13. กำหนด $$\arctan x-\frac{\pi}{4}=\sum_{k=1}^{2546}\arctan \frac{1}{k^2+k+1}$$ จงหาค่าxที่สอดคล้องกับสมการ
|
ผมขอเฉลยข้อเก่าละกันครับ
|
ข้อ 13 คุ้นๆนะครับ อ้อ สสวท. ปี '38 รึเปล่า ประมาณปีแถวๆนั้นแหละครับ
จัดรูป $\large \frac{1}{k^2+k+1}=\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}$ เห็นแล้วคงนึกถึงสูตรของ tan ใช่แล้วครับ จัดรูปหน่อยก็จะได้คำตอบ :D |
$$\because \arctan x - \arctan y = \arctan\frac{x-y}{1+xy}$$
$$\therefore \arctan\frac{k+1-k}{1-k(k+1)}=\arctan k+1 - \arctan k$$ $$\sum_{k=1}^{2546} \arctan (k+1) - \arctan k=\arctan2547-\arctan 1$$ $$\arctan x -\frac{\pi}{4} = \arctan2547-\arctan 1$$ $$x=2547$$ 14.จงแก้อสมการ $$\sin x < \cos x$$ |
ความจริงข้อนี้ดูจากกราฟแล้วก็ตอบได้เลย แต่ผมขอคิดแบบ algebric ดีกว่า (เรียกแบบนี้รึเปล่า อิอิ)
คูณตลอดด้วย $\large \sin \frac{\pi}4=\cos \frac{\pi}4>0$ $$\sin x \cos \frac{\pi}4- \cos x \sin\frac{\pi}4<0$$ $$\sin (x-\frac{\pi}4)<0$$ นั่นคือ $\large x-\frac{\pi}4 \in(-\pi+2n\pi,2n\pi)\quad,n\in I$ นั่นคือ $\large x \in( (2n-\frac 34)\pi,(2n+\frac 14)\pi)\quad,n\in I$ หุหุ ไหนๆทำข้อนี้แล้ว เอากราฟมาให้ดูดีกว่า หมายเหตุ สีเขียวเป็นกราฟของ $\cos$ สีฟ้าเป็นกราฟของ $\sin$ จุดที่ $\large \sin x=\cos x$ คือ $\frac{\pi}4+n\pi$ ก็จะได้คำตอบเดียวกันครับ คือ $\large x \in( (2n-\frac 34)\pi,(2n+\frac 14)\pi)\quad,n\in I$ |
ขอใช้สิทธิ์ตั้งคำถามข้อต่อไปละกันครับ
สามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาว $$\large \sin \theta,\sin 2\theta,\sin 3\theta\qquad,0\leq \theta <2\pi$$ $(i)\ \ $ มีพื้นที่เท่าไหร่ครับ $(ii)\ \ $ มีพื้นที่มากที่สุดเท่าไหร่ครับ (from mathlinks) |
ข้อนี้ผมใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณได้มันหยดเลยครับ ได้ผลดังนี้
1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ $$\frac{\sin \theta \sin 2\theta \sin 3\theta}{2}$$ 2. พื้นที่มากที่สุดคือ $$\frac{34\sqrt2+ 5\sqrt5}{216}$$ ไม่เข้าใจเหมือนกันครับว่า ทำไมคำตอบของข้อ 1. มันออกมาได้พอดิบพอดีอย่างงั้น :rolleyes: |
ข้อ 1 ถูกต้องแล้วครับ ส่วนข้อ 2 ยังไม่ทราบเหมือนกันครับ
และข้อ 1 ถ้าอยากดูแนวคิดก็ ที่นี่เลยครับ Area of triangle |
ได้คำตอบ $ \frac{34\sqrt2+ 5\sqrt5}{216} $ เท่ากับพี่ warut ครับ
ให้ $ x=\sin\theta $ และพิจารณา $ g(x)=\frac{1}{2}\sin\theta\sin 2\theta\sin 3\theta=x^3(3-4x^2)\sqrt{1-x^2} $ เมื่อ $ x\in\left(0,\frac{\sqrt3}{2}\right) $ หาอนุพันธ์ของ $g(x)$ จะได้ว่าค่าสูงสุดอยู่ที่ $ x^2=\frac{8-\sqrt{10}}{12} $ จะได้พื้นที่สามเหลี่ยมมากที่สุดคือ $ \frac{34\sqrt2+ 5\sqrt5}{216} $ ตารางหน่วย โดยเกิดสมการเมื่อ $ \sin^2\theta=\frac{8-\sqrt{10}}{12} $ แหะๆ วิธีไม่ค่อยสวยงามเท่าไหร่ มีใครมีวิธีอื่นอีกรึเปล่าครับ |
ผมก็ทำคล้ายๆกันนี่แหละครับ แต่ผมหาจุดสูงสุดของ $\{g(x)\}^2$ แทน $g(x)$ ซึ่งอาจช่วยให้ง่ายขึ้นเล็กน้อยครับ (ไม่ต้องติด square root)
|
16. จงหาจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการ
$$4^{3x+2}-3\cdot 4^{x+1}+4^{\log_{16}5}=1$$ |
อ้างอิง:
หากผิดตรงไหนช่วยระบุด้วยครับ อ้อหากไม่ลำบากช่วยเฉลยละเอียดข้อ 10 ด้วยครับ |
เฉลยข้อ 10 โดยคุณ GFK
ถูกต้องแล้วครับ เชิญตั้งข้อใหม่เลยครับ |
17. สูตรประมาณผลคูณของ Vieta (Vieta's Product approximation) ได้มาจาก $$1=\frac{\pi}{2} \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$ จงพิสูจน์สูตรด้านบนนี้โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า $$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\quadและ\quad\frac{\sin x}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}=\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}$$ และใช้ผลที่ได้แสดงว่า $$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^n}$$
ใบ้: l'Hospital และสูตรครึ่งมุมโคไซน์ |
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:15 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha