ลำดับพหุนาม
 

ลำดับพหุนามคือลำดับที่สามารถเขียนพจนทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามเช่น
1. ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี1
จึงเรียกลำดับ$a_n=3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่1....หรือที่รู้จักกันในชื่อลำดับเลขคณิต
2.ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=n^2+3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี2
จึงเรียกลำดับ$a_n=n^2+3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่2....
หรือ3.ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=n^3-n^2+3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี3
จึงเรียกลำดับ$a_n=n^3-n^2+3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3....เป็นต้น
ยกตัวอย่างเฉพาะเจาะจงลงไปเช่น จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ $5 , 19 , 42 , 76 , 123 ,...$
ซึ่งลำดับดังกล่าวเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3เพราะมีคำตอบเป็น$[a_n=\frac{n^3}{3}+\frac{5}{2}^2+\frac{25}{6}n-2]$
วิธีการระบุว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3ได้อย่างไรและการหาพจน์ทั่วไปคืออะไรแสดงรายละเอียดตามภาพ...
ซึ่งจะนำไปสู่การหาอนุกรมของลำดับพหุนามได้ต่อไป

นอกจากวิธีเชิงเมตริซ์สามารถนำมาใช้หาพจน์ทั่วไปของลำดับที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปฟังก์ชันพหุนามได้แล้ว
ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ยังสามารถใช้หาอนุกรมของลำดับนั้นได้ด้วยตัวอย่างเช่นอนุกรม
5+19+42+76+123+...+จนถึงnพจน์จะได้
$S_1=5,S_2=24,S_3=66,S_4=142,S_5=265,S_6=450,...$
นำลำดับของ$S_n$มาหาผลต่างพจน์เป็นชั้นๆจนได้ผลต่างคงที่แล้วนำมาดำเเนินการด้วยวิธีเชิงเมตริกซ์
จะสามารถหาพจน์ทั่วไปของอนุกรมได้ในที่สุด.....

การใช้เมตริกซ์เลื่อนพหุนาม
 

..สุดความสามารถแล้วครับ....พิจารณากันดู

การใช้เมตริกซ์คูณพหุนาม
 

ความพยายามในการรวมมุมมองพหุนามเข้ากับเมตริกซ์-------(มีการแก้ไขครับ)

การใช้เมตริกซ์คูณพหุนาม
 

การคูณพหุนามในมุมมองพื้นฐานของเมตริกซ์ นำมาช่วยลดความซับซ้อนในการคูณพหุนามหลายๆพจน์ได้อย่างมีระบบมากขึ้น

การคูณเลขฐานโดยใช้พหุนาม
 

ขอฟีดผลงานต่อเนื่องเลยล่ะกันครับ

พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

...ตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ3...
โดยมีพจน์ที่1และ2เป็น$a_1และa_2ตามลำดับ$

....จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=A\frac{p_1^n}{p_1-p_2} +B\frac{p_2^n}{p_2-p_1} $$
เมื่อ$p_1,p_2เป็นรากของสมการ x^2-\alpha x-\beta =0$
และ$A=\frac{\vmatrix{a_1 & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ a_2 & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } }{\vmatrix{\frac{p_1}{p_1-p_2} & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2} & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } } $
$B=\frac{\vmatrix{ \frac{p_1}{p_1-p_2}&a_1 \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2}&a_2 } }{\vmatrix{\frac{p_1}{p_1-p_2} & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2} & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } } $

...กรณีเฉพาะของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ3...
โดยมีพจน์ที่1และ2หรือ$a_1=1และa_2=\alpha ตามลำดับแล้ว$

...จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=\frac{p_1^n}{p_1-p_2} +\frac{p_2^n}{p_2-p_1} $$
เมื่อ$p_1,p_2เป็นรากของสมการ x^2-\alpha x-\beta =0$

♡พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นย้อนหลังสามพจน์♡
 

...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นและย้อนหลัง3พจน์หรือ...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ4...
โดยมีพจน์ที่1,2และ3คือ$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta ตามลำดับแล้ว$

