Math Gift
 

มันเป็นโจทย์รวบรวมจาก 2-3 ที่ครับกว่า 80% มาจากกระทู้ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ต้น ,ที่เรียนพิเศษของผม อื่นๆตามที่คิดได้ ความหนานี่ก็ไม่มีเลยครับ มีแค่ 4 หน้าลองเอาไปทำดูครับ ผมใช้เวลาทำนานพอสมควรเลย
$หากท่านใดว่างๆ กรณาเฉลยโจทย์เพื่อเป็นวิยาทานต่อไปด้วยครับ$:please:
http://www.uploadtoday.com/download/?126608&A=614131

ข้อ 1 นะครับ โจทย์คุ้นๆ นะครับ แต่จำไม่ได้ว่ามาจากไหน
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+1=(x^2-11x+29)^2$
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=(x^2-11x+29)^2-1^2$
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=(x^2-11x+30)-(x^2-11x+28)=(x-5)(x-6)(x-7)(x-4)$
จะได้ว่า $a+b+c+d=22$ ครับ
ข้อ 2 คิดมากแล้วเซงครับ ผมช้วิธีแทนค่า x สัก 2-3ตัว แล้วได้ n=1 นะครับ
ข้อ 4 จัดรูปธรรมดา ผมคิดได้ $m=4,-2$ ครับ
ข้อ 6 ได้ 8 ป่าวครับ
ข้อ 8 ผมทำได้ $\frac{1}{4}$
ข้อ 9 ผมคิดแล้วคำตอบไม่สวยเลยครับ ได้ $\frac{716}{49}$
ข้อ 11 ผมได้ $\frac{1}{2}$
ข้อ 12 ผมแทนค่า a,b,c=1 ทำไห้สมการเป็นจริง แลว้จะได้ว่า k=8 ครับ
ข้อ 13 ได้ 113 อ่ะครับ
ข้อ 17 ผมได้ $\frac{28}{3}$
ข้อ 16 ผมคิดว่า 70
ข้อ 18 ผมได้ $\frac{7}{5}$ ครับ
ข้อ 19 ผมได้ 0 อ่ะ
ข้อ 22 ผมได้ 100
ข้อ 37 ได้ 235
ข้อ 38 ได้ 14 อ่ะครับ
ยอมรับโจทย์เขาจริงๆเลยนะ (ผมว่ายากมาก) :sweat::sweat:

ชุดแรก
ข้อ 7 ตอบ 252
ข้อ 11 ตอบ 1/2
ข้อ 37 ตอบ 235
ชุด 2
ข้อ 34 ตอบ $\frac{\sqrt{2n-1}-1}{2} $
ข้อ 37 ตอบ เศษ 0

หน้าแรกรบกวนเทพ ข้อ 7 และ 15 ครับ
หน้า 2-4 อาจจะมีข้อง่ายมาแทรกบ้างต้องขออภัยนะครับ :please:
ข้อ 28 หน้า 2 รบกวน Hint ทีครับ โจทย์ไม่ผิดนะครับ

ข้อ 7. จากโจทย์ จะได้ว่า $2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{2}{4}} \times 2^{\frac{3}{8}} \times ...\times 2^{\frac{10}{1024}}$ หาผลบวกของเลขยกกำลังคงไม่อยากแล้ว เร็วๆนี้ได้แสดงโจทย์ลักษณะนี้ไปแล้ว
ข้อ 15 $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}-1)^2 = a^{\frac{2}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}+ 1+2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}-2b^{\frac{1}{3}}=49+20\sqrt[3]{6} $
จะสังเกตเห็นได้ว่า $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}=24$
ถ้ามาถูกทางจะได้ว่า $a=$ 48 , $b=$ 288
ส่วนข้อ 28 ถ้าโจทย์ไม่ผิด คงต้องตรัสรู้เองแล้วว่า pattern ตรงเศษจะเป็นรูปแบบไหนดี:mad:

โหคุณ หยินหยางเนี่ย-สุดยอดของสุดยอดเลยจริงๆอ่า
ข้อ 7 ผมได้ 252 อ่ะครับ
ทำเหมือนแนวคิดคุณหยินหยางเลยผมให้
$S=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+...+\frac{10}{1024}$.......(1)
$\frac{S}{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+...+\frac{10}{2048}$.........(2)
(1)-(2)
$\frac{S}{2}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1024})-\frac{10}{2048}$
$\frac{S}{2}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{10}}) }{1-\frac{1}{2}}-\frac{10}{2048}$
$\frac{S}{2}=1-\frac{1}{2^10}-\frac{5}{2^{10}}$
$\frac{S}{2}=1-\frac{1}{2^{10}}-\frac{5}{2^{10}}$
$\frac{S}{2}=1-\frac{3}{2^9}$
$S=\frac{2^9-3}{2^{8}}=\frac{a}{b} $
จะได้ว่า $a=2^9-3$ $b=2^8$
$a-b-1=2^9-3-2^8-1=252$

หลักคิดมาถูกทางแล้ว แต่ตัวเลขไม่ถูกครับ ข้อนี้มีข้อสงสัยว่าโจทย์ควรกำหนดด้วยว่า $\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำด้วย ตรงเครื่องหมาย + ต้องเป็น - ถึงจะถูก

ตรงเครื่องผมายผมผิดไปจริงๆครับ ขอโทษด้วย เหอๆ หน้าแตกเลย แต่ว่าตรงผลบวกของอนุกรมอ่ะ เพราะว่าผมดูในนี้อ่ะครับ http://www.mathcenter.net/review/rev...iew15p04.shtml แต่ถ้ามันผิดจริงๆ ก็ช่วยอธิบายหน่อยนะครับ:please::please:

ตาม link ที่ว่าก็เหมือนกันนี่ครับ ลองดูข้างล่างนี่ครับ
$\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+ ...+\frac{1}{1024}$
$=\frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ ...+\frac{1}{2^{10}}$
ในที่นี่ $a_1 = \frac{1}{2}, r = \frac{1}{2} , n = 10$ ที่เหลือก็แทนสูตรตามที่ link ให้ดูนั่นแหละครับ

จริงด้วยแหะๆๆ เหอ ผมนเนี่ยรั่วอีกแล้ว หน้าแตกเลยผม:blood: ขอบคุณคุณหยินหยางมากครับที่ช่วยเตือน:please::please:

ข้อ 15 ผมยังงงอยู่เลยครับว่ามาได้อย่างไรกรุณาอธิบายให้ละเอียดขึ้นสักนิดครับ ขอบคุณมากๆเลยครับ
ข้อ 7 นี่ผมหนักกว่าครับผมได้ติดลบเลย -516 ครับ ($\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

ข้อ 30 ครับ
สังเกตว่าพหุนาม $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}$ กับพหุนาม $x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca$ เป็นพหุนามเดียวกัน
$\therefore$ คำตอบของสมการ $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}=0$ จึงเป็นคำตอบเดียวกับสมการ $x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0$ ซึ่งก็คือ $$x=\frac{a+b+c \pm \sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca}}{2}$$

ชุด1
2.$x(x+1)(x+2)(x+3)+n=m^2$
$(x^2+3x)(x^2+3x+2)+n=m^2$
ให้ $x^2+3x=A$
$A(A+2)+n=m^2$
$A^2+2A+n=m^2$
$A^2+2A+n$ จะเป็นจำนวนกำลังสองได้นั้น $A^2+2A+n=0$ จะต้องมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว
นั่นคือ $2^2-4n=0$
$\therefore n=1$
______________________________________________________________________
25.พิจารณา $\ \ \frac{x^4+x^{-4}}{2}\geqslant\sqrt{x^4 \times x^{-4}}=1$
นั่นคือ $x^4+x^{-4}\geqslant 2$
$\therefore a^4+a^{-4}+b^4+b^{-4}+c^4+c^{-4}\geqslant 6$
______________________________________________________________________
ชุด2
18.จากอสมการ Cauchy-Schwarz
$5a+12b\leqslant \sqrt{5^2+12^2}\sqrt{a^2+b^2}$
$60\leqslant 13\sqrt{a^2+b^2}$
$\sqrt{a^2+b^2}\geqslant \frac{60}{13}$

