อันนี้ไม่รู้ว่าจะง่ายไปสำหรับคนบอร์ดนี้หรือเปล่า:)
จงหาว่ามีจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งทำให้มีชุดคำตอบ $(x_1,x_2,x_3,...x_{2012})$ ซึ่งเป็น

จำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $x_1<x_2<x_3<...<x_{2012}$ และ

$$\frac{1}{x_1} +\frac{2}{x_2} +\frac{3}{x_3} +...+\frac{2012}{x_{2012}} =n$$(TUGMOs)

น่ารักดีครับ :wub:

ตอบ 2012 ป่ะครับ

$$\frac{1}{x_1} +\frac{2}{x_2} +\frac{3}{x_3} +...+\frac{2012}{x_{2012}} =n$$

เมื่อ$1\leqslant n\leqslant 2012$

มีคำตอบเสมอ โดย

$n=1 \rightarrow a_i=2012i$ ทุก $i=1,2,...,2012$

$n>1 \rightarrow a_i=i$ ทุก $i=1,2,...,n-1$ และ $a_j=(2013-n)j$ ทุก $j=n,n+1,...,2012$ ครับ

ถ้า $n>2012$ ไม่มีทางหาได้ครับ ใช้อสมการนิดๆหน่อยๆ :D

มาฝึกโจทย์รวมกันครับ
Attachment 13998
Attachment 13999

ข้อ $4$ ง่ายไปครับ

ข้อ 3
A,E,D มัน colinear มันจะอยู่บนวงกลมเดียวกันยังไงอ่ะ ครับ

#49 จริงด้วย โจทย์พวกพีชคณิตของผมอาจจะง่ายเกิน
#50 ขอโทษครับเป็น O,E,F,D แก้แล้วครับ

ข้อ 1 ให้ $y,z \in \mathbb{R}$ โดยที่ $f(y)=f(z)$

แสดงว่า $$\begin{array}{rcl} f(f(y)) & = & f(f(z)) \\ y+f(y) & = & z+f(z) \\ y &=& z\end{array} $$

$\therefore f$ เป็นฟังก์ชัน $1-1$

แทน $x=0$ ในสมการจะได้ว่า $f(0)=f(f(0))$ $\therefore f(0)=0$

จาก $f$ เป็นฟังก์ชัน $1-1$ แสดงว่ามี $x=0$ เพียงคำตอบเดียวที่สอดคล้องกับสมการ $f(x)=0$

Attachment 14006
ข้อ 10 credit คุณ ArT_Ty ครับ
Attachment 14007

Hint :: $\dfrac{n^2-1}{2}$ เป็นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้

$|P(1)-1| = \cases{P(1)-1 & , P(1) \ge 1 \cr 1-P(1) & , P(1)< 1} $