แสดงวิธี หรือ บอกแนว ข้อนี้ให้หน่อยนะครับ
$5^{2008} + 2^{2010}$ หารด้วย $7^2$ เหลือเศษเท่าไร ขอบคุณครับ (ไปไม่ค่อยเป็นเลย ตัวหาร ยกกำลังแล้ว เยอะเนี่ย) |
คิดเศษจากการหาร$5^{2008}$ด้วย$7^2$ก่อนนะครับ
$5^{42} ≡ 1 (mod49)$ $(5^{42})^{47} ≡ 1 (mod49)$ $5^{1974}$ ≡ 1 (mod49) $5^{2008}$ ≡ $3^{34}$ (mod49) จาก$5^4$ ≡ 625 (mod49) $5^4$ ≡ -12 (mod49) $5^8$ ≡ 144 (mod49) $5^8$ ≡ -3 (mod49) $5^{32}$ ≡ 81 (mod49) $5^{32}$ ≡ -17 (mod49) $5^{34}$ ≡ -425 (mod49) $5^{34}$ ≡ 16 (mod49) ดังนั้น$5^{2008}$ ≡ $5^{34}$ (mod49) $5^{2008}$ ≡ 16 (mod49) หาเศษจากการหาร $2^{2010}$ ด้วย $7^2$ $2^{42}$ ≡ 1 (mod49) $2^{1974}$ ≡ 1 (mod49) $2^{2010}$ ≡ $2^{36}$ (mod49) จาก$2^6$ ≡ 64 (mod49) $2^6$ ≡ 15 (mod49) $2^{12}$ ≡ 225 (mod49) $2^{12}$ ≡ -20 (mod49) $2^{24}$ ≡ 400 (mod49) $2^{24}$ ≡ 8 (mod49) ($2^{24}$)($2^{12}$) ≡ -160 (mod49) $2^{36}$ ≡ -160 (mod49) $2^{36}$ ≡ 36 (mod49) ดังนั้น$2^{2010}$ ≡ $2^{36}$ (mod49) $2^{2010}$ ≡ 36 (mod49) สรุป($5^{2008}$)+($2^{2010}$) ≡ 16+36 (mod49) ($5^{2008}$)+($2^{2010}$) ≡ 52 (mod49) ผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ ปล.ขอโทษผู้อ่านด้วยครับ(ใช้Latexไม่เป็น) |
เรารู้ได้อย่างไรครับว่า
$5^{42} ≡ 1 (mod49)$ $2^{42} ≡ 1 (mod49)$ ในช่วงแรกน่ะครับ ปล.ขอโทษผู้อ่านด้วยครับ(ใช้Latexไม่เป็น) ใช้ $$ ครอบข้อความครับ ส่วนเลขชี้กำลังใช้ {ตัวเลข} อีกที |
|
ใช้ทฤษฎีของ Fermat-Euler theorem เลยครับว่า
$a^{Ø(n)}$ ≡ 1 (modn)ครับ ข้อนี้ n=$7^2$ ดังนั้น Ø(n) = Ø($7^2$) = $7^2$-$7^1$ = 49-7 = 42ครับ ใช้ $$ ครอบข้อความครับ ส่วนเลขชี้กำลังใช้ {ตัวเลข} อีกที ขอบคุณมากครับแต่ทำไมผมทำแล้วยังเป็นอย่างนี้อยู่เลยครับ |
แวะมาทิ้งวิืธีไว้ให้ฝึกแกะกันเล่นๆก่อนไปปั่นงานครับ
$\begin{array}{rcl} 5^{2008}+2^{2010} &=& (7-2)^{2008}+4\cdot2^{2008} \pmod{49} \\ &\equiv& -2008\cdot 7\cdot 2^{2007}+5\cdot2^{2008} \pmod{49}\\ &\equiv& 7\cdot 2^{2007}+10\cdot2^{2007} \pmod{49}\\ &\equiv& 17\cdot 2^{12} \pmod{49}\\ &\equiv& 17\cdot 15^2 \pmod{49}\\ &\equiv& 51\cdot 25 \cdot 3 \pmod{49}\\ &\equiv& (2\cdot 25) \cdot 3 \pmod{49}\\ &\equiv& 3 \pmod{49}\\ \end{array}$ |
อ้างอิง:
คำตอบน่าจะเป็นเศษ $3$ ขอบคุณมากครับที่ช่วยนำความรู้เรื่องEuler's theoremมาช่วยหาค่าที่เหลือเศษ1จากการหาร ช่วยย่นระยะเวลาไปได้อีกโขเลย |
#2 08 กรกฎาคม 2010, 17:11
banker เซียนกระบี่ วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002 ข้อความ: 3,930 -------------------------------------------------------------------------------- นั่ง Time Machine ไปยุคประถม ถ้าถามว่า 5 หารด้วย 2 เหลือเศษเท่าไร เด็กๆก็ตอบได้ว่า เหลือเศษ 1 ถามว่า 289 หารด้วย 13 เหลือเศษเท่าไร เด็กก็จะตั้งหารยาว ได้ผลลัพธ์เป็น 22 เหลือเศษ 3 เขียนในรูปเศษส่วน จะได้ 13289=1322(13)+3=1322(13)+313 จะเห็นว่า 1322(13) ตัวเศษ มี 13 เป็นพหุคูณ หรือตัวร่วม