...จะได้ความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=\frac{p_1^{(n+1)}}{(p_1-p_2)(p_1-p_3)} +\frac{p_2^{(n+1)}}{(p_2-p_1)(p_2-p_3)} +\frac{p_3^{(n+1)}}{(p_3-p_1)(p_3-p_2)} $$
เมื่อ$p_1,p_2และp_3เป็นรากของสมการ... x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$

อนุกรมของความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

"ลำดับที่มีความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...อนุกรมของลำดับนั้นจะมีความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นด้วยเช่นกัน"
...ตัวอย่างเช่นลำดับฟิโบนาชี
$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}เมื่อa_1และa_2=1$$หรือ...
ลำดับในรูป ...1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...
จะมีอนุกรมฟิโบนาชีเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดที่เขียนได้ในรูป
$$S_n=2S_{n-1}-S_{n-3}เมื่อS_1=1,S_2=2และS_3=4$$
โดย $S_n=a_1+a_2+...+a_n$

...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นย้อนหลัง2พจน์หรือ..
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},เมื่อมีพจน์ที่1และ2เท่ากับa_1และa_2ตามลำดับ$$
จะมีอนุกรมของความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูป...
$$S_n=(\alpha +1)S_{n-1}+(\beta -\alpha )S_{n-2}-\beta S_{n-3}$$
โดย$S_1=a_1$
$S_2=a_1+a_2$
และ$S_3=a_1+a_2+a_3$

รากของพหุนามกับความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

....พหุนามกำลัง3ที่มีรากของสมการอย่างน้อย1ค่าอยู่ระหว่าง0กับ1...และอยู่ในรูป
$$x^3=\alpha x^2+\beta x+\gamma $$
จะสามารถหารากของสมการโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
...โดย$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta $และรากของสมการกำลังสอง
$$\lim_{n \to \infty} [a_nx^2+(\beta a_{n-1}+\gamma a_{n-2})x+\gamma a_{n-1}]=0$$
โดย$0<x<1$จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามกำลังสามนั้นด้วย

ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต
 

กรณีที่พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิด
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
โดย$a_1=1และa_2=\alpha $
ซึ่งคือ$x^2=\alpha x+\beta $มีรากสมการเพียงค่าเดียวคือ$p$
ความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปคือ...
$$a_n=np^{n-1}$$

ลำดับพหุนามกับความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

"ลำดับที่มีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปฟังก์ชันพหุนาม...จะสามารถเขียนลำดับนั้นให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เสมอ"
เช่น...1.ลำดับ$a_n=3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ...
$$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$$
$เมื่อa_1=2และa_2=5$
2.ลำดับ$a_n=n^2+3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ...
$$a_n=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$$
$เมื่อa_1=3,a_2=9และa_3=17$
...หรือ3.ลำดับ$a_n=n^3-n^2+3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ...
$$a_n=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}$$
$เมื่อa_1=2,a_2=9,a_3=26และa_4=59$

การหาอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น
 

เช่นความสัมพันธ์$$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}โดยa_1=1และa_2=2$$
$$หรือลำดับ1,2,4,8,16,...$$
...ถ้าดูอย่างผิวเผินจะเห็นว่าเป็นความสัมพันธ์ที่จำเป็นจะต้องรู้พจน์ก่อนหน้าพจน์ที่จะหาถึง2พจน์
แต่ถ้าพิจารณาให้ดีให้ถี่ถ้วนจะเห็นว่าความสัมพันธ์ที่กล่าวถึงนี้คือลำดับเรขาคณิตนั่นเอง..
แค่ทราบพจน์ก่อนหน้าพจน์ที่จะหาเพียงพจน์เดียวก็น่าจะเพียงพอแล้ว ..
หรือสามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์แทนได้ว่า$a_n=2a_{n-1}เมื่อa_1=1$เท่านั้น..ถูกมั้ยครับ..
ทำให้บอกได้ว่าความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2},a_1=1และa_2=2$...
สามารถลดรูปเหลือ$a_n=2a_{n-1},a_1=1$ได้...
ซึ่งก็คือความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2},a_1=1และa_2=2$มีอันดับ(Ranking)เท่ากับ1

การหาเมตริกซ์อันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น
 

ความสัมพันธ์เวียนเกิด$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}เมื่อa_1=1และa_2=2$...
หรือลำดับ $1,2,4,8,16,32,...$
1.เมตริกจัตุรัสมิติ3x3ที่เกิดจากการนำสามพจน์เรียงกันแล้วนำมาเขียนเป็นเมตริกซ์แบบเหลื่อมกันเช่น..$\bmatrix{1 & 2&4\\ 2& 4&8\\4&8&16} ,\bmatrix{2 & 4&8\\ 4& 8&16\\8&16&32}$..เป็นต้น...ต่างมีค่าดิเทอร์มิแนนท์=0
2.เมตริกจัตุรัสมิติ2x2ที่เกิดจากการนำสองพจน์เรียงกันแล้วนำมาเขียนเป็นเมตริกซ์แบบเหลื่อมกันเช่น..$\bmatrix{1 & 2 \\ 2 & 4} ,\bmatrix{2 & 4 \\ 4 & 8}$ ..เป็นต้น...ต่างมีค่าดิเทอร์มิแนนท์=0 เช่นกัน
3..เมตริกจัตุรัสมิติ1x1ที่เกิดจากแต่ละพจน์เช่น..$\bmatrix{1 },\bmatrix{2} ,\bmatrix{4}$ ..เป็นต้น...ต่างก็มีค่าดิเทอร์มิแนนท์ไม่เท่ากับ0
...เมตริกซ์จัตุรัสที่มีมิติน้อยที่สุดที่เกิดจากการนำพจน์ของความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้นมาเขียนเรียงกันในรูปของเมตริกซ์แบบเหลื่อมกัน และทุกๆเมตริกซ์นั้นต่างก็หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ได้เท่ากับ0 .เช่นในตัวอย่างนี้ก็คือเมตริกจัตุรัสมิติ2x2...จะได้ว่าอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้นจะน้อยกว่ามิติของเมตริกซ์อยู่1...ซึ่งก็ค ือมีอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นเท่ากับ1...หรืออธิบายได้ว่าลำดับ $1,2,4,8,...$สามารถเขียนให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นโดยพจน์ก่อนหน้าเพียง1พจน์ก็เพียงพอแล้ว

อันดับความสัมพันธ์เวียนเกิดของลำดับเลขณิต
 

ตัวอย่างเช่น...ลองมาตรวจสอบว่าลำดับเลขคณิตที่เรารู้จักกันนั้นมีอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดเท่าใด?...
1. ลำดับ$1,3,5,7,9,...$
เมตริกอันดับของลำดับความสัมพันธ์เลขคณิตที่มีผลต่างร่วมd=2นี้คือเมตริกซ์มิติ3x3เพราะว่า.....
เมตริกซ์ในรูป$\bmatrix{a_n & a_{n+1}&a_{n+2} \\ a_{n+1} & a_{n+2}&a_{n+3}\\a_{n+2}&a_{n+3}&a_{n+4}} ,ทุกๆจำนวนนับn$
1.1)ทุกๆเมตริกซ์ของสามพจน์เรียงกันแบบเหลื่อมกันต่างมีdeterminant=0
1.2)เมตริกซ์ที่มีมิติมากกว่านี้เช่นมิติ4x4,5x5หรือ6x6เป็นต้นจะมีdeterminant=0ทุกๆเมตริกซ์
1.3)เมตริกซ์ที่มีมิติน้อยกว่านี้เช่นมิติ2x2จะมีอย่างน้อยที่สุด1เมตริกซ์ที่determinantไม่เท่ากับ0
...จึงสรุปได้ว่าลำดับเลขคณิต$1,3,5,7,9,...$มีอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นน้อยกว่ามิติของเมตริกซ์อันดับอยู่1...ซึ่งก ็คือมีอันดับเท่ากับ2
2.ลำดับเลขคณิตอื่นๆก็ใช้วิธีการตรวจสอบอันดับเช่นเดียวกันและเข้าใจว่าจะได้อันดับของความสัมพันธ์เป็น2เช่นกัน