ข้อ 19 ขอโชว์หน่อยๆ ^^
จากโจทย์ $8^x=9^y=6^z$ จงหาค่าของ $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{18}{z}$
พิจรณา $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{18}{z}=\frac{6yz+9xz-18xy}{xyz}$
และพิจรณา $8^x=9^y=6^z$
$2^{3x}=3^{2y}=6^z$
ตอนแรกดูที่
$2^{3x}=3^{2y}$
$2^{3xz}=3^{2yz}$
$2^{9xz}=3^{6yz}$-------(1)
แล้วทิ้งไว้ก่อน มาดูที่
$2^{3x}=6^z$
$2^{3xy}=6^{yz}$
$2^{18xy}=6^{6yz}$------(2)
แล้วนำ $\frac{(1)}{(2)}$
$2^{9xz-18xy}=\frac{3^{6yz}}{6^{6yz}}$
$2^{9xz-18xy}=3^{6yz}(2^{-6yz}3^{-6yz})$
$2^{6yz+9xz-18xy}=2^0=1$
จะสรุปได้ว่า $6yz+9xz-18xy=0$
$\therefore \frac{6yz+9xz-18xy}{xyz}=0$...ANS:great::great:

ชุดที่สองข้อ 18 ผมว่าใช้สามเหลี่ยมคล้ายโอเคกว่านะครับ เพราะผมไม่รู้จักโคชี่ :cry:

ข้อ21 ที่เค้าให้หาคำตอบสมการ มีใครคิดได้ยังคับ ผมยังมึนๆอยู่เลยคับ ช่วยhintด้วย

นั่นสินะครับ ผมยัง อึนๆ นั่งเถือกอยู่เลย แต่รู้สึกว่าใช้โปรแกรมช่วยแล้วคำตอบออกมาแบบ อตรรกยะอ่ะครับ ไม่สวยเลยอ่า :sweat::sweat:

อสมการCauchy-Schwarz
$$\sum_{i = 1}^{n}x_i y_i \leqslant \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {x_i}^2}\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {y_i}^2}$$

ลองดูรูปแบบการแยกตัวประกอบแบบนี้หรือยัง
$(x^2+bx-2)(5x^2+cx-10) = 5 x^4 - 36 x^3 - 52 x^2 + 72 x + 20$
$b = $ -8 $,c =$ 4

ชุด 1 ข้อ 31 ทำไงอ่ะครับ งงมากเลย:please::please:
ชุดที่สอง องเทียบๆคำตอบหน่อยยนะครับ ผมทำไม่ค่อยได้เลย
ข้อ 10 ได้ $\frac{1}{7}$ $\frac{-10}{7},\frac{-12}{7}\leftarrow $ตอบไม่ครบ :sweat:
ข้อ 11 ได้ 0 ป่าวอ่ะครับ
ข้อ 13 ได้ 120 อ่ะป่าวครับ
ข้อ 16 ได้ 2
ข้อ 18 ผมได้ $\frac{13}{4}$ ผิดครับ :cry:
ข้อ 19 ได้ $2\sqrt{35}$
ข้อ 21 ผมได้ -1
ข้อ 24 ผมได้ 51
ข้อ 26 ผมคิดได้ x=4 y=3 z=2
ข้อ 28 ผมได้ 0 ละตัวหนึ่งแต่คิดไม่ออกว่ามีอีกป่าว
ข้อ 29 ผมได้ x=0 y=-1
ข้อ 31 ผมว่า x=3 y=4 z=5
ข้อ 32 ผมได้ 0 อ่ะ
ข้อ 35 ได้ 90
ข้อ 39 ไม่สวยเลยแหะๆ 31933.5696 เง้อๆ
ข้อ 40 ผมได้ 1 อ่ะ

เอาเฉพาะหน้า 3 ก่อนนะครับหมดแรงแล่ว เสียงดังมากมายครับปีใหม่ TT ข้อใดผิดพลาดกรุณาตักเตือนด้วยนะคับ
1. $5\pm2\sqrt{5}$
2. 1
3. $6$
5. $161,700$
6. $23+\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
7. $10$
9. $\frac{3\pm2\sqrt{2}}{2}$
10. $\frac{-10}{7},\frac{1}{7},\frac{-12}{7}$
11. $0$
12. $♥\frac{5,782,414}{2923}$
14. $6$
15. $39$
16. $2$
17. $1,225$
18. $\frac{60}{13}$
19. $2\sqrt{35}$
20. $♥\frac{n^6-2n^5+3n^4+8n^3-12n^2+9n-4}{4}$

รบกวนเช็คข้อ 12,20 เป็นพิเศษเลยนะครับคิดเลขถึกมากๆ แล้วก็ข้อ 17 ด้วยครับ :please:

