1 ไปใส่ถังที่ 4 ลูกบอลจะอยู่ที่
ถัง 1 ครั้งที 6,14,22,30,.. ....หาร 8 เหลือเศษ 6
ถัง 2 ครั้งที่ 5,7,13,15,21,....หาร 8 เหลือเศษ 5,7
ถัง 3 ครั้งที่ 4,8,12,16,20,....หาร 8 เหลือเศษ 0,4
ถัง 4 ครั้งที่ 1,3,9,11,17,19,.หาร 8 เหลือเศษ 1,3
ถัง 5 ครั้งที่ 2,10,18,26,34,..หาร 8 เหลือเศษ 2
ครั้งที่ $2^{10} +3^8=2(8^3) +9^4$ หาร 8 เหลือเศษ $2(0)+1^4=1$
แสดงว่าต้องอยู่ที่ถัง 4

มีใครทำข้อ28ได้บ้างครับ
ผมทำไม่ได้เลย

ขอบคุนมั่กๆๆตรับบ:)

ข้อ 28 ผมคิดได้ครับ คำตอบเป็น 12 (ตอนนี้ใช้มือถือ เฉลยไม่สะดวก)

แนวคิด กำหนดให้ $x = (a-b), y = (b-c)$ และ $z = (c-a)$

1) พบว่า $ x+y+z = 0$ --> $y+z = -x$ ; ดังนั้น $(y-z)^2 = x^2 $
2) จากโจทย์ $x^2 = 4yz = y^2+2yz+z^2$ --> จะได้ $0 = y^2-2yz+z^2 = (y-z)^2$ --> ดังนั้น $y = z$
3) ดังนั้น $x^2 = 4y^2$ --> $(\frac {x}{y})^2 = 4$ และ $(\frac {y}{z})^2 = 1$ แทนค่าลงในโจทย์
4) จะได้ว่า $2(\frac{a-b}{b-c})^2 +3(\frac{b-c}{c-a})^2 +4(\frac{c-a}{a-b})^2 = 2(\frac{x}{y})^2+3(\frac {y}{z})^2+4(\frac {z}{x})^2 = 2(4)+3(1)+4(\frac{1}{4}) = 12$

ข้อนี้ถ้าแทนค่า (a,b,c) = (a,a+2d,a+d) ก็เป็นจริงตามเงื่อนไข เช่น (1,3,2), (1,5,3) หรือ (2,4,3) ครับ

28.ให้ b=3 c=2 a=1 เสียใจคิดไม่ออก :cry::cry::cry:
36.ได้ 57 มั้ง จากการถึก
37.ได้ 1444 มั้งครับ

ถ้าบังเอิญติดรอบ2 แล้วผมสามารถย้ายศูนย์สอบได้มั้บครับ

ข้อ37 ค่ะ
ลายมือกากมากกกกกกก 55555

สุดยอดครับ :great:
ขอเพิ่มเติมดังนี้ การย้ายจะไปซ้ายหรือขวาก็ได้ แต่เมื่อจำนวนของการย้ายเป็นเลขคู่ ลูกบอลอาจจะอยู่ในถ้วย 1, 3 หรือ 5
และเมื่อจำนวนของการย้ายเป็นเลขคี่ ลูกบอลอาจจะอยู่ในถ้วยที่ 2 หรือ 4 ก็ได้ จึงดูเพียงแต่เลขคู่หรือคี่ ก็พอครับ

ข้อที่ 35. ใช้ผลบวกของรากคือ $x_1+x_2=-6a, x_1x_2 = -a$ จัดรูปจะได้ $10a^2+2a-1$ ซึ่งมีค่าต่ำสุดเป็น $\frac{4ac-b^2}{4a} = -\frac{11}{10}$

ข้อที่ 36. สมมติเป็นตัวแปร $x, y, z$ จากนั้นจัดรูป แล้วจะแทนค่า $z-y,x-z,y-x$ หรือไม่ก็ได้ ถ้าไม่แทนค่า ก็แยกตัวประกอบโดยทฤษฎีบทเศษเหลือ ไม่ว่าจะทำอย่างไร สุดท้ายตัดกัน จะได้ $x+y+z = 57$

ข้อที่ 37. ข้อนี้เป็นทฤษฎีบทที่ 11 ของ Archimedes ในหนังสือ Book of Lemmas ครับ ถ้าใครจำได้ก็ตอบข้อนี้ได้ทันทีเลย ว่าจะได้ $(2R)^2$ เสมอ

http://www.cut-the-knot.org/Curricul...as/BOL11.shtml

ข้อที่ 38. จะได้คำตอบทั้งหมด 34 วิธี

น่าจะ $80^{\circ}$ รึเปล่า

ผมลองแปลงโจทย์ข้อ 34. มาเป็นเรขาคณิตให้ดู เผื่อจะง่ายขึ้นครับ (ตัวเลขไม่สวย คิดในใจไม่ได้ ไม่ลงตัว :haha:)
อ้อ! ลืมบอกไป พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส ABCD = $(x+z)^2 = 8^2+23^2 = 593 $
Attachment 12543

ทำไม $80^{\circ}$ ล่ะครับ

ก็สองมุมรวมกันได้ $130^{\circ}$ แบ่งแล้วได้มากสุดมุมละ $65^{\circ}$ นิครับ
หรือผมงงไรรึป่าว:please::please:

ขอบคุณครับ:)

ถ้าเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็จะมีมุมยอดเป็น 80 องศา

อ้อ...หมายถึงว่ามุมที่ฐานเป็น $50^{\circ}$ สองมุมใช่มั้ยครับ

แต่ผมหมายถึงว่า ถ้ามุมเล็กสุดคือมุมยอด $50^{\circ}$ มุมที่ฐานจะมากสุดได้แค่มุมละ $65^{\circ}$ อ่ะครับ

50 - 51 - 79

79 > 65

65 จึงไม่ใช่มุมที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้


50 - 50 - 80

80 > 65

65 จึงไม่ใช่มุมที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้

31.
$13\sqrt{x+y}+7\sqrt{134-x}+6\sqrt{120-y} = 254$

จาก Cauchy-Schwarz ได้ว่า

$13\sqrt{x+y}+7\sqrt{134-x}+6\sqrt{120-y} \leqslant \sqrt{13^2+7^2+6^2}\sqrt{254}$

$13\sqrt{x+y}+7\sqrt{134-x}+6\sqrt{120-y} \leqslant 254$

จาก (1) ได้ว่า $\dfrac{13}{\sqrt{x+y}} = \dfrac{7}{\sqrt{134-x}} = \dfrac{6}{\sqrt{120-x}} = k,\exists k\in \mathbb{R}$

แก้ หา $x,y$ ได้ $x = 85 ,y = 84$

$\therefore 3x+y = 255+84 = 339$

32.
$5x^7 = 11y^{13}$

เนื่องจาก $x,y \in \mathbb{N}$ ได้ว่า $11 \mid x$

$x = 11^b*c^d = 11k$

$y = \sqrt[13]{\dfrac{5}{11}x^7} = \sqrt[13]{5*11^6*k^7}$

เนื่องจาก $x$ ที่สอดคล้องน้อยที่สุด ดังนั้น $k = 11*5^{h}$

$k^7 = 11^7*5^{7h}$

$13 \mid 7h+1 ; h = 11 $

$\therefore x = 11^2*5^{11} $

$a+b+c+d = 11+5+11+2 = 29$

อ้อ...จริงสินะครับ :haha:
เข้าใจแล้วครับ ผมมึนเอง ขอบคุณคุณอา banker แล้วก็ คุณ artty60 ด้วยครับผม :please::please:

ช่วยเฉลยข้อ27 29 33 34 หน่อยครับ ท่านเทพทั้งหลาย

จำนวนบอลที่เก็บได้มากสุดคือ 33 ใบ และมีลูกบอลทั้งหมด 29 ลูก นั่นคือเหลือที่ว่างทั้งหมด 4 ที่
นับวิธีวางที่ว่าง น่าจะง่ายกว่าครับ

ใช้ star and bar แจกที่ว่างให้กล่องสี่ใบ แล้วลบ 1 กรณีที่ที่ว่างทั้งสี่อันไปลงกล่องที่เก็บบอลได้แค่ 3 ลูก
คำตอบ คือ 7C3-1 = 35-1 =34

ข้อ 27 ตอบ 2,222 หรือเปล่าคะ
$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

ผมเดาเอานะว่ามี 9 จำนวน มีเลขโดด 10 ตัว แต่หักเลข 0 ไป 1ตัว ที่นำไปอยู่หน้าสุดไม่ได้

นั่งสมาธิมองเห็นตัวเลขเหล่านี้

$1234987650$

$2349876501$

$3498765012$

$4987650123$

$5012349876$

$6501234987$

$7650123498$

$8765012349$

$9876501234$

ปล.มันน้อยจำนวนยังไงชอบกล:p

มีคน pm ถามเกี่ยวกับแนวคิดข้อ 34 ผมเลยวาดรูปเฉลยมาให้ดูเพิ่มเติมครับ :sung:

เงื่อนไขที่ใช้สร้างรูปคือ $x^2+y^2 = 8^2 = 64,\ z^2+y^2 = 23^2 = 529\ และ\ (x+z-y)^2+x^2 = 17^2 = 289$

Attachment 12610

ข้อ 30 ครับ
มั่วแหลก :eek::eek::eek:

ข้อ 29 นะครับ

ให้ $n = \overline{abcdefghij} $ เนื่องจาก $a + b + ... + j = 45$ ดังนั้น $n$ หารด้วย 9 ลงตัว

แต่เนื่องจากโจทย์ต้องการให้ $n$ หารด้วย 11111 ลงตัว แต่ ห.ร.ม (9, 11111)= 1 แสดงว่า n ต้องหารด้วย 99999 ลงตัว

เราจะเอา 99999 ไปใช้ได้อย่างไร ให้สังเกตว่า 99999 จะห่างกับ 100,000 อยู่ 1 ดังนั้น ถ้าจัดกลุ่มเลขโดดของ n เป็น

$n = \overline{abcde} \overline{fghij} = \overline{abcde} \times 10^5 + \overline{fghij} = 99999\overline{abcde} + \overline{abcde} + \overline{fghij} $

แสดงว่า $ \overline{abcde} + \overline{fghij} $ ต้องหารด้วย 99999 ลงตัว

แสดงว่า $ \overline{abcde} + \overline{fghij} = 99999k$ และจะได้ว่า $k = 1$ เท่านั้นที่เป็นไปได้

และเนื่องจาก a, b, c, ... , f เป็นเลขโดดที่ต่างกันหมด ดังนั้นการที่ $ \overline{abcde} + \overline{fghij} = 99999$ แสดงว่า a + f = b + g = c + h = d + i = e + j = 9

แต่เราทราบว่า

9 = 0 + 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5

ที่เหลือก็เป็นกฎการนับ 10 ขั้นตอนต่อเนื่องกันนะครับ ของการดูว่า a, b, ... เป็นอะไรได้บ้าง ผมขี้เกียจพิมพ์ละ :p

จะได้ $9 \times 1 \times 8 \times 1 \times 6 \times 1 \times 4 \times 1 \times 2 \times 1 = 3456$

สุดยอดเลยครับท่านgon:great:

ช่วยเฉลยข้อ 14 19 แล้วก็33 ให้หน่อยน้าคะ

ก็อปคำถามมาด้วยก็ดีครับ คนตอบจะได้ไม่ต้องกลับไปค้นหาคำถามอีก

ข้อ 14

1 B หน้า A ขวา
2 A ขวา C หลัง
3 B ซ้าย C หลัง
4 B ซ้าย A ขวา5 B ซ้าย A ขวา C หน้า
6 B บน C หน้า

$\therefore $ คำตอบคือ 6

ข้อ19. ก็ต้อง 4 อยู่แล้ว

ข้อ33มีคนเฉลยหรือยังครับ ยากมากครับ

Attachment 12663

ข้อนี้ลองสมมุติ 9 = x, 19 = y, 29 = z

แทนค่าเป็นพีชคณิต เหมือนจะออก แต่ก็ยังติดขัด

ลองถึกๆ เพื่อหาคำตอบ โดยตั้งหาร แบบธรรมดาๆ สุดท้ายได้

$ a = \frac{10 \cdot 9^3 -20 \cdot 19^3 +10 \cdot 29^3}{10 \cdot 9^2 -20 \cdot 19^2 +10 \cdot 29^2}$

$ a = \frac{7290-137180+243890}{810-7220+8410}$

$a = \frac{114}{2} = 57$

เผื่อท่านอื่นมีมุมมองที่ง่าย และรวดเร็วกว่า่นี้
(ในห้องสอบ คงถึกแบบนี้ไม่ไหว)