![]() |
ข้อสอบอังกฤษครับ
1.(BMO) p,q,r ฮ R+ โดยที่ p+q+r = 1 จงแสดงว่า 7(pq+qr+rp) ฃ 2+9pqr 2. x,y,z ฮ R+ โดยที่ x2+y2+z2=1 จงแสดงว่า x2yz+xy2z+xyz2 ฃ 1/3 |
อ้างอิง:
ข้อ 2 $$xyz(x+y+z)\leq (\frac{x^2+y^2+z^2}{3})^{3/2}\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} = \frac{1}{3}$$ |
ขอกู้กระทู้ :D
12(หากนับเลขข้อไม่ผิด). จงแสดงว่า \[\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11\] |
อ้างอิง:
นิยาม $a_1 = 1, a_n^2= a_{n-1} + n$ โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $$a_n < \sqrt{n}+1$$ ทุกค่า $n\geq 1$ :) |
ยังไม่มีคำถามข้อใหม่ ผมขอใช้สิทธิ์เดิมข้อก่อนตั้งแล้วกันนะครับ
13.ให้ a,b,c ฮ R+ จงแสดงว่า \[ \frac{2}{b(a+b)}+\frac{2}{c(b+c)}+\frac{2}{a(c+a)} \geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}} \] |
อ้างอิง:
\ge\sum_{cyc}\frac{1}{a(a+b)}+\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)} =\sum_{cyc}\frac{1}{ab} \ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\]อสมการสุดท้ายเป็นจริงโดย AM-GM:\[(a+b+c)^3\ge27abc \Rightarrow\sum_{cyc}\frac{1}{ab}\ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\] ### และแล้วก็ข้อถัดไป 14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า \[\frac{\ln{a}}{(a-b)(a-c)}+\frac{\ln{b}}{(b-c)(b-a)}+\frac{\ln{c}}{(c-a)(c-b)}<0\] |
14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า...
สมมติให้ a>b>c พิจารณา f(x) = (ln(x)-ln(b))/(x-b) เมื่อ b เป็นค่าคงที่ f'(x)= (-ln(x)+ln(b)+1-b/x)/(x-b)^2 เนื่องจาก ln(x/b)+b/x > 1 ทุก xนb ดังนั้น -ln(x)+ln(b)+1-b/x<0 => f'(x)<0 ทุก xนb เนื่องจาก a>cได้ว่า (ln(a)-ln(b))/(a-b) < (ln(c)-ln(b))/(c-b) จัดรูปใหม่ได้ (b-c)ln(a) + (c-a)ln(b) + (a-b)ln(c) <0 หารด้วย (a-b)(a-c)(b-c) จะได้ตามโจทย์ |
ไม่มีคำถามใหม่ ผมขอใช้สิทธิ์ตั้งคำถามแทนพี่ devil jr. แล้วกันครับ(แต่งเองครับ)
\[ ให้ a,b,c > 0 ; abc = 1 จงพิสูจน์ว่า \frac{a^{2}(a+b)(a+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{2}(b+a)(b+c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{2}(c+b)(c+a)}{(c-b)(c-a)} \geq 9 \] |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
คูณ (a-b)(b-c)(c-a)เข้าไปทั้งสองข้างจัดรูปได้ (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)^2 >= 9(a-b)(a-c)(b-c) (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c+3)(a+b+c-3)>=0 ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก a+b+c >= 3(abc)^(1/3)=3 |
ขอแก้ข้างบนนะครับ
คูณด้วย (a-b)(a-c)(b-c)ครับ ไม่ใช่ (a-b)(b-c)(c-a) |
ให้ x , y , z เป็นจำนวนจริงบวกที่มีผลบวกเป็น 3
จงพิสูจน์ว่า \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq xy + yz + zx \] |
ไม่ค่อยมีคนเลยนะครับ กระทู้นี้
ให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง x+y+z=xyz จงพิสูจน์ว่า \[ \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} \leq \frac{3}{2}\] |
อ้างอิง:
cos A + cos B + cos C ฃ 3/2 เมื่อ A,B,C เป็นมุมภายในของสามเหลี่ยม |
เดี๋ยวต้องจัดสรรเวลาใหม่ครับ ช่วงนี้ไม่มีเวลาคิดเลขบ้างเลย จับปลาหลายมือ :p
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:50 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha