| AnDroMeDa |
29 มกราคม 2012 13:30 |
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
(ข้อความที่ 132046)
ปีนี้ไม่ให้ข้อสอบกลับมา :sweat:
ผมทำข้อ6คะแนน ได้ข้อเดียวเอง ข้อแรก มองไม่ออกง่ายแท้ๆ:sweat:
ปีนี้มี ง่าย 10 ข้อข้อละ 2 คะแนน
กลาง 10 ข้อข้อละ 4 คะแนน
ยาก 5 ข้อข้อละ 6คะแนน
อังกฤษ 5 ข้อข้อละ 2 คะแนน
ข้อ 6 คะแนนข้อ 5
x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า 3 ที่ทำให้
$$\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6} =36$$
จงหาค่ามากสุดของ $x^2+y^2+z^2$
|
โดยอสมการโคชี Engel Form ได้ว่า$$36=\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6}\geqslant \frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12} \Leftrightarrow (x+y+z-24)^2\leqslant 0 \Rightarrow x+y+z=24 เท่านั้น $$
แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า
$$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} =36,let x+2=a,y+4=b,z+6=c \Rightarrow \frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} =36$$
แต่จาก $\frac{a^2}{24-a} \geqslant 3a-24 \Leftrightarrow (a-12)^2\geqslant 0$ ได้ว่า
$$36=\frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} \geqslant (3a-24)+(3b-24)+(3c-24)=3(a+b+c)-72=3(36)-72=36$$
ทำให้$a=b=c=12\Rightarrow x=10,y=8,z=6\Rightarrow x^2+y^2+z^2=200$
|
