ขอบคุณคุณl ek2554 ครับ ตามสูตรได้ 43.5 แต่ผมคิดแบบลูกทุ่ง คือ นักเรียน 10 คนสอบได้คะแนน 40-49 นับต่อเป็นลำดับที่ 17+1 ถึง 17+10 หรือที่ 18 - 27 ถ้าคิดง่าย ก็ ต่างกันลำดับละ 1 พอดี ที่18 ได้ 40, ที่19 ได้ 41, ที่20 ได้ 42, ที่21 ได้ 43,...,ที่27 ได้ 49
แต่คงไม่นิยมเพราะต้องการให้ใช้สูตรสำหรับกรณีทั่วๆไปที่ลำดับที่เพิ่มขึ้นกับคะแนนที่เพิ่มขึ้น ไม่เป็นจำนวนเต็มลงตัวง่ายๆได้
ซึ่งตามสูตรจะได้ ลำดับที่ 18 ได้ 40.5, ที่ 19 ได้ 41.5, ..,ที่ 27 ได้ 49.5 คะแนน คือสูงกว่าคิดแบบง่ายๆ ไป 0.5 ทุกลำดับในช่วงนี้

ตาม #69 ข้อ 44 ตอบ 43.5
ข้อ 45 น่าจะตอบ 33 ครับ

ข้อ 41 ใน#69 ใช้สูตรกระทัดรัดดี แต่ส่วนใหญ่คงดูไม่ออกว่าคิดมาได้อย่างไร คงต้องรอคุณ Suwiwat B หรือใครมาอธิบายสูตรเด็ดนั่น
ผมเลยลองอีกวิธีหนึ่ง ที่ได้คำตอบเหมือนกันแต่ยืดยาว แต่ก็ยังดีกว่าแจงไปทุกกรณี ซึ่งมี 22 กรณีด้วยกัน
ถ้า a=0 b+c+d =4 ถ้าเป็น 004 จัดเรียงได้ 3 วิธี, 013 ได้ 3!=6 วิธี, 022 ได้ 3 วิธี, 211 ได้ 3 วิธี รวม 3+6+3+3=15 วิธี
ถ้า a=1 b+c+d =2 ถ้าเป็น 002 จัดเรียงได้ 3 วิธี, 011 ได้ 3 วิธี รวม 3+3=6 วิธี
ถ้า a=2 b+c+d =0 ถ้าเป็น 000 ได้ 1 วิธี รวม = 15+6+1=22 วิธี

เพิ่งรู้วิธีลัด ใช้วิธี Stars and bars โดยการมองการแบ่งกลุ่ม 3 กลุ่มเหมือนการเอาไม้ 2 อันมาวางแทรกภายในแถวที่มีจำนวนหนึ่ง เนื่องจากการแบ่งแบบนี้แต่ละกลุ่มต้องได้อย่างน้อย 1 ชิ้น แต่ a,b,c เป็น 0 ได้ จึงสมมุติว่าแจกไปล่วงหน้าคนละ 1 แบ่งแล้วค่อยเอาคืนคนละ 1 จึงเพิ่มจำนวนไป 3 และจะมีช่องว่างให้แทรกเท่ากับจำนวนทั้งหมด -1 จึงต้องลบออก 1 ด้วย
ดังนั้น วิธีแทรกไม้้ 2 อันจึงทำได้ดังนี
ถ้า a=0 b+c+d =4 จะเลือกได้ =$\binom {4+3-1}{2}=15$
ถ้า a=1 b+c+d =2 จะเลือกได้ =$\binom {2+3-1}{2}= 6$
ถ้า a=2 b+c+d =0 จะเลือกได้ =$\binom {0+3-1}{2}= 1$
รวม = 22 วิธี

ข้อ 46 จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดชาย 3 คนและหญิง 3 คน ซึ่งมีนาย ก และนส ข รวมอยู่ด้วย ให้ยืนเป็นแถวตรง 2 แถวๆละ 3 คน โดยที่ นาย ก และ นส ข ไม่ได้ยืนติดกันในแถวเดียวกัน

กรณีแรก
นาย ก และ นส ข ไม่ได้อยู่ในแถวเดียวกัน
แถวนาย ก จะเลือกคนมาได้ 2 จาก 4 คน ได้ $4C_2=6$วิธี และจัดเรียงภายในแถว ได้ 3!= 6 วิธี รวม $6\times6=36$ วิธี
อีกแถวจะจัดเรียงได้ 3!= 6 วิธี
ดังนั้น กรณีแรก จะได้ จำนวนวิธีรวม= (จำนวนวิธี จัดแถวที่มีนายก )x (จำนวนวิธีจัดแถวที่ไม่มีนาย ก) x 2!(สลับแถว)= $36 \times 6 \times 2=432$ วิธี

กรณีที่สอง
นาย ก. และ นส ข. อยู่ในแถวเดียวกัน แต่ไม่ติดกัน ต้องเลือกคนอื่นมาอีก 1 คนจาก 4 คน ได้ 4 วิธี สลับหัวท้ายที่นาย ก และ นส ข.อยู่ได้ 2 วิธี รวม $4\times 2=8$ วิธี
อีกแถวหนึ่ง จัดเรียงได้ 3!=6 วิธี
รวมจำนวนวิธีจัด 2 แถวนี้ และทำการสลับแถวด้วย $=8\times 6\times 2=96$ วิธี

รวมทั้งสองกรณี จำนวนวิธีในการจัดแถว=$432+96=528$ วิธี

ขออนุญาติ ผมเห็นอย่างนี้ครับ
ก.
$|u-v|^2<|u|^2-|v|^2$
$ \left(\,u-v \right) \bullet \left(\,u-v\right) \prec \left(\,u-v\right)\bullet \left(\,u+v\right) $
ดังนั้น ข้อ ก. ถูก

ข้อ ข. ถูก
ตอบข้อ 1.

ผิดถูกประการใด ชี้แนะด้วยครับ ^^

จากคำถาม ข้อ ก. สมมูลกับบรรทัดต่อมา (สีแดง)

แล้วทำไมถึงสรุปว่าข้อความนี้ถูกครับ

ขออภัยครับ ... ผมไม่แม่นเรื่องสมบัติ ตอนแรกนึกว่า u - v จะตัดกันได้ทั้ง 2 ข้าง แต่ได้ไปดูสมบัติของเวกเตอร์แล้วไม่มีสมบัติของการตัดออก ดังนั้นข้อ ก. ไม่ถูกครับ

แต่ก็ยังหาข้อสรุปไม่ได้ว่าทำไมครับ :( เพราะได้ลองทำอีกวิธีแล้วจะได้ข้อสรุป |v| < |u|cos\theta


:wacko::wacko:

โจทย์แบบนี้จะสังเกตอย่างไรครับว่า แถวสองแถวที่โจทย์กล่าวมาจะต้องคิดต่างกันหรือไม่

กรณี 1 แถวต่างกัน ได้ 528
กรณี 2 แถวไม่ต่างกัน ได้ 528/2=264

ขอบคุณครับ :please:

จากข้อสอบมัธยมปลาย หลักสูตรเขาน่าจะให้คิดว่าไม่เหมือนกันนะครับ เช่นการแจกของก็เหมือนกัน ในข้อสอบpatเวลาแจกลูกอม ถ้าคิดว่าลูกอมเหมือนกันทุกเม็ดจะไม่มีคำตอบครับ

#19 พี่ครับ ข้อนี้พี่ยังไม่ได้บอกเลยครับว่า พิสูจน์แบบที่พูดมาได้หรือเปล่า

พอดีผมสอบปีนี้ แล้วอยากรู้ครับ (ตัวเองทำมั่วๆได้ว่าเป็นฟังก์ชัน)

ยังไงก็ช่วยหน่อยนะครับ ท่านไหนก็ได้ อยากรู้มากครับ

ตอนผมทำผมใช้ว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก X ไป Y จะมี g เป็นฟังก์ชันจาก Y ไป X เป็นอินเวอร์สฟังก์ชัน

โดยที่ g*f = Ix และ f*g = Iy เมื่อ Ix เป็นเอกลักษณ์การคูณของเวกเตอร์สเปซ x อะครับ

นิยามนี้ถูกมั้ย หรือใช้วิธีไหนง่ายกว่า

ข้อ4ถูกแล้วครับ

ข้อ ข. เมื่อวาดกราฟจะเห็นว่า เส้นช่วงแกน x > 0 จะเป็นเส้นตรง x = 1 เวลากลับอินเวิร์ส มันจะไม่ใช่ฟังชันแน่นอนครับ

ข้อ 5)

ที่ $0^\circ <\theta <45^\circ$

$0 < sin \theta < cos \theta < 1$

$0 < tan \theta < 1 < cot \theta$


Take log ทั้ง 4 ตัว ได้

$log A = tan \theta \bullet log (sin \theta)$

$log B = cot \theta \bullet log (sin \theta)$

$log C = sin \theta \bullet log (cot \theta)$

$log D = cos \theta \bullet log (cot \theta)$


โดยที่ $log (sin \theta) < 0$ และ $log (cot \theta) > 0$ จะได้

$B < A < C < D$

PAT ฉบับเต็มสามารถหาได้ที่ไหนบ้างครับ

เซิชใน Google เลยครับ ในเว็บ unigang จะเก็บไว้หมดเลย