|
56. กำหนดให้ $p,q \in \mathbb{Z}^+$ $\gcd{(p,q)} = 1$ และ
$$\frac{p}{q} = \frac{543}{2549}+\frac{543\times542}{2549\times2548}+...+\frac{543\times542\times ...\times2\times1}{2549\times2548\times ...\times2007}$$ จงหาค่าของ $p+q$ 57. กำหนดให้ $\displaystyle{a\Delta b} = \frac{a^b}{a^b+\sqrt{a}}$ และ $\displaystyle{A = \sum_{n=1}^{1002}(n\Delta\frac{n}{2004})}$ $\displaystyle{B = \sum_{n=1003}^{2003}((2004-n)\Delta\frac{n}{2004})}$ จงหาค่าของ $A+B$ 58. กำหนดให้ $\displaystyle{A_n = 9^{9^{9^{9^{...^9}}}}}$ มี $9$ เป็นเลขชี้กำลังทั้งหมด $n$ ตัว $S_n = A_1+A_2+...+A_n$ และ $G_n = A_1A_2...A_n$ จงหา $\sqrt[S_{n-1}]{G_n}$ 59. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}} = \sqrt{2}}$ ให้ $\displaystyle{y = \sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}$ จะได้ $\displaystyle{\sqrt[4]{2-y} + \sqrt[4]{2+y} = \sqrt{2}}$ ยกกำลัง 4 ทั้งสมการ จะได้ $\displaystyle{2\sqrt[4]{(2-y)^3(2+y)}+2\sqrt[4]{(2-y)(2+y)^3}+3\sqrt[4]{(2-y)^2(2+y)^2} = 0}$ จะได้ว่า $y = -2$ หรือ $y = 2$ จากนี้แก้สมการต่อจะเหลือ $x = 36$ ครับ 60. กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก และมีเส้นตรง $\ell$ สัมผัสกับวงกลม $x^2+y^2 = 2a^2$ และสัมผัสกับ พาราโบลา $y^2=8ax$ จงหาเส้นตรง $\ell$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ กำหนดให้ เส้นตรง $\ell : y = mx+c$ เราต้องการหาค่าที่เป็นไปได้ของ $m$ และ $c$ สมมติให้ เส้นตรง $\ell$ สัมผัสกับวงกลม $x^2+y^2 = 2a^2$ ที่จุด $(x_c,y_c)\rightarrow x_c^2+y_c^2 = 2a^2$ และสัมผัสกับ พาราโบลา $y^2=8ax$ ที่จุด $(x_p,y_p)\rightarrow y_p^2 = 8ax_p$ จากสมการวงกลม และพาราโบลา ดิฟ หาความชัน จะได้ว่า $\displaystyle{m = \frac{4a}{y_p} = -\frac{x_c}{y_c}}$ นำค่า $m$ ที่ได้จากความชัน แทนลงในสมการเส้นตรง แก้หาค่า $x_p,y_p,x_c,y_c$ จะได้ว่า $\displaystyle{x_p = \frac{c^2}{2a}, y_p = 2c}$ $\displaystyle{x_c = -\frac{a}{c}\sqrt{2c^2-4a^2}, y_c = \frac{2a^2}{c}}$ ในการแก้สมการ อาจจะสงสัยว่า ทำไมค่า $\displaystyle{x_c = \frac{a}{c}\sqrt{2c^2-4a^2}}$ ถึงใช้ไม่ได้ ลองวาดรูป สมการวงกลม กับพาราโบลา แล้วลองวาดเส้นตรง ที่สัมผัสกราฟทั้งสองดูคร่าวๆ ก็สามารถรู้ได้ว่า $x_c < 0$ อย่างแน่นอน แล้วนำค่า $x_c,y_c,y_p$ ที่ได้ ลงไปแทนค่าใน $\displaystyle{\frac{4a}{y_p} = -\frac{x_c}{y_c}}$ แก้สมการต่อ จะได้ $c = \pm 2a\rightarrow m = \pm1$ เส้นตรง $\ell$ ที่เป็นไปได้คือ $y = x+2a$ และ $y = -x-2a$ |
57. พิจารณา $a\Delta (1-b) = \frac{a^{1-b}}{a^{1-b}+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a^b + \sqrt{a}}$
จะได้ว่า $ a\Delta b + a\Delta (1-b) = 1$ นำ $A+B$ มากระจายซะเลย จะเห็นว่าจับคู่กันได้ $1001$ คู่ เเละเหลือ $1002\Delta \frac{1002}{2004} = 1002\Delta \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ จะได้ว่า $A+B = 1001.5$ |
ข้อ 58 ผมรู้สึกเเปลกๆ .... หรือไม่ก็ผมทำผิด ...
ดู $G_n = 9^9\times 9^{9^9}\times 9^{9^{9^9}}\times ...\times 9^{9^{9^{9^{9^...^9}}}} (มี 9 เป็นเลขกำลัง n ตัว)$ $= 9^{9+9^9+9^{9^9}+...+9^{9^9{^{9^...^9}}}} (มี 9 เป็นเลขกำลัง n-1 ตัว))$ $= 9^{9+S_{n-1}}$ $= 9^9 \times 9^{S_{n-1}}$ ดังนั้น $\sqrt[S_{n-1}]{G_n} = 9\times \sqrt[S_{n-1}]{9^9}$ |
ผมพยายามทำข้อ 56. อยู่ :sweat:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$$=\frac{543\times542\times \cdots\times2\times1}{2549\times2548\times \cdots\times2007}(\frac{2548\times 2547\times\cdots\times2007}{542\times541\times\cdots\times1}+\frac{2547\times2546\times\cdots\times2007}{541\times540\times \cdots \times1}+\cdots +\frac{2007}{1}+1)$$ $$= \frac{1}{\binom{2549}{543}}(\binom{2548}{542}+\binom{2547}{541}+\cdots+\binom{2006}{0})$$ $$= \frac{1}{\binom{2549}{543}}(\binom{2549}{542})$$ $$=\frac{543}{2007}$$ $$=\frac{181}{669}$$ $$\therefore p+q=850$$ กว่าจะฝันออก == |
#67 ฝันได้โหดมากครับ 555+
|
จริง ฝันสุดโหด
|
ผมมาเกือบถูกละ ... ก็คือมาผิดอยู่ดี 55555 เจ๋งมากเลยครับ
|
อ้างอิง:
|
ทำข้อ 59 กับ 60 ได้แล้วครับ :sweat:
อาทิตย์นี้ผมปล่อยโจทย์ต่อไม่ได้นะครับ เพราะสมุดจดผมทิ้งไว้ที่หอ อาจจะปล่อยต่อในเย็นวันจันทร์ :wacko: |
เพิ่มโจทย์น่าสนใจจากที่อื่นๆ อีก 10 ข้อครับ
61. จงแสดงว่า $\displaystyle{\frac{1}{15} < \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}<\frac{1}{10}}$ กำหนดให้ $\displaystyle{A = \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}}$ กำหนดให้ $\displaystyle{B = \frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times...\times\frac{98}{99}\times1}$ สังเกตพจน์ต่อพจน์ว่า $\displaystyle{\frac{2}{3} > \frac{1}{2} ,\frac{4}{5} > \frac{3}{4},...,\frac{98}{99}>\frac{97}{98},1>\frac{99}{100}}$ ดังนั้น $A < B$ คูณทั้งหมดด้วย $A$ จะได้ $\displaystyle{A^2 < AB = \frac{1}{100}}$ $\displaystyle{A < \frac{1}{10}}$ $\displaystyle{A = \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}}$ $\displaystyle{A^2 = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}\times\frac{99}{100}}$ $\displaystyle{A^2 > \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{98}{99}\times\frac{99}{100}}$ $\displaystyle{A^2 > \frac{1}{200} > \frac{1}{225}}$ $\displaystyle{A > \frac{1}{15}}$ 62. จงหาค่า $x \in \left[ 0,\,2\pi\right] $ ที่ทำให้ $\sin{x} < \cos{x} < \tan{x} < \cot{x}$ แยกกรณีคิดเยอะมาก แล้วจะได้คำตอบ :sweat: พิมพ์ไม่หมด 63. กำหนดลำดับ $a_n$ นิยามดังนี้ $a_1 = 8, a_2 = 18$ และ $a_{n+2} = a_{n+1}a_n$ จงหาค่า $n$ ที่ทำให้ $a_n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 64. จงหาค่าจำนวนเต็ม $(x,y)$ ที่ทำให้ $$6x^2-3xy-13x+5y=-11$$ จัดรูปใหม่ได้ $\displaystyle{y = 2x-1+\frac{6}{3x-5}}$ $\displaystyle{\frac{6}{3x-5} = \pm1,\pm2,\pm3,\pm6}$ จะเหลือคำตอบคือ $(2,9),(1,-2)$ 65. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของ สมการ $x^3-x^2-x-1 = 0$ 65.1) จงแสดงว่า สมการข้างต้น ไม่มีรากที่เท่ากัน ตั้ง $(x-m)^2(x-n) = x^3-x^2-x-1$ แล้วเทียบ สปส. จะได้สมการสามสมการ นั่นก็คือ $n+2m = 1, nm^2=1, m^2+2mn = -1$ เมื่อลองแก้ดู จะพบว่า ไม่มีค่าใดๆ ที่จะทำให้สมการเป็นจริงทั้งสามสมการ ดังนั้น สมการข้างต้นจึงไม่มีรากที่เท่ากัน 65.2) จงแสดงว่า ค่าข้างล่างเป็นจำนวนเต็ม $$\frac{a^{1982}-b^{1982}}{a-b}+\frac{b^{1982}-c^{1982}}{b-c}+\frac{c^{1982}-a^{1982}}{c-a}$$ 66. จงหาค่ามากที่สุดของจำนวนจริง $z$ ที่ทำให้ $$x+y+z = 5$$ $$xy+yz+xz = 3$$ และ $x,y$ เป็นจำนวนจริง 67. กำหนดให้ $x = (1+\frac{1}{n})^n$ และ $y = (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ จงแสดงว่า $x^y = y^x$ 68. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $$1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n(n-1)^2-(-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1}(1+2+...+n)$$ แยกกรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ กับคี่ ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ จับคู่ผลต่างกำลังสอง หลังจากนั้นก็แสดงได้ง่ายๆ ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ทำเหมือนกัน แล้วบวกพจน์สุดท้ายไปทีหลัง 69. จงแก้สมการ $$\left| x+3\right| +\left| x-1\right| =x+1$$ แยกกรณี เป็นสามกรณีคือ $x \leq-3, -3<x<1, x\geq1$ และข้อบังคับว่า $x \geq -1$ เสมอ ไม่มีคำตอบสำหรับสมการนี้ 70. กำหนดให้ $\displaystyle{h(n) = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ จงแสดงว่า $$n+h(1)+h(2)+...+h(n-1) = nh(n), \forall n\geq 2$$ $\displaystyle{h( 1)+h(2)+h(3++...+h(n-1) = (\frac{1}{1}) + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+ ... + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1})}$ $\displaystyle{= \frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{1}{n-1}}$ $\displaystyle{= (\frac{n}{1}-\frac{1}{1})+(\frac{n}{2}-\frac{2}{2})+...+(\frac{n}{n-1}-\frac{n-1}{n-1})}$ $\displaystyle{= nh(n)-n}$ ย้ายข้าง $n$ ไปก็จะได้คำตอบครับ |
มาเสพครับ โจทย์สวยๆดีๆ เยอะมากเลย :)
66. โคชีได้ครับ 70.จัดรูปนิดนึงก็จะได้เลยครับ ที่ฌพสแค่นี้ก่อนเพราะยังไม่มีเวลาทำครับ ช่วงนี้ลั้ลลาก่อน :haha: มาแล้วครับ 66. เราจะมาหา $x^2+y^2+z^2$ กันครับ จากที่ว่า $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx=x^2+y^2+z^2$ จะได้$x^2+y^2+z^2=25-6=19$ จาก โคชี $x+y\leqslant \sqrt{2(x^2+y^2)} $ $5-z\leqslant \sqrt{2(19-z^2)} $ $25-10z+z^2\leqslant 38-2z^2$ $3z^2-10z-13\leqslant 0$ $(z+1)(3z-13)\leqslant 0$ ค่า z ที่มากที่สุดก็คือ $\frac{13}{3} $ ตัวนี้นี่เอง:) 63.ให้ภาวะคู่คี่ของกำลังของ 2 และ 3 ในพจน์ที่ n เป็น (a,b) ตามลำดับ โดยจะแทน o และ e เป็น คี่และคู่ ตามลำดับ จะได้ว่า $a_1$ เป็น (o,e) $a_2$ เป็น (o,e) $a_3$ เป็น (e,e) $a_4$ เป็น (o,e) $a_5$ เป็น (o,e) $a_6$ เป็น (e,e) จะเห็นได้ว่า พจน์ที่ 3 , 6 ,9 ... จะเป็น (e,e) กล่าวคือ เป็นกำลังสองสมบูรณ์นั่นเอง :D |
ข้อ 67 ครับ
$$x\ln y=(1+\frac{1}{n})^n \ln[(1+\frac{1}{n})^{n+1}]=(1+\frac{1}{n})^n(n+1) \ln(1+\frac{1}{n})=(1+\frac{1}{n})^{n+1}n \ln(1+\frac{1}{n})=(1+\frac{1}{n})^{n+1} \ln[(1+\frac{1}{n})^n]=y\ln x$$ จะได้ว่า $x^y=y^x$ ตามต้องการครับ ป.ล. ข้อ 65.1 หมายถึงว่ารากทุกตัวต่างกันหมดใช่มั้ยครับ ถ้าจริง คราวหลังไม่ควรเขียนแบบนี้นะครับ เพราะมันไม่ถูกหลัก อาจจะทำให้อ่านโจทย์เข้าใจผิดได้นะครับ |
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:19 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha