ผมว่าผมตอบแต่ละครั้งก็แฝงด้วยจริงจังนะครับ
hint มองให้เป็นสมการกำลังสองและหาค่า x, y ที่ทำให้เกิดจุดต่ำสุด

อ้อ ขอบคุณมากครับ
ผมทำผิดไปครับลืมไปว่ามันเป็น 2 ตัวแปร
:please:

เพิ่งเห็นว่าคุณหยินหยางให้ Hint ไว้แล้ว งั้นขอเสนออีกวิธีครับ

สังเกตว่าถ้า $x\geq y$ จะได้ $xy(x-y)\geq 0$

สมมติว่า $x\leq y$ จะได้

$xy(y-x)\leq x(y-x)$

$~~~~~~~~~~~~\leq \Big(\dfrac{x+y-x}{2}\Big)^2$ จากอสมการ AM-GM

$~~~~~~~~~~~~=\dfrac{y^2}{4}$

$~~~~~~~~~~~~\leq \dfrac{1}{4}$

ดังนั้น $xy(x-y)\geq -\dfrac{1}{4}$

สมการเป็นจริงเมื่อ $x=\dfrac{1}{2},y=1$

ข้อนี้ก็เอาข้อ (1) มาช่วย

ทำให้ดูกรณีเดียวนะครับ อีกสองกรณีลองทำตามก็จะได้คำตอบ

สมมติว่า $x\geq y,z$ (อีกสองกรณีคือ $y\geq x,z$ และ $z\geq x,y$)

จะได้

$xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=y[x(x-y)+z(y-z)]+zx(z-x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=y(x-z)(x-y+z)+zx(z-x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\geq zx(z-x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\geq -\dfrac{1}{4}$

สมการเป็นจริงเมื่อ $(x,y,z)=(1,0,\frac{1}{2})$

ทำแบบนี้ได้รึุเปล่า

เพราะว่า ไม่มีจำนวนจริงใด ๆ ที่ $x^2 \equiv 12 \pmod{16}$
แต่ว่า $4444 \equiv 12 \pmod{16}$

เกิดข้อขัดแย้ง

ข้อสองตอนแรก ผมคิดได้แค่ว่า จำนวนแรกคือ 38 แล้วก็

ถ้า $x\equiv 100a_2+10a_1+a_0 \ \ (mod \ \ 1,000)$ เมื่อ $a_2\not= 0$ แล้ว $x^2 \equiv (a_0+10a_1)^2+200(a_0)(a_2) \ \ (mod \ \ 1,000)$
และถ้าเราแทน $a_0=8,a_1=3$ เราก็จะได้ว่า $x^2\equiv (38)^2+200(8)(a_2)\equiv 444+600(a_2) \ \ (mod \ \ 1,000)$ และถ้าเราแทน $a_2=5$ เราก็จะได้ว่าสำหรับทุก $x\in \mathbb{Z^+}$ ซึ่ง $x\equiv 100a_2+10a_1+a_0 \equiv 500+30+8 \equiv 538 \ \ (mod \ \ 1,000)$ แล้วจะได้ว่า $x^2\equiv 444 \ \ (mod \ \ 1,000)$
นั่นคือ 38 , 538 , 1,538 , 2,538 ,... ต่างก็เป็นจำนวนที่โจทย์ต้องการ

แต่ผมยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นจำนวนทั้งหมดหรือไม่ รบกวนเซียนทั้งหลายช่วยต่อด้วยครับ