การใช้เมตริกซ์ในการหาเศษเหลือพหุนาม
 

ใช้ในกรณีพหุนามตัวหารทีมีดีกรีสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ครับ...

เศษเสมือน
 

ปกติถ้าถามว่านำพหุนาม $x^2+x+1$ไปหารพหุนาม $x^2-2x+2$เหลือเศษเท่าใดก็อาจจะฟังดูปกติอยู่ซึ่งก็น่าจะตอบได้ไม่ยากว่าเหลือเศษ$(-3x+1)$
แต่ถ้าถามว่าพหุนาม$x^2+x+1$หารฟังก์ชัน $x^{1/2}$เหลือเศษเป็นพหุนามอะไรอาจจะตอบว่าไม่สามารถหาเศษได้เพราะฟังก์ชัน$x^{1/2}$ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามแต่ว่าถ้าเราขยายกรอบนิยามการหาเศษพหุนามออกไปให้ใช้ได้กับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามได้ด้วยจะได้ว่า
$$x^{1/2}=(\frac{-1}{x^{1/2}+x+1})(x^2+x+1)+(x+1)$$
หรือพูดได้ว่าผลหารที่ได้เสมือนมีเศษเท่ากับ $x+1$
ด้วยหลักการนี้จะสามารถนำไปหาเศษเสมือนของฟังก์ชันอื่นเมื่อหารด้วยฟังก์ชันพหุนามได้

ถ้าเศษเสมือนคือฟังก์ชันพหุนามที่ได้จากการหารฟังก์ชันตั้งต้นที่ไม่ใช่พหุนามด้วยฟังก์ชันตัวหารที่เป็นพหุนามได้...
การคิดเชิงอุปมาอุปมัยอย่างสมมาตรทำให้คาดการณ์ได้ว่าฟังก์ชันทั้งตัวตั้งและตัวหารที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามหารกันแล้วเศษของผลหารจะสาม ารถเขียนในรูปแบบพหุนามได้...
ยกตัวอย่างเช่น...$ฟังก์ชัน\sqrt{x} หารด้วยฟังก์ชันsinx$เศษของผลหารจะสามารถเขียนในรูปแบบของฟังก์ชันพหุนามได้

หรือสามารถเขียนเป็นสมการผลหารและเศษได้ดังนี้
$$\sqrt{x} =a(x)sinx+b(x)$$
เมื่อ a(x)คือฟังก์ชันผลหาร
b(x)คือฟังก์ชันเศษที่สามารถเขียนได้เป็นพหุนามไม่สิ้นสุด

โดยที่
$b(x)=b_0+b_1x+b_2x(x-\pi )+b_3x(x-\pi )(x-2\pi)+b_4x(x-\pi)(x-2\pi)(x-3\pi)+...$
และ$b_0=0$
$b_1=\frac{1}{\sqrt{\pi}} $
$b_2=(\frac{\sqrt{2}-2}{2})(\frac{1}{\sqrt{\pi^3}})$
$b_3=(\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}+3}{6})(\frac{1}{\sqrt{\pi^5}})$
...
เป็นต้น

หลักในการหาเศษเสมือนจากการหารฟังก์ชัน$x^{1/2}$ด้วยพหุนามกำลังสอง $x^2+x+1$
เศษเสมือนที่ได้จะอยู่ในรูปแบบ$ax+b$
โดย $a=1และb=1$หรือเศษเสมือนเท่ากับ$x+1$
และสามารถแจกแจงรายละเอียดการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเศษเสมือนได้อย่างเป็นขั้นเป็นตอน
ตามสูตรนี้http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1483529921
ด้วยหลักการนี้ทำให้หาเศษของการหารฟังก์ชันใดๆด้วยพหุนามกำลังสองได้เป็นการสรุปที่เพ้อเจ้อเกินไปมั้ยครับ?

เศษเสมือนของฟังก์ชันcos
 

...ฟังก์ชัน$cosx$หารด้วยพหุนาม$x^2+1$ได้เศษเสมือนคือพหุนามอะไร...
ด้วยวิธีของเทเลอร์...
$cosx=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)-(x^6/6!)+...$
เมื่อนำพหุนาม$x^2+1$ไปหารพหุนาม$1-(x^2/2!)+(x^4/4!)-(x^6/6!)+...$
น่าจะหาได้ไม่ยากนัก...เศษคือ$1+1/2!+1/4!+1/6!+...$โดยใช้$x^2=-1$
...หรือพูดอีกแบบได้คือฟังก์ชัน$cosx$หารด้วยพหุนาม$x^2+1$ได้เศษเสมือนคือ
$1+1/2!+1/4!+1/6!+...$ซึ่งมีค่าเท่ากับ$(e+1/e)/2$...โดยใช้
...$e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...$
...หรือสรุปได้คือ...
$cosx=Q(x)(x^2+1)+[(e+1/e)/2]$..เมื่อ$Q(x)คือฟังก์ชันผลหาร$
...ลองแทน$x=i$
...ได้$$cosi=(e+1/e)/2$$
เป็นไปได้มั้ยครับ...
ถ้าเข้าใจผิดยังไง...
ลองแก้ไขกันครับ

การประยุกต์เศษเสมือนเข้ากับอนุกรมเทเลอร์
 

ๅอนุกรมเทเลอร์บอกเราว่า...
$$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} $$
โดยที่..$f^{(n)}(x)$...คืออนุพันธ์อันดับที่...$n$...ของฟังก์ชัน$f(x)$
ซึ่งอยู่ในรูปอนุกรมกำลัง...$x^n$
ถ้าเราแทนที่...$x^n$...นี้ด้วยความสัมพันธ์...$b_n$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}$
จะได้อนุกรมออกมาในรูปอนุกรมของความสัมพันธ์เชิงเส้น...
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
โดยที่...$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}...และb_0=0,b_1=1$
...เราสามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้ได้
ซึ่งจะไปเกี่ยวพันกับกับการหาเศษเสมือนของฟังก์ชั่น$f(x)$
ซึ่งถูกหารด้วยพหุนาม$x^2-\alpha x-\beta $
หรือเขียนได้ว่า...
$$R'(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)b_n}{n!} $$
เมื่อ...$R(x)คือฟังก์ชันเศษเหลือพหุนามในรูป...px+q$
ที่เสมือนฟังก์ชัน..$f(x)ถูกหารด้วยพหุนาม..x^2-\alpha x-\beta $

...เช่นคำถาม...
$$1+1/2!+2/3!+3/4!+5/5!+8/6!+...+a_n/n!=?$$
โดย...$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$
และ...$a_1=1...,a_2=1...$

...ได้ผลรวมลู่เข้าสู่....
$$(1/\sqrt{5})(e^{(1+\sqrt{5})/2}-e^{(1-\sqrt{5})/2})$$
...หรือประมาณ...$2.0143$
...ขอบคุณครับ...

ความสัมพันธ์เชิงเส้นของเศษเหลือพหุนาม

...เช่นถ้า...
พหุนาม...$P(x)$...หารด้วยพหุนาม...$x^2-x-1$...แล้วเหลือเศษ...$3x-1$...แล้ว
พหุนาม...$[P(x)]^2,[P(x)]^3,...,[P(x)]^n$...หารด้วยพหุนามเดียวกันจะเหลือเศษเท่าไหร่บ้าง...

$...พหุนามเศษที่ได้จะมีความสัมพันธ์กันแบบเชิงเส้น...$
$$R_n=\alpha R_{(n-1)}+\beta R_{(n-2)},เศษเริ่มต้นR_0และะR_1$$
โดย...$R_n$...แทนเศษของพหุนาม...$[P(x)]^n$
...เช่นตัวอย่างนี้ความสัมพันธ์เชิงเส้นของพหุนามเศษคือ...
$$R_n=R_{(n-1)}+11R_{(n-2)},R_0=1และR_1=3x-1$$