เมตริกซ์,ลำดับเวียนเกิดและความสัมพันธ์เชิงเส้น
 

ลำดับใดๆ$$a_1,a_2,a_3,...,a_n$$ที่มีเมตริกซ์อันดับ(A)เรียงกันของพจน์ที่แบบเหลื่อมกันในรูป...$$\bmatrix{a_n & a_{n+1}&a_{n+2} \\ a_{n+1} & a_{n+2}&a_{n+3}\\a_{n+2}&a_{n+3}&a_{n+4}}$$
...โดย$a_nคือพจน์ที่ของลำดับในทุกๆพจน์...และเมตริกซ์นี้มีdeterminant=0$...
จะสามารถเขียนลำดับนี้แบบความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นในรูป$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
...และสามารถหาค่าคงที่$\alpha ,\beta $ได้คือ$$\alpha =-\frac{C_{23}(A)}{C_{33}(A)} ,\beta =-\frac{C_{13}(A)}{C_{33}(A)} $$
เมื่อ$C_{ab}(A)คือโคแฟคเตอร์แถวที่aหลักที่bของเมตริกซ์A$

ตัวอย่างที่1
 

ตัวอย่างเช่น...
กำหนด...ความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}$
และ$a_1=1,a_2=3$จงหาพจน์ทั่วไปของความสัมพันธ์นี้
....1)..พหุนามของความสัมพันธ์นี้คือ$x^2-3x-4=0$
หารากของพหุนามได้ $x=4,-1$
2)..หรือ$p=4และq=-1$
3)..ได้ $a_{n}=\frac{4^n}{4-(-1)} +\frac{(-1)^n}{(-1)-4} $
หรือ..$a_n=\frac{4^n}{5} +\frac{(-1)^n}{-5} $
ได้..$a_n=\frac{4^n}{5} -\frac{(-1)^n}{5} $
หรือ..$a_n=\frac{1}{5} (4^n-(-1)^n)$

การใช้ความสัมพันธ์แบบย้อนหลังมาพยากรณ์ข้อมูลทางการแพทย์
 

....ลองยกตัวอย่างลำดับของจำนวนผู้เสียชีวิตด้วยไวรัสโคโรน่าสายพันธุ์ใหม่2019
..เริ่มวันที่21ม.ค.จนถึงวันที่3ก.พ.

9,17,25,41,56,80,106,132,170,213,258,304,362,426,...
ทึ่มาข้อมูล:https://www.worldometers.info/coronavirus/

....ตามแนวโน้มของตัวเลขที่มีอยู่สามารถหาความสัมพันธ์แบบย้อนหลังไป4วัน
น่าจะสามารถพยากรณ์ตัวเลขในวันพรุ่งนี้ได้...

$$a_n=1.1714a_{n-1}-0.1081a_{n-2}+1.2314a_{n-3}-1.2799a_{n-4}$$

ตัวอย่างเช่น
พหุนาม$x^3-4x^2+7x-1=0$
แอลฟ่า=4,เบต้า=(-7),แกมม่า=1
สร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นซึ่งจะนำไปลดทอนกำลังของพหุนามได้
$a_n=4a_{n-1}-7a_{n-2}+a_{n-3}$
$a_1=1,a_2=4,a_3=9$

หรือเขียนเป็นพจน์ประมาณเก้าพจน์ได้..
ถ้ามากพจน์กว่านี้คำตอบจะมีความละเอียดของทศนิยมมากขึ้น
$1,4,9,9,(-25),(-154),(-432),(-675),170,...$
ลดทอนกำลังเหลือพหุนามดีกรีสองได้
$170x^2+[(-7)(-675)+(-432)]x-675=0$
หรือพหุนาม $170x^2+4293x-675=0$
คำตอบที่อยู่ระหว่าง0ถึง1คือ$0.15627$
ซึ่งตัวเลขนี้จะเป็นตำตอบของพหุนาม
$x^3-4x^2+7x-1=0$ด้วย
ขอบคุณครับ

...บนความสัมพันธ์เชิงเส้น...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$...และ...
$$..............\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} สามารถหาได้เท่ากับจำนวนp.................. $$
แล้ว$จำนวน...p...จะเป็นรากสมการหนึ่งของพหุนาม...x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0ด้วย$

การลู่เข้าของความสัมพันธ์เชิงเส้น.....$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$
ถ้าพหุนาม..$x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$
มีรากของสมการอยู่ระหว่าง..$-1และ1$แล้ว
ความสัมพันธ์เชิงเส้นนั้นจะลู่เข้า...

ตัวอย่างเช่น...
ความสัมพันธ์เชิงเส้น
$$a_n=1.1714a_{n-1}-0.1081a_{n-2}+1.2314a_{n-3}-1.2799a_{n-4}$$
มีรากสมการของพหุนาม
$$x^4=1.1714x^3-0.1081x^2+1.2314x-1.2799$$
คือ...$xประมาณ0.975019และ1.19131$
ซึ่งมีรากสมการที่ไม่ได้อยู่ในขอบเขตระหว่าง-1กับ1
ส่งผลให้....$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} \approx 1.19131$$
จึงคาดการณ์ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้ลู่เข้า

ตัวอย่างความสัมพันธ์ที่ลู่เข้า
เช่น...$$a_{n}=0.5a_{n-1}+0.5a_{n-2}-0.125a_{n-3}$$
และพหุนาม...$x^3=0.5x^2+0.5x-0.125$
ซึ่งมีรากสมการที่..$cos(\pi /7),cos(3\pi/7)และcos(5\pi/7)$
ซึ่งอยู่ระหว่าง-1และ1...
และคิดว่า...$$\lim_{n \to \infty} (a_n/a_{n-1})น่าจะเท่ากับ...cos(\pi/7)$$
ถ้าเป็นไปตามนี้...ความสัมพันธ์นี้จะลู่เข้าและลู่เข้าสู่...ศูนย์

ความสัมพันธ์เชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
$โดยเริ่มต้นที่...a_1,a_2และa_3$
และสามารถหา..
$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} =1 $$
แล้วความสัมพันธ์นึ้ก็จะลู่เข้าเช่นกัน
และน่าจะลู่เข้าสู่จำนวน...$L$
และยังสงสัยอยู่ว่า...
$$L=\frac{\gamma a_1+(\gamma+\beta)a_2+(\gamma+\beta+\alpha)a_3}{\alpha+2\beta+3\gamma}$$

การหาผลบวกของอนุกรมกำลังที่มีส.ป.ส.อยู่ในรูปความสัมพันธ์เชิงเส้น
 

เช่น...อนุกรมกำลังที่มีส.ป.ส.ในรูปของความสัมพันธ์ฟิโบนาชี
$$1+ x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...+a_nx^{n-1}+...$$
โดยที่...$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}...เริ่มที่...a_1=1และ.a_2=1$
ซึ่งถ้าอนุกรมนี้ลู่เข้า.....รัศมีการลู่เข้า...$|x|<\frac{1}{\varphi } $...
...โดยที่..$\varphi คืออัตราส่วนทองคำ$
ผลบวกของอนุกรมกำลังนี้จะสามารถเขียนอยู่ในรูป...
เศษส่วนย่อยของพหุนามได้คือ$\frac{-1}{x^2+x-1} $

หรือในความสัมพันธ์ทั่วไป...
ถ้าอนุกรมกำลังของความสัมพันธ์นั้นลู่เข้าแล้ว...
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nx^{n-1}=\frac{(\alpha a_1-a_2)x-a_1}{\beta x^2+\alpha x-1} $$
เมื่อ...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}...โดย...a_1และ.a_2..คือพจน์เริ่มต้นของความสัมพันธ์$

เศษส่วนย่อยของอนุกรมกำลังของฟังก์ชันพหุนาม
 

...ถ้าอนุกรมกำลังของความสัมพันธ์เชิงเส้นนั้น...
สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้แล้ว...
จะสามารถหาผลบวกนั้นได้อยู่ในรูปของเศษส่วนพหุนาม...

...อนุกรมกำลังของฟังก์ชันพหุนามนี่ก็เช่นกัน...
จะสามารถหาผลบวกของอนุกรมนั้นได้ในรูป...
ผลบวกของเศษส่วนย่อยดังนี้...
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nx^{n-1}=\frac{a_1}{1-x} +\frac{d_1x}{(1-x)^2} +\frac{d_2x^2}{(1-x)^3} +...+\frac{d_kx^k}{(1-x)^{k+1}} ,|x|<1$$
โดย...$a_n$คือความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูปแบบฟังก์ชันพหุนาม...
เช่น...$a_n=2n^2-3n+1$...และ...
$k$...คือดีกรีของพหุนามนั้นเท่ากับ...2...เป็นต้น
$a_1...คือพจน์แรกของอนุกรม$...
$d_1=a_2-a_1$...
$d_2=a_3-2a_2+a_1$...
$d_3=a_4-3a_3+3a_2-a_1$...
...
$d_k=a_{k+1}-\binom{k}{1} a_k+\binom{k}{2}a_{k-1}-\binom{k}{3}a_{k-2}+...+(-1)^{k-1}\binom{k}{k-1}a_2+(-1)^k\binom{k}{k} a_1$

ลองดูพิจารณาความสัมพันธ์...$a_n=(1/2)a_{n-1}+(1/4)a_{n-2}...a_1=1และa_2=1$
หรือแจกแจงความสัมพันธ์ได้คือ...
$1,1,(3/4),(5/8),(8/16),(13/32),...$
ถามว่าความสัมพันธ์นี้ลู่เข้ามั้ย?...
และถ้าความสัมพันธ์นั้นลู่เข้า...
อนุกรมหรือผลรวมของความสัมพันธ์ยังลู่เข้าอยู่ใช่มั้ย?...
...การคาดการณ์สามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้...
1) สร้างพหุนามที่ล้อกับความสีมพันธ์...
$x^2=(1/2)x+(1/4)..หรือคือ...4x^2-2x-1=0$...
2) รากสมการพหุนามนั้นคือ...$cos(pi/5)กับcos(3pi/5)$
รากสมการทั้งหมดมีค่าสมบูรณ์ที่น้อยกว่า1...หรือ...$|x|<1$
3) ทำให้ความสัมพันธ์นี้รวมถึงอนุกรมของความสัมพันธ์ลู่เข้าทันที...
4) สร้างความสัมพันธ์ของอนุกรม...
$$S_n=(3/2)S_{n-1}-(1/4)S_{n-2}-(1/4)S_{n-3}...S_1=1,S_2=2และS_3=11/4$$
5) อนุกรมนี้ลู่เข้าสู่...$L=6$

การลู่เข้าของผลรวมของความสัมพันธ์
 

...ความสัมพันธ์
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}...พจน์เริ่มต้น...a_1,a_2$$
...โดยที่$$\lim_{n \to \infty} \left|\,\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1$$
...จะสามารถหาผลรวมของความสัมพันธ์ได้คือ
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n=\frac{(1-\alpha )a_1+a_2}{1-\alpha -\beta } $$

ผลรวม...exponential...เชิง...fractorial...
 

...หลักการของเศษเสมือนของฟังก์ชันผ่าน...
...Taylor's series...ทำให้รู้ค่าการลู่เข้า...
...ของฟังก์ชันเชิงแฟคทอเรียลได้เช่น...
ถ้า...$a_n$...คือความสัมพันธ์แบบ...exponential...
หรือมีความสัมพันธ์แบบ...linear...
กับพจน์ก่อนหน้า...
ซึ่งสามารถหาพจน์ทั่วไปของ...$a_n$...
$$a_n=\lambda_1p_1^n+\lambