Look at $\dfrac{f([x])}{[x]}$ |
ยังคิดไม่ออกครับ มาเพิ่มโจทย์อิอิ
Evaluate \[ \int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\left( \frac{1-e^{-x}}{x}-e^{-x}\right) dx \] \[ \int_0^1 y\sin x e^{-xy} dy = \frac{\sin x}{x}\left( \frac{1-e^{-x}}{x}-e^{-x}\right) \] and use Fubini's theorem to interchange the order of integration. |
89. กำหนดฟังก์ชัน $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ นิยามโดย
\[ f(x)=\frac{1}{m} \] เมื่อ $x=\frac{n}{m}$, $n,m\in\mathbb{N}$, $n\leq m$ และ $n,m$ relatively prime กรณี $x$ ค่าอื่นๆ ให้ $f(x)=0$ จงแสดงว่า $f$ อินทิเกรตแบบรีมันย์ได้ โดยใช่นิยามผลบวกล่าง ผลบวกบน หมายเหตุ ตอบคำถามที่ pm มาของน้อง M@gpie แล้วนะครับ |
อ้างอิง:
$\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\left(\frac{1-e^{-x}}{x}-e^{-x}\right)dx=\int_0^\infty\int_0^1 y\sin x e^{-xy}dydx}$ Then Fubini's Theorem and Laplace Transformation make the answer come out... $\displaystyle{\int_0^\infty\int_0^1 y\sin x e^{-xy}dydx=\int_0^1 y\left[\int_0^\infty\sin x e^{-xy}dx\right]dy=\int_0^1\frac{y}{y^2+1}dy=\frac{1}{2}\ln 2}$:happy: ข้อนี้ถ้าไม่มีhintนี่คงจะทำไม่ได้แน่ๆเลยครับ:p |
Hint 89: แสดงได้ไม่ยากว่า ผลบวกล่าง$=0$ สำหรับผลบวกบนสังเกตุว่า สำหรับแต่ละ $m\in\mathbb{N}$ มี $x$ เพียงจำกัดจำนวนซึ่ง $f(x)=1/m$
90. ให้ $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จงพิสูจน์ว่า $f$ ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 (ที่มา problem 2-37 หน้า 39 ในหนังสือ Michael Spivak, "Calculus on Manifolds") |
กำลังจะถามอยู่พอดีว่าข้อ 90 เอามาจากไหนครับ ผมเพิ่งได้เล่มนี้มาเหมือนกันแต่ยังอ่านไม่ถึง :p ช่วงนี้มัวแต่เน้น Topological manifold อยู่ครับ ยังไม่ได้แตะ Smooth manifold เลย
|
91.
\[ \int \frac{dx}{\sin^3x+\cos^3x} \] |
92. Evaluate
$$ \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} \bigg ( \frac{e^{-x}-e^{-y}}{x-y} \bigg) ^2 \,\, dxdy$$ |
อ้างอิง:
สังเกตว่า $$\frac{f([x])}{[x]}\cdot\frac{[x]}{x}\leq\frac{f(x)}{x}\leq \frac{f([x]+1)}{[x]+1}\cdot\frac{[x]+1}{x}$$ เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $$\lim_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}=1$$ ดังนั้น $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a$$ โดย Squeeze Theorem :yum: |
1 ไฟล์และเอกสาร
อ้างอิง:
|
ยังไม่ถูกครับ
$$ \sin^3 x + \cos^3 x = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(3\sin (x+\frac{\pi}{4})+\sin(3x+\frac{3\pi}{4}) \right) $$ |
หืมมม มิน่าล่ะ ผมนั่งเทียนมานานแล้วยังไม่ได้ hint ของน้อง deathspirit เลยครับผม 55
|
ขอโทษด้วยครับที่ตอบช้า พอดีช่วงเสาร์อาทิตย์มันจะสอบครับ อ่านไม่ทัน
ข้อ 91 ที่ผมทำไว้ได้ $$ \frac{\sqrt{2}}{6} \ln |\frac{\cos(x+\frac{\pi}{4})-1}{\cos(x+\frac{\pi}{4})+1}|-\frac{2}{3} \arctan (\sqrt{2} \cos (x+\frac{\pi}{4}))+c $$ |
อ้างอิง:
Now I have 2 solutions (my solution and P' Warut 's solution) ,but I think I'll show the latter because it's shorter and I believe that many members here miss him too much:laugh: Brief Solution Since integrand is symmetric about y=x (i.e. z(x,y)= z(y,x)) , we can integrate over region y < x in 1st quadrant. Using Jacobian transformation (u= x+y , v= x-y), we can change the original one to be : $$ 2\int_0^{\infty} \int_0^{x} \bigg ( \frac{e^{-x}-e^{-y}}{x-y} \bigg) ^2 \,\, dydx \Rightarrow \int_0^{\infty} \int_v^{\infty} e^{-u}\bigg ( \frac{e^{\frac{v}{2}}-e^{\frac{-v}{2}}}{v} \bigg) ^2 \,\, dudv $$ After finite steps of solving, we obtain the following: $$ \int_0^{\infty} \frac{1+e^{-2v}-2e^{-v}}{v^2} \,\, dv = \int_0^{\infty} (1+e^{-2v}-2e^{-v}) d \bigg(\frac{-1}{v} \bigg ) $$ Using integrate by parts and this formula $ \int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \,\, dx = \ln \frac{b}{a} $ (can be proved by using double integral and reverse order of integration ) ,we've got the answer ,as shown above. |
93.ให้$f(x)$เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วง$(0,\infty)$และ$\displaystyle{\int_{x}^{x^{2}}f(t)dt=\int_{1}^{x}f(t)dt,\forall x>0}$
จงหาฟังก์ชัน$f(x)$ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้น:) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:09 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha