|
ข้อ 24. นี่ไปไม่เป็นจริงๆครับ T T
|
#32 คุ้น ๆ ว่า ต้องฝัน ช่วงขึ้นมา
แต่ถ้าไม่ัฝันต้องใช้ integrate อ่ะครับ จำได้ว่า พี่ gon เคย โพสต์ไว้ในไหนสักที่นี่แหละ |
โอเคครับ ได้แล้วครับ :wacko:
26. กำหนดให้ $p\in \mathbb{R}$ จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}= x$ 27. ถ้าผลคูณของรากสองค่าจากทั้งสี่ค่าของสมการ $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984 = 0$ มีค่าเท่ากับ $-32$ จงหาค่า $k$ 28. จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}}$ 29. กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \sqrt{9+\sqrt{a_{n-1}}}, a_1 = 9}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$ 30. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}+\sqrt{3}\big(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}\big) = 2x}$ เมื่อ $x\geq 0$ ดูที่พจน์ที่สอง $\sqrt{2-x}$ ---> $x\le2$ $\sqrt{2-\sqrt{2+x}}$ ---> $\sqrt{2+x}\le2$---> $x\le2$ $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}$ ---> $\sqrt{2+\sqrt{2+x}}\le2$ กำหนดให้ $x = 2\cos{\theta}$ และใช้สูตรตรีโกณที่ว่า $\displaystyle{\sqrt{2+2\cos{\theta}} = 2\cos{\frac{\theta}{2}}}$ และ $\displaystyle{\sqrt{2-2\cos{\theta}} = 2\sin{\frac{\theta}{2}}}$ จะได้ $\displaystyle{\frac{1}{2}\cos{\frac{\theta}{8}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\frac{\theta}{8}} = \cos{\theta}}$ $\displaystyle{\cos{(\frac{\theta}{8}-\frac{\pi}{3})} = \cos{\theta}}$ $\displaystyle{\theta = \frac{3\pi}{8}}$ $\displaystyle{x = \cos{\frac{3\pi}{8}}}$ |
อ้างอิง:
27. ผมได้เลขไม่สวยเลยครับ ไม่รู้ว่าคิดผิดหรือป่าว 555+ 28.ผมได้ว่า $=2^{10}-1$ ครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ปัญหาคือ จะมอง trick นี้ออกยังไงมากกว่า |
อ้างอิง:
$\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}} = k $ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+...}{ \frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}} = k+1 $ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+...}{ \frac{1}{2^{10}}(\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+...)}} = k+1 $ $2^{10} =k+1 $ ดังนั้น $k= 2^{10}-1 = 1023 $ |
26. IMO 1963 ข้อ 1 ครับ
29. โจทย์สมมูลกับการหาค่าของ $\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+...}}}$ เอามาลงเยอะๆเลยครับ :great: |
ผมไม่เข้าใจว่า โจทย์ข้อ 29. มันสมมูล กับ $\displaystyle{\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+...}}}}$ ได้ยังไง
ผมคิดว่า ถ้าจะให้มันสมมูล โจทย์มันต้องเป็น $\displaystyle{a_n = \sqrt{9+a_{n-1}}}$ โดยที่ $a_1 = \sqrt{9}$ รึเปล่า |
ขอโทษในความสะเพร่าไม่ยอมลองแทนดูของนะครับ :please:
มันได้ว่า $a_{n}=\sqrt{9+\sqrt[4]{9+\sqrt[4]{9+\sqrt[4]{9+...}}}}$ โดยที่ $n$ ระบุถึงจำนวนเลข 9 ที่ปรากฏ จะได้สมการ $x=\sqrt{9+\sqrt{x}}$ ได้ว่า $x^2=9+\sqrt{x} \geq 9$ จะได้ $x \geq 3$ สมการข้างบนยกกำลังสองอีกครั้ง ได้สมการ $x^4-18x^2-x+81=0$ เพราะว่า $\frac{11663}{144}=80.99$ ดังนั้นสมการกำลังสี่นี้มีคำตอบใกล้เคียงกับสมการ $x^4-18x^2-x+\frac{11663}{144}=0$ หรือ $(x^2+6x+\frac{109}{12})(x^2-6x+\frac{107}{12})=0$ วงเล็บแรกไม่มีคำตอบ ดังนั้นวงเล็บหลังต้องเท่ากับศูนย์ ก็จะได้ว่า $x$ มีค่าเท่ากับ $3+\frac{\sqrt{3}}{6}$ หรือ $3-\frac{\sqrt{3}}{6}$ แต่ $x \geq 3$ ต้องได้ว่า $x=3+\frac{\sqrt{3}}{6}$ ดังนั้นข้อนี้ตอบ 3.28 ครับ |
