1.ให้ $a,b,c$ เเทนด้านสามเหลี่ยมใดๆ
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge \sqrt{3}$$
ให้ $a^2+b^2+c^2=3$ จะได้อสมการใหม่เป็น
$$\frac{a}{\sqrt{2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2-c^2}} \geq 3$$
โดย Cauchy Schwarzt
$$\frac{a}{\sqrt{2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2-c^2}} \geq \frac{9}{a^3\sqrt{2-a^2}+b^3\sqrt{2-b^2}+c^3\sqrt{2-c^2}}$$ กลายเป็นว่าเราต้องพิสูจน์
$$3 \geq a^3\sqrt{2-a^2}+b^3\sqrt{2-b^2}+c^3\sqrt{2-c^2}$$ อสมการนั้นสมมูลกับ $$(a^4+b^4+c^3-3)^2 \geq 0$$


3.ให้ $a,b,c>0$ เเละ $abc=1$
จงเเสดงว่า
$$\frac{a}{b^2(c+a)(a+b)}+\frac{b}{c^2(a+b)(b+c)}+\frac{c}{a^2(c+a)(a+b)}\ge \frac{3}{4}
$$

แทน $a= \dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$ ได้ $$\dfrac{y^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{z^2}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{x^2}{(z+x)(z+y)} \geq \dfrac{3}{4}$$
โดยอสมการ Cauchy จะได้ว่า $$\dfrac{y^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{z^2}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{x^2}{(z+x)(z+y)} \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)} \geq \dfrac{3}{4}$$

ซึ่งเป็นจริง

ลงโจทย์ใหม่ๆเลยครับ

ทำไมกำหนด $a^2+b^2+c^2=3$
ได้อะครับ

#35 อสมการ Homogeneous ครับคือผมเคยลองใช้เเล้วอาจารย์ก็พิสูจน์ให้ดูเหมือนกันครับ 5555

มันอยู่ในค่ายไหนหรอครับ ไม่เคยได้ยิน 555+

ผมก็รู้จากในนี้เเหละครับ ไม่รู้ค่ายไหนเหมือนกัน 555
เเต่การที่เราจะให้ได้เราต้องรู้ว่า ถ้า $a,b,c$ เพิ่มเป็น $k$ เท่าเเล้วอสมการยังคงรูปเดิมครับ

ตอนนี้เหมือนทุกศูนย์น่าจะสอบกันหมดแล้ว งั้นเปลี่ยนมาเป็น โอลิมปิคเลยดีกว่า :D

---------------------------------------------------------------

Plane Geometry

1. ให้ UV เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลม ซึ่งมี P,Q อยู่บนเส้นรอบวงโดยที่ UP<UQ และ RP,RQ เป็นเส้นสัมผัส
และ S เป็นจุดตัดของ UP กับ VQ พิสูจน์ว่า RS ตั้งฉากกับ UV

Combinatorics

1. เด็กชายคนหนึ่งเหลือเวลาในการอ่านหนังสือสำหรับสอบปลายภาค 37 วัน เขาจึงเริ่มจัดตารางอ่านหนังสือโดยตั้งใจว่าจะอ่านหนังสือรวม
ไม่เกิน 60 ชั่วโมงและจะอ่านอย่างน้อยวันละ 1 ชั่วโมงต่อวัน จงแสดงว่าไม่ว่าเขาจะจัดตารางแบบไหนออกมา จะมีช่วงวันที่เขาอ่านหนังสือ
รวมเวลาแล้วได้ 13 ชั่วโมง โดยมีข้อแม้ว่าการอ่านแต่ละครั้งต้องอ่านโดยไม่มีเศษเป็นนาที คือ เต็มชั่วโมง

2. ถ้าเลือกจำนวนนับ 6 จำนวนจาก ${1,2,3, . . . , 25}$ จงแสดงว่ามีอย่างน้อย 2 จำนวน x และ y ซึ่ง $$0<|\sqrt{x}-\sqrt{y}|<1$$

Inequality

1. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า $$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$$

Number Theory

1. จงหา หรม ของ $(a_1,a_2,a_3,..., a_2012) $ โดยที่ $a_n=n^17-n$

2. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ จงแสดงว่า $$\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p} $$

IE:$$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$$
ยกกำลัง 6 $$ 27(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 64(ab+bc+ca)^3 $$
$$ 81(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 192(ab+bc+ca)^3 $$
พิจารณา $$ 3(ab+bc+ca) \leqslant (a+b+c)^2 $$
$$ 81(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 64(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2$$
$$ 9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
จาก $$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$
$$9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]$$
$$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc $$

NT 1: พิจารณา $$(1+x)^{2n} = (1+x)^n(1+x)^n$$
ดูสัมประสิทธิ์ $x^n$ และเทียบสัมประสิทธิ์ $$ [\dbinom{n}{0}\dbinom{n}{n}+\dbinom{n}{1}\dbinom{n}{n-1}+....+\dbinom{n}{n}\dbinom{n}{0}]x^n = \dbinom{2n}{n}x^n $$
$$\therefore \dbinom{n}{0}^2+\dbinom{n}{1}^2+....+\dbinom{n}{n}^2 = \dbinom{2n}{n}$$
$$\therefore \dbinom{2p}{p} = \dbinom{p}{0}^2+\dbinom{p}{1}^2+....+\dbinom{p}{p}^2 $$
และ $$p \mid \dbinom{p}{r}$$ ทุกจำนวนนับ $r > 1$
ได้ $$\dbinom{2p}{p} \equiv 2 (mod p)$$

คอมบิ 2 แบ่งรังเป็น
1-3
4-8
9-15
16-24
25

พบว่า ถ้า $p\le 17$ จะได้ว่า $n^{p-1}\equiv 1\pmod p$ ทุกๆ $(n,p)=1$ เเละ ถ้า $p|n$ จะได้ว่า $p|n^{17}-n$ เสมอ โดยได้อีกว่า $p-1|16$ นั่นคือสำหรับ $p\le 17$ จะได้ $p|a_n$ ทุกๆ $n\in N$
ถ้า มีจน.เฉพาะ $p>17$ ให้ $p=17+m$ เมื่อ $m\ge 2$ เเละให้ $p|2^{17}-2=a_2$
จะได้ว่า $$ 2^{16+m}\equiv 2^{16}\equiv 1 \pmod p$$
ดังนั้น $2^{m}\equiv 1\pmod p$
เเละพิจารณาว่าถ้า $m\ge p-1$ จะเกิดข้อขัดเเย้งคือ $p=17+m\ge p+16$ ดงัน้น $m<p-1\rightarrow m|p-1=16+m$ นั่นคือหา $m$ ได้ไม่กี่ค่าเเละพบว่า $m=2$ เท่านั้นที่ทำให้ $p$ เป็นจน.เฉพาะเเละไม่เป็นจริงด้วย ดังนั้น $p\le 17$
เเละพิจารณาว่า ทุกๆ $p\le 17$ จะได้ว่าถ้า $p^\alpha|p^{17}-p$ เมื่อ $\alpha >1$ จะได้ $p^{\alpha-1}|p^{16}-1$ ซึ่งขัดเเย้ง ดังนั้น ได้ว่า$(a_1,a_2,a_3,..., a_{2012}) =2\times3\times5\times7\times11\times13\times17=510510$

ข้อเรขา ลาก $SR$ ผ่่่านมาตัด $UV$ ที่ $T$ เเละให้ $O$ เป็นศูนย์กลางครึ่งวงกลม เเละ $QUV,PVU=\alpha,\beta$ ตามลำดับ พบว่าจุดตัดของ $PV$ เเละ $QU$ คือ $E$
จะพบว่า $OQRP$ เเละ $EQSP$ เป็น Concyclic เเละ $PQE=\beta=\hat PSR$
เพราะว่า $\hat SPR=\beta$ ดั้งนั้น $\hat PRT=\hat PSR+\hat SPR=2\beta=\hat POC$
ดังนั้น $PRTO$ ก็เป็น Concyc จึงได้ว่า $\hat OPR+\hat RTO=180^\circ\rightarrow \hat RTO=90^\circ$

Attachment 10489

แค่พิสูจน์ว่ามุม TSV = @ ก็จะได้ว่า #+@ เป็นมุมฉาก ---> RS ตั้งฉากกับ UV


เส้นสัมผัสวง RQ ตั้งฉาก OQ และ PR ตั้งฉาก OP, และ RQ = PR, มุม@+มุม# = 90 องศา

จะได้ PRQO เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส RQP = 45 องศา (เส้นทแยงมุม) = QUO (เส้นสัมผัสวง)

เพราะว่า UQV เป็นมุมฉาก (ครึ่งวงกลม)

ดังนั้น UQS เป็นมุมฉาก จะได้USQ = 45 องศา ---> SQ = UQ

จะได้ว่า สามเหลี่ยม UQO เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม SRQ (ดมด)

จะได้ว่า มุม RSQ = @

นั่นคือมุม TSV + มุม SVT = 90 องศา ---> SRT ตั้งฉาก UV

#42 โทษทีครับไม่มี $a_1$ แต่คำตอบก็ไม่ใช่นะครับ ดูแค่ $a_2$ ก็รู้ว่า $7,11,13$ หารไม่ลงแล้ว แต่ผมแค่อยากเห็นว่า

ทำไม $p \leq 17$ กับ $p^a$ ก็พอครับถือว่าประสบผลสำเร็จครับ คนอื่นก็โอเคนะครับ :D

ปล. ง่ายไปหรืออะไรไปก็บอกมานะครับ ไม่อยากให้มันน่าเบื่อ
-----------------------------------------------------------------------------------------------

Inequality

1. $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x_1+x_2+...+x_n=1$ จงหาค่าสูงสุดของ $$\sum_{i=1}^{n} x^4_i-x^5_i$$

2. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $(a+b)(b+c)(c+a)=8$ จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[27]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$

Geometry

1. วงกลม I แนบในสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สัมผัส AB,BC,CA ที่ F,D,E ตามลำดับ ลากส่วยสูง AK และ ให้ P เป็นจุดบน AK ซึ่งทำให้ AP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม M ที่สัมผัสภายนอกวงกลม I และตัด AB,AC ที่ X,Y ตามลำดับ ถ้า AE=15,XY=8 และรัศมีวงกลม M คือ 5 จงหา BC


Number

1. หาจำนวนนับทั้งหมดซึ่ง $x^y=y^x$

2. หาจำนวนนับ $(a,b,c)$ ซึ่ง $a^2+b^2+c^2=2005$

ชอบไอเดียข้ออสมการข้อ 2 ดีครับ :kiki:

ผมใช้เอกลักษณ์นี้ครับ

$$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$$

#46 เเล้วทำไงต่ออ่ะครับ :eek: