โจทย์แก้เบื่อ ค่าต่ำสุด/สูงสุด
 

ว่างๆครับ เลยตั้งขึ้นมา ทุกข้อแก้แบบม.ต้นนะครับ (นั่นคือ ยังไม่สามารถใช้ AM-GM-HM , Cauchy ,....)
ทุกข้อกำหนด ให้ทุกตัวแปรเป็นจำนวนจริงบวกนะครับ

1. จงหาค่าสูงสุดของ $-x^2+2x+1$

2. จงหาค่าต่ำสุดและสูงสุดของ $\sqrt{2000-x}+\sqrt{1000+x}$

3. ถ้า $x^2+y^2+z^2=12$ จงหาค่าสูงสุดของ $xyz$

4. ถ้า 35x+3y=1 จงหาค่าสูงสุดของ $\frac{1}{x^2+y^2}$

5. ถ้า $xy+yz+zx=1$ จงหาค่าต่ำสุดของ x+y+z

6. จงหาค่าต่ำสุดของ $\frac{x}{y}+\frac{4y}{z}+\frac{9z}{w}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{w}{z}$

เริ่มให้สองข้อละกันครับ

1. $-x^2+2x+1=2-(x-1)^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq 2$

2. $\sqrt{2000-x}+\sqrt{1000+x}=\sqrt{3000+2\sqrt{(2000-x)(1000+x)}}\geq\sqrt{3000}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{3000+2\sqrt{1500^2-(x-500)^2}}\leq\sqrt{6000}$

ได้ $\sqrt{2}$ รึเปล่าครับ

ทำไมต่ำจังเลยอ่ะครับ

$(y-z)^2\geq 0\Rightarrow yz\leq\dfrac{1}{2}(y^2+z^2)=\dfrac{1}{2}(12-x^2)$

$xyz\leq \dfrac{1}{2}(12x-x^3)$

$~~~~=\dfrac{1}{2}(16-16+12x-x^3)$

$~~~~=\dfrac{1}{2}[16-(x+4)(x-2)^2]$

$~~~~\leq 8$

$x^2+y^2=\Big(\dfrac{1-3y}{35}\Big)^2+y^2$

$~~~~~~~~~~=\dfrac{1234}{1225}(y-\dfrac{3}{1234})^2+\dfrac{1}{1234}$

$~~~~~~~~~~\geq \dfrac{1}{1234}$

$\therefore \dfrac{1}{x^2+y^2}\leq 1234$

$x+y+z=\sqrt{3(xy+yz+zx)+\dfrac{1}{4}(2x-y-z)^2+\dfrac{3}{4}(y-z)^2}$

$~~~~~~~~~~~~~\geq\sqrt{3}$

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{4y}{z}+\dfrac{9z}{w}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{w}{z}$

$=12 + \Big(\sqrt{\dfrac{x}{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Big)^2+\Big(2\sqrt{\dfrac{y}{z}}-\sqrt{\dfrac{z}{y}}\Big)^2+\Big(3\sqrt{\dfrac{z}{w}}-\sqrt{\dfrac{w}{z}}\Big)^2$

$\geq 12$

วันนี้คุณnooonuii เล่นโซ้ยคนเดียวหมดเลย

กังเฟยย :great:

ต่อดีกว่า ข้อนี้ใช้แค่ความรู้ม.ต้นครับ ไม่ผิดกติกาแต่อย่างใด :cool:

7. จงหาค่าต่ำสุดของ $(x+y+3)^2+(x+5)^2+(y+7)^2$ เมื่อ $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ

7.5 เปล่าครับ

ทำไมต่ำจังเลยอ่ะครับ

27 ครับ
เปลี่ยนใหม่ไวพรุ่งนี้สอบเสร็จจะมาโพสต์อีกประมาณ5-6ข้อ
วันนี้ไม่ค่อยว่างครับ

27 รึป่าว :aah:

ข้อ 7 มองไม่ออกเลยครับ ว่าจะเริ่มอย่างไร ลองกระจายแล้วจัดกลุ่ม ก็ไม่ได้ จับเท่ากับ 0 ก็ไม่ได้ 27 ช่วยแนะให้ด้วยครับ ชอบข้อนี้มาก

ลองกระจายแล้วจัดรูปให้เป็นพหุนามกำลังสองในตัวแปร $x$ หรือ $y$ ก็ได้อย่างใดอย่างหนึ่ง

จากนั้นก็เขียนพหุนามที่ได้ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

สูตรทั่วไปเป็นแบบนี้ครับ

$(x+y+a)^2+(x+b)^2+(y+c)^2\geq \dfrac{1}{3}(a-b-c)^2$ ทุกจำนวนจริง $x,y$

เมื่อ $a,b,c$ เป็นค่าคงตัว

พิสูจน์ให้หน่อยได้ไหมครับ

ขอแบบย่อๆนะครับ ลองเขียนตามก็จะเข้าใจ

$(x+y+3)^2+(x+5)^2+(y+7)^2=2x^2+2(y+8)x+2y^2+20y+83$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\Big(x^2+(y+8)x+(\frac{y+8}{2})^2-(\frac{y+8}{2})^2\Big)+2y^2+20y+83$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\Big((x+\frac{y+8}{2})^2-(\frac{y+8}{2})^2\Big)+2y^2+20y+83$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(2x+y+8)^2+\dfrac{3}{2}(y^2+8y)+51$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(2x+y+8)^2+\dfrac{3}{2}(y^2+8y+16-16)+51$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{2}(2x+y+8)^2+\dfrac{3}{2}(y+4)^2+27$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 27$

จะเห็นว่าสมการเป็นจริงเมื่อ $x=-2,y=-4$

ดังนั้นถ้าเราเปลี่ยนคำถามให้หาคำตอบของสมการ

$(x+y+3)^2+(x+5)^2+(y+7)^2=27$

ก็สามารถใช้วิธีการเดียวกัน

สำหรับคนที่รู้จักอสมการโคชีข้อนี้สองบรรทัดจบครับ

ทำแบบโคชีให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

เริ่มไว้ให้แบบนี้ละกันครับ :)

$|1\cdot (x+y+3)+(-1)\cdot (x+5)+(-1)\cdot (y+7)|\leq ...$

เติมโจทย์ให้ครับ

8. จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}$ เมื่อ $0\leq x\leq 1$

ค่าสูงสุดเท่ากับ $\frac{2}{\sqrt[3]{2} }$ค่าต่ำสุดเท่ากับ1หรือเปล่าครับ:confused:

จาก $0\leqslant x\leqslant 1$
ได้ $0\leqslant \sqrt[3]{x} \leqslant 1$
และ $0\geqslant -x\geqslant 1$
$1\geqslant 1-x\geqslant 0$
$1\geqslant \sqrt[3]{1-x} \geqslant 0$
ได้ $2\geqslant \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x} \geqslant 0 $
สูงสุด 2 ต่ำสุด 0

:blood::cry::cry:ครับ..ผมผิดเองขอโทษฮะ:please::cry::cry::cry::blood::blood:

ถูกครับ :great:

อสมการถูกครับ แต่ค่าสูงสุดและต่ำสุดเกิดขึ้นไม่ได้ที่ $2$ และ $0$

ผมตั้งข้อสังเกตมานานแล้วว่าถ้ามี 2 นิพจน์ใดๆบวกกัน
ค่าสูงสุดจะเมื่อ นิพจน์ทั้งสองเท่ากัน
ค่าต่ำสุดจะเกิดเมื่อตัวนึงเป็นศูนย์

ถูกหรือผิดครับ ??

ขอบคุณครับ ผมก็ว่าลองแทนxเท่าไหร่ก็ไม่ได้คำตอบตามอสมการเลยรบกวนช่วยแสดงวิธีทำคร่าวๆหน่อยก็ได้ครับ

ให้ $a=\sqrt[3]{x},b=\sqrt[3]{1-x}$

กระจาย

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

จะเห็นค่าต่ำสุด

จากส่วนที่กระจายออกมา

ใช้อสมการ $(a-b)^2\geq 0$ จัดรูปให้เป็น $ab\leq \dfrac{1}{4}(a+b)^2$

แทนกลับเข้าไปจะสามารถจัดรูปเพื่อหาค่าสูงสุดได้

มันขึ้นอยู่กับช่วงและตัวฟังก์ชันด้วยครับ

อย่างเช่น ถ้าพิจารณาฟังก์ชัน

$x+\sqrt{x^2+1},0\leq x\leq 1$

ก็ไม่สามารถใช้ข้อสังเกตนี้ได้

เพราะว่าทั้ง $x$ และ $\sqrt{x^2+1}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มทั้งคู่

ลองเอาไปคิดต่อดูครับว่าถ้ามีตัวนึงเป็นฟังก์ชันเพิ่ม แต่อีกตัวเ้ป็นฟังก์ชันลด ข้อสังเกตนี้จะจริงไหม

ขอสารภาพฮะว่าผมใช้ "แทนค่า" จริงๆฮะแหะๆ:p ผมรู้สึกสนใจวิธี "แบบจัดรูป" มากๆเลยครับ ผมรู้คล้ายๆจะเคยเรียนตอนอยู่ในค่ายสอวน.แต่ได้แต่นั่งงง:died:ในห้องเรียนอ่ะครับ:confused::(:(:cry: รบกวนพี่nooonuiiช่วยแตกกระจายให้ชัดเจนขึ้นอีกได้มั้ยฮะ:please:

$(a+b)^3=1+3ab(a+b)\geq 1$

$a+b\geq 1$

$(a+b)^3=1+3ab(a+b)\leq 1+ \dfrac{3}{4}(a+b)^3$

$a+b\leq\sqrt[3]{4}$

ขอบคุณฮะ เข้าใจมากขึ้นแล้วฮะ

ใครก็ได้ขอโจทย์เพิ่มนะฮะ:please:(ร้อนวิชา:p:p::laugh:)

9. จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ

$\sqrt{x}-\sqrt{1-x}$ เมื่อ $ 0\leq x\leq 1$

จะใช่ 1 กับ -1 ไหมครับ

ให้$\sqrt{x} = a , \sqrt{1-x} = b$

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
$~~~~~~ = 1 - 2ab$
$a - b\leqslant 1$

$(a + b)^2 \geqslant 0$
$\frac{-1}{4}\times (a - b)^2\leqslant ab$
$(a - b)^2\geqslant 1 + \frac{1}{2}(a - b)^2 $
$\frac{1}{2}(a - b)^2\geqslant 2$
$a - b \geqslant -\sqrt{2} $

ค่าสูงสุดคือ 1 ต่ำสุดคือ$-\sqrt{2} $
ขอบคุณพี่nooonuiiสำหรับโจทย์ฮะ^^:please::):)
ถูกผิดอย่างไงท่านผู้รู้ทุกท่านแนะนำด้วยนะฮะ:please:

จริงๆแล้วจาก

$(a-b)^2\leq 1$

เราจะได้ทันทีว่า

$-1\leq a-b \leq 1$

ดังนั้นค่าสูงสุดคือ 1 ค่าต่ำสุดคือ -1 ครับ

10. จงหาค่าต่ำสุดของ $x^3-3x$ เมื่อ $x>0$

hint:วิธีทำให้หน่อยนะฮะ T T (ยังเศร้าอยู่ว่าข้อเก่าทำผิด:blood::cry::cry:) ถ้าคิดแบบเด็กโง่(แทนค่าเหมือนเดิมT T)ผมขอตอบว่า-2ฮะ
อีกอย่างข้อนี้มันหน้าตาไม่เหมือนอันเก่าเลยฮะ(โจทย์แนวใหม่=วิธีคิดแบบใหม่แน่เลยอ่ะ)
ไม่ว่าจะใช้อสมการ$x > 0$
$x^3>0$
$3x>0$
แล้วมาลบกันจัดรูปให้เหมือนข้างบนก็ออกมาเป็น$x^3-3x>0$อยู่ดีอ่ะฮะ
T Tงงฮะช่วยแนะนำด้วยฮะ:please:
แล้วข้อเก่าของผมรบกวนพี่ช่วยเน้นสีตรงที่ผิดให้หน่อยนะฮะ ยังงงอยู่นิดหน่อยว่า$-\sqrt{2}$มันมาผิดอย่างไง:please: :cry::cry:

T Tสุดท้ายก็ต่อสู้กับความโง่ของตัวเองไม่ไหวT T:cry::cry:เศร้าชีวิตจิงๆฮะ

-2 หรือปล่าวครับ
ดิฟเอา