ชุดที่ 2 หน้าแรก ข้อ 10,13,18 คุณ light คิดอย่างไรหรอครับ

ข้อ 18 ครับ
จากอสมการโคชี-ชวาร์ซ
$60=5a+12b \leq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{5^2+12^2}$
$60 \leq 13\sqrt{a^2+b^2}$
$\sqrt{a^2+b^2} \geq \frac{60}{13}$
$\therefore$ ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{a^2+b^2}$ คือ $\frac{60}{13}$ :great:

ข้อ 10 ผมใช้วิธีว่า มันต้องมีส่วน 7 แน่นอน เลยลองแทนค่า $x=\frac{1}{7}$ ไปก่อนเลยครับ(สัญชาติญาณของการมั่ว^^) แต่ผมว่าถ้าเป็น $\frac{-4}{7}$ มันจะติดลบอ่ะครับ
ข้อ 13 ผมเอาแต่ใจ ให้ ทุกตัวเป็น 0 ไปให้หมดทำให้สมการเป็นจริงครับ
ข้อ 18 ผมก็แค่ลองๆแทนค่าดูอ่ะครับ แต่ผมลืมถอดรูทให้หมดอ่ะครับ ผมผิดไปแล้ว:cry::cry::cry:

ข้อ 10 ผิดพลาดขั้นตอนไหนช่วยตรวจทีครับ เจอแล้วครับ :please:
$(x)(x+1)(x+2) = \frac{8\times15}{7^3}$
$(7x)(7x+7)(7x+14) = 120$
$(A-7)(A)(A+7) = 120$ ;ให้ $A = 7x+7$
$A^3-49A-120 = 0$
$(A+3)(A^2-3A-40) = 0$
$(A+3)(A-8)(A+5) = 0$
$A=-3,8,-5$
$x=\frac{-10}{7},\frac{1}{7},\frac{-12}{7}$

$(A-3)(A^2+3A+40) = 0$ ตรงนี้ครับ
$(A-3)(A^2+3A+40) = A^3+31A-120$
จากวิธีนี้ผมขอต่อเลยนะครับ
$A^3-49A-120= (A-8)(A^2+8A+15)=(A-8)(A+3)(A+5)=0$
$A=8,-3,-5$
$7x+7=8,-3,-5$
$x=\frac{1}{7},\frac{-10}{7},\frac{-12}{7}$.....ANS

ขอบคุนคับสำหรับข้อสอบ

12. 1993 ครับ โดยใช้ความสัมพันธ์ ที่ว่า $S_n = (x+y)S_{n-1} -xyS_{n-2}$
17.โจทย์ข้อ 17 นี้เป็นโจทย์ของสสวท.รอบแรกปี 2550 แต่โจทย์ที่ให้มาไม่ตรง เพราะโจทย์ที่ถูกต้องดูได้ที่นี่ ตอนที่ 2 ข้อที่ 3 แต่ถ้าเป็นโจทย์ที่ให้มาละก็คำตอบก็คือ 475
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2928
20. $a_4 = 10+11+...+17$ หรือ ไม่ใช่แค่ 16 ลองดูโจทย์ลักษณะเดียวกันได้ที่นี่ ความเห็นที่ 18
http://www.mathcenter.net/forum/show...5284#post45284

ถ้าใช้ว่า $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$ จะได้ $A = \frac{3\pm \sqrt{169}}{2}=A = \frac{3\pm13}{2}$ อ่ะครับ

ข้อ 17 คิดอย่างไรหรอครับ ผมได้ 375 อ่ะ :please:

ข้อ 20 นั้น $a_4$ บวกถึง 16 นะครับ :please:

บวกลบผิดตรง A=-3 อ่ะครับจริงๆจะได้ $x=\frac{-10}{7}$ อ่ะครับ

ข้อ 19 ผมคิดแบบนี้นะครับ

จับเอา $8^x = 9^y = 6^z$ มา = k
แล้วจับเท่ากับ k ทีหละตัว
แล้วจะได้ว่า $8=k^{\frac{1}{x}} , 9=k^{\frac{1}{y}} , 6=k^{\frac{1}{z}}$
แล้วจับมายกกำลังตามโจทย์ $8^6=k^{\frac{6}{x}} , 9^9=k^{\frac{9}{y}} , 6^{18}=k^{\frac{18}{z}}$
แล้วจับมาทำตามโจทย์จะได้ $\frac{(8^6)(9^9)}{6^{18}}=k^{\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{18}{z}}$
ก็ได้ $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{18}{z} = 0$
ถ้าผิดก็ขอ อภัยด้วยครับ

ได้ตรงกันครับ