ทำให้ หารด้วย 13 ลงตัว และมี 313 เศษคือ 3 แต่โจทย์ไม่ง่ายๆแบบข้างต้น มักเป็นการหารเลขยกกำลัง เช่น 210 หารด้วย 5 เหลือเศษ เท่าไร จงหาเศษเหลือจากการหาร 3100 ด้วย 7 เศษเหลือจาการหาร 171000 ด้วย 13 เป็นเท่าไร แบบนี้ถ้าทำแบบตั้งหารยาว คงยุ่งยากและยาวมากๆ เราจะหาแนวทางในการหาเศษเหลือของตัวเลข xn ที่หารด้วย p ค่อยๆทำความเข้าใจตัวอย่างต่อไปนี้นะครับ ---------------------------------------------------------------------------------- =(050)550−(150)549+(250)548−(350)547+...−(4950)51+1 เพราะว่า 5 หาร (k50)550−k ลงตัวทุกค่า k=0,1,...,49 คืออะไรคะ ช่วยอธิบายหน่อยค่ะ |
ใช้ทฤษฎีบททวินามครับ
$(a+b)^n=\dbinom{n}{0}a^n+\dbinom{n}{1}a^{n-1}b+\dbinom{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots+\dbinom{n}{n}b^n$ สำหรับจำนวนนับ $n$ โดยที่ $\displaystyle{\dbinom{r}{s}=\frac{r!}{(r-s)!s!}}$ สำหรับจำนวนนับ $r\ge s$ เช่น $(a+b)^3=\dbinom{3}{0}a^3+\dbinom{3}{1}a^2 b+\dbinom{3}{2}ab^2+\dbinom{3}{3}b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ |
หยิบมาจาก TMO 1 ครับ ยังไม่มีใครเฉลย :kaka:
ข้อ 15 วันแรก จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่มากที่สุดซึ่ง $n$ $\leqslant$ $2004$ และ $3^{3n+3}$ - 27 หารด้วย 169 ลงตัว |
อ้างอิง:
$=27(3^{3n}-1)$ $=27(3^3-1)(3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1)$ $=27(26)(3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1)$ $\therefore 13\left|\,3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1\right. $ เห็นได้โดยง่ายว่า $3^{3n}\equiv 1(mod 13)$ $\therefore 3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1\equiv n(mod13) $ $\therefore 13\left|\,n\right. $ $\therefore n$ มากที่สุดคือ $n=2002$ |
ยังไม่ถูกครับ
|
อ้างอิง:
ผิดนิดเดียวเอง ขอโทษครับ ผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ :please::please::please: |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$3^{3n+3} \equiv 27 \pmod{169} $ ผมลองใช้Euler's theoremเล่นๆ....อ่านจากลิ้งค์ข้างต้นแล้วลองทำดู ผมคิดได้ค่า$n=1976$ $\phi (169 ) = 169(1-\frac{1}{13}) = 12\times 13 = 156$ จาก $x \equiv y \pmod{\phi (n)} $ แล้ว $a^x \equiv a^y \pmod{n} $ เมื่อ $a$ กับ $n$ เป็นco-prime $159 \equiv 3 \pmod{156} \rightarrow 3^{159} \equiv 3^3 \pmod{169} $ และจาก$156 \equiv 0 \pmod{156} \rightarrow 3^{156} \equiv 1 \pmod{169} $ $3^{159}\times 3^{156} \equiv 3^3 \pmod{169} \rightarrow 3^{159+156} \equiv 3^3 \pmod{169} $ จะได้ว่า$159+156m =3(n+1) \rightarrow 53+52m=n+1$ $n=52(m+1)\rightarrow m=\frac{n}{52}-1 $ เมื่อ $\ n \leqslant 2004$ ได้ค่า $n$ ที่มากที่สุดที่ยังทำให้เป็น $m$ จำนวนเต็มอยู่คือ $1976$ ไม่รู้ว่าผมงงตรงไหนหรือเปล่า..... |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:47 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha