1st RIMO
 

DAY1



DAY2

Day2

1. Find the sum of all positive integers n such that $2012+n^2$ is a perfect square .


$2012+n^2 = k^2 $ , $\exists k \in \mathbb{Z} $ , $k>n$

$2012 = k^2-n^2 = (k-n)(k+n) $

$ 2012 = 1*2*2*503 $

$k-n < k+n $ และ $k-n > 0 $ , $k+n > 0$

Case1 $k-n = 2$ , $k+n = 2*503 = 1006$

solve $ k= 504 $ , $n = 502$

Case2 $k-n = 4$ , $k+n = 503$

solve k และ n ไม่เป็นจำนวนเต็ม

Case3 $k-n =1$ , $k+n=2012$

solve k และ n ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น sum ของ n = 502

Day I Problems2: $f:R\rightarrow R$ Find all function $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$$
take $x=0$ we get $$f(f(y))=f(0)^2+y$$ and we take $y=-f(0)^2,f(y)=k$
Then get $f(k)=0$ so we can take that $x=y=k$ therefore $f(0)=0$
if we take $y=0$ we get $$f(xf(x)+0)=f(x)^2+0\leftrightarrow f(xf(x))=f(x)^2...(i)$$
or we take $x=0$ get $$f(f(y))=y\rightarrow f(f(x))=x...(ii)$$
The equation $(i)$ we take $x=f(x)$ then the equation is the following $f(xf(x))=x^2$
so by $(ii)$ we conclude that $f(x)=x,-x$

Day II Problems 13: Find value of $a^2+b^2$ if $a^3-3ab^2=39..(1)$ $b^3-3a^2b=26..(2)$ Consider $(1)^2+(2)^2=(a^2+b^2)^3=39^2+26^2=13^3$
then $a^2+b^2=13$

#3
ถ้าส่งไปแบบนั้นจะยังไม่ได้คะแนนเต็มครับ

ให้ $x+y+z=a, xy+yz+zx=b ,xyz=c$ จัดรูปใหม่ได้

$a^2=3b+27$
$ab=9c+108$
$b^2=3ca+189$

จากสมการที่ได้มาใหม่เราจะได้ $b=\dfrac{a^2-27}{3} , c= \dfrac{a^3-27a-324}{27}$

เอาไปแทนในสมการ $b^2=3ca+189$ ก็จะได้ $a=6$

$x+y+z=6$

#5 ผมก็ว่าอย่างนั้น 555+
#6 เหมือนกันเลยครับ เร็วจัง -*-

ถ้า $n$ มี $2$ หลักจะไม่มีที่สอดคล้องกับโจทย์
กรณี ถ้า $n$ มี $3$ หลัก ให้ $n=100a+10b+c$ ดังนั้น $11|a+b+c \wedge 11|100a+10b+c\rightarrow 11|9b\therefore 11|b$
จึงได้ว่า $b=0$ จะได้ $a+c=11$ bound ค่าได้ว่า มี $(a,c)$ $8$ แบบ
กรณี ถ้า $n$ มี $4$ หลักจะได้ $n=1000a+100b+10+d$ ทำนองเดียวกันกับกรณีที่เเล้ว
จะได้ $11|b\rightarrow b=0$ เเละได้ $11|d\rightarrow d=0$ ซึ่งก็จะซ้ำได้ว่า $a+c=11$ เเต่ก็ไม่เกิดกรณีใดๆ เพราะ $a\le 2$ ถ้า $a=2$ จะได้ $n=2090$ ซึ่งเกิน $2012$
ดังนั้น จึงมีเพียง $8$ จำนวนที่สอดคล้อง

#8
ยังไม่ใช่ครับ

ขอข้อ 18 ก่อนละกัน ดูง่ายสุด

ให้ $m,M$ แทนค่าต่ำสุด,สูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)=\sin^4 x - \sin x \cos x + \cos^4 x$ ตามลำดับ

ถ้าเขียน $m+M=\dfrac{p}{q}$ โดยที่ $p,q \in \mathbb{N}$ และ $(p,q)=1$ จงหาค่าของ $p+q$

รู้ได้ยังไงครับว่าเป็นฟังก์ชันทั่วถึง??

ว่าแต่รายการนี้ปีหน้ามีจัดอีกมั้ยอ่ะครับ น่าสนใจดี

#11 ไม่เข้าใจอ่ะครับ 555+ โปรดขยายความ
ปล.ผมว่ามันเป็นปีเเรก ปีหน้าน่าจะยังมีอยู่(มั้ง)ครับ

เห็นเค้าว่า 2 ปีครั้งนะครับ

#11 ฟังก์ชันทั่วถึงเช็คได้จากว่าทุก x ในโคโดเมนจะมีจำนวนจริง a ที่ทำให้ f(a)=x เสมอ

ซึ่งในกรณีนี้สำหรับจำนวนจริง y เราก็จะมีจำนวนจริง f(y) ที่ส่งไปหา y นั่นคือ f(f(y))=y

อีกประเด็นคือ ตอน สรุปคำตอบ มัยังไม่สมบูรณ์ ครับ

จะต่อก็ไม่ยากมากนี่ครับ ถ้าถึงขั้น $f(f(y))=y$ แล้ว และเป็น bijection ด้วย (ไม่จำเป็นต้องใช้)

จาก $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

แทน $x$ ด้วย $f(x)$ ก็จะได้ $f(xf(x)+f(y))=x^2+y$

ดังนั้น $f(x)^2=x^2$

ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริง a,b ต่างกันซึ่งเกิดกรณีที่ $f(a)=a$ และ $f(b)=-b$

แต่เป็น $f(x)=x$ เสมอ ไม่เช่นนั้นก็ $f(x)=-x$ เท่านั้น

(พิสูจน์ไม่ยากครับ ลองทำดูก่อน)

Day 1:Problem 4 Let $n$ be a positive integer and $$T_n=1+2+...+n$$ Find all triples $(p,q,r)$ such that $p,q$ is prime and $r$ is a natural number with $T_p+T_q=T_r$ holds

จากสมการ $T_p+T_q=T_r$ เห็นได้ชัดว่า $p=q=2,r=3$ เป็นคำตอบเเละถ้า $p,q\ge 3$ได้ว่า $r>p,q$
กรณีที่ 1 ถ้า $p>q$ สมมุติให้ $r=p+k$ สำหรับบางจำนวนนับ $k$ จะได้ $$T_p+\frac{q}{2}(q+1)=T_p+k\Big(p+\frac{k+1}{2}\Big)\leftrightarrow q(q+1)=k(2p+k+1)>k(2q+k+1)$$
เมื่อจัดรูปได้ว่า
$$q^2+(1-2k)q-k(k+1)>0$$ โดย Discreminant $(1-2k)^2+4k(k+1)<0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เเละหากเป็น กรณีที่ 2 ถ้า $p<q$ ก็เป็นไปไม่ได้เช่นกัน ดังนั้น $p=q$
ทำให้ได้ต่อไปว่า $2p^2+2p=2q^2+2q=r^2+r$ เห็นได้ชัดว่า $r=4a,p=q=2b+1$ สำหรับบางจำนวนนับ $a,b$
จะได้ $4a^2+a=2b^2+3b+1$
ถ้า $a<b$ จะได้ว่า $$\therefore b^2+3b+2a<2b^2+3b+1=4a^2+a<4b^2+b$$
นั่นคือ $$4b^2+b>2a+b^2+3b\leftrightarrow 3b^2-2b-2a>0$$
โดย Discreminant $4+24a<0$ เกิดข้อขัดเเ้ย้ง จึงไม่มีคำตอบ
ถ้า $a\ge b$ $$\therefore 4a^2+1\le 4a^2+a=2b^2+3b+1$$
เเละโดย Discreminant $9+16a^2\le 0$ ซึ่งก็เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $p=q=2,r=3$ เท่านั้น

ปล1. #17 ตอนนี้ยังงงๆอยู่เลยครับ ว่ามันจะพิสูจน์ยังไง
ปล2.bijection คืออะไรอ่ะครับ - -*

#17
ใช่เหรอครับ ??

#17

bijection คือเป็นทั้ง 1-1 และ onto

ส่วน discriminant ดูแล้วไม่เกี่ยวครับ อสมการสลับข้างด้วย

ปล. discriminant สะกดอย่างนี้นะครับ :)

ข้อสอบนี้คือคัดตัวแทนไปสอบหรอครับ หรือไปหามาได้ครับ

Day 1:Problem 4 Let $n$ be a positive integer and $$T_n=1+2+...+n$$ Find all triples $(p,q,r)$ such that $p,q$ is prime and $r$ is a natural number with $T_p+T_q=T_r$ holds

เราจะได้ว่า $r<p+q \Rightarrow r-q<p$ โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้ $p\geqslant q$
จากโจทย์ $T_p+T_q=T_r$ ก็เขียนได้อีกแบบคือ $\frac{p(p+1)}{2}+\frac{q(q+1)}{2}=\frac{r(r+1)}{2} \Rightarrow p^2+p+q^2+q=r^2+r \Rightarrow p(p+1)=(r-q)(r+q+1) $
แต่จาก $r-q<p$ ทำให้ได้ $p\nmid (r-q) $ และได้ว่า $p|(r+q+1)\Rightarrow p|(p+q+r+1)$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $q|(p+q+r+1) \Rightarrow pq|(p+q+r+1) \Rightarrow pq\leqslant p+q+r+1<2p+2q+1\leqslant 4q+1 < 5q $
จะได้ $pq<5q \Rightarrow p<5 \Rightarrow p=2,3 $ เท่านั้น
case 1. ถ้า $p=2$ จาก $p\leqslant q$ได้ว่า $q=2$ เมื่อแทนค่าไปจะได้ $r=3$
case 2. ถ้า $p=3$ จาก $pq<2p+2q+1 \Rightarrow 3=p\leqslant q<7$ ทำให้ได้ว่า $q=3,5$ เมื่อแทนค่าจะได้ว่า $q=5 \Rightarrow r=6$ เป็นคำตอบ
กรณี $p>q$ ก็จะได้ $p=5,q=3\Rightarrow r=6$
ดังนั้น$(p,q,r)=(2,2,3),(3,5,6),(5,3,6)$ เท่านั้น

ข้อนี้สมมติว่าเขารู้อยู่ว่า แต่ละคนยิงได้อย่างน้อยคนละ 1 ประตู ซึ่งอันนี้ขึ้นกับการตีโจทย์ด้วย
ช่วยชี้แนะหน่อยครับว่าถูกไหม

มีรูปแบบคะแนนที่เป็นได้ $\binom{25}{6} $ วิธี
แต่มีรูปแบบนึงถูกต้อง

ดังนั้นเขาจึงมีวิธีเขียนผิด $\binom{25}{6} -1$ วิธี

Day II ข้อ 15
พิจารณาทีละ $\left\lfloor\,\sqrt{n}\right\rfloor $

Number of integer n possible
= $\left\lfloor\,\frac{3}{1}\right\rfloor -\left\lfloor\,\frac{3}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{8}{2}\right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{8}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{15}{4}\right\rfloor - ... - \left\lfloor\,\frac{1935}{44}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2012}{44}\right\rfloor $

= $(\left\lfloor\,\frac{3}{1}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{8}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{15}{4}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\,\frac{1935}{43}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2012}{44}\right\rfloor) - (\left\lfloor\,\frac{3}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{8}{3}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\,\frac{1935}{44}\right\rfloor )$

= $\sum_{i = 1}^{43}\left\lfloor\,\frac{i\times i+2i}{i}\right\rfloor + 45 - \sum_{i = 2}^{44}\left\lfloor\,\frac{i \times i-1}{i}\right\rfloor$

= $\sum_{i = 1}^{43}\left\lfloor\,i+2\right\rfloor + 45 - \sum_{i = 2}^{44}\left\lfloor\,i-\frac{1}{i}\right\rfloor$

= $\sum_{i = 1}^{43}(i+2) + 45 - \sum_{i = 2}^{44}(i-1)$

= $3+4+5+...+45+45-1-2-...-43$

= $131$

สายวิชาการละว่าก็โจทย์ยากดี แต่สายอาชีพอาจมองว่าทำลายอาชีพเค้า ขัดกับการพัฒนาประเทศ ตกลงใครสรุปว่าไงคงไม่มี

#20
ไปสอบมาอ่ะครับ
#24
งง ครับ

ร่วมด้วยช่วยงง :kiki:

ขอถาพี่ lightlucifer หน่อยครับว่า

ข้อ 9 วันที่สอง มีขอบเขตของค่า j อย่างไรครับ ?

ปล. วันแรกผมได้แค่ข้อเดียวเอง T.T