:eek: วิธีทำนี้คิดไม่ถึงเลยครับ ปล่อยต่อเลยนะครับ
31. จงหาพหุนามดีกรี $4$ ที่มีคุณสมบัติดังนี้ $P(0) = 0,P(1)=P(2)=P(3)=P(4)$ 32. ในการกระจาย $(\sqrt[4]{2}+\sqrt[8]{5})^{222}$ มีพจน์กี่พจน์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ใช้ทฤษฎีการกระจายธรรมดา แล้วหาพจน์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยสังเกตเลขชี้กำลัง จะได้ว่า พจน์ทุกพจน์เป็นจำนวนอตรรกยะ 33. จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ $\displaystyle{\frac{2000!}{1000!} = k(1\times3\times5\times7\times ...\times1997\times1999)}$ 34. จงหาค่า $a$ ที่เป็นไปได้ จากอสมการ $\displaystyle{\log_{(a^2+a+1)}{(3x^2+4)}-\log_{(a^2+a+1)}{(x^2+1)}>1}$ แบ่งเป็น 2 กรณี กรณีแรก คือ $0 < a^2+a+1 < 1$ เมื่อเช็คดูจะได้ว่า $-1 < a < 0$ จัดรูปธรรมดาจะได้ $\displaystyle{\frac{3x^2+4}{x^2+1} < a^2+a+1}$ $\displaystyle{3+\frac{1}{x^2+1} < a^2+a+1}$ เห็นได้ชัดว่า $\displaystyle{3 + \frac{1}{x^2+1} > 3}$ แต่เรารู้ว่า $\displaystyle{a^2+a+1 < 1}$ จึงขัดแย้งกัน ไม่มีค่า $a$ ที่เป็นไปได้ในช่วงนี้ กรณีที่สอง คือ $a^2+a+1 > 1$ จะได้ $a \in (-\infty,-1)\cup (0,\infty)$ จัดรูปธรรมดาจะได้ $\displaystyle{\frac{3x^2+4}{x^2+1} > a^2+a+1}$ $\displaystyle{3+\frac{1}{x^2+1} > a^2+a+1}$ จะได้ $3 < a^2+a+1 < 4$ จากอสมการข้างบนจะแก้ได้ $\displaystyle{((-\infty,-2)\cup (1,\infty )\cap (\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{\sqrt{13}-1}{2})}$ ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ คือ $\displaystyle{(1,\frac{\sqrt{13}-1}{2})}$ 35. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}}$ อย่างแรกคือ $x \neq 0$ นำ $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ คูณตลอด จะได้ $x+\sqrt{x}-\sqrt{x^2-x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ ย้าย $\sqrt{x}$ ไปลบ แล้วนำ $\sqrt{x}$ หารตลอด ($x\neq0$) สมการจะกลายเป็น $\sqrt{x} - \sqrt{x-1} = \frac{1}{2}$ ตอบ $x = \frac{25}{16}$ |
ข้อ 34 ดูเเปลกดี เเต่ไม่เเน่ใจเท่าไร
จัดไปมามันจะได้ $\frac{3x^2 +4}{x^2 +1} > a^2 + a+1$ ให้$ f(x) = \frac{3x^2 +4}{x^2 +1}$ จะได้ว่า $3<f(x)\leqslant 4$ หมายความว่า $f(x) > a^2 + a + 1$ ได้นั้น$ a^2+a+1 \leqslant 3$ เท่านั้น ดังนั้น $-2\leqslant a\leqslant 1 $ |
ขอข้อง่ายแล้วกันครับ ข้อ 33
$\dfrac{2000!}{1000!1000!} = \dfrac{2000!(k)}{1000!(2*4*6*...*2000) }$ จะได้ว่า $k=2^{1000}$ |
ข้อ 31 ผมได้เเปลกๆเเบบนี้นะครับ
ให้ $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=k$ เเละให้ $Q(x)=P(x)-k$ จะได้ว่า $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$ ดังนั้น $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ $P(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+k$ เนื่องจาก $P(0)=0 $จะได้ $k=-24a$ ดังนั้น $P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-24a$ |
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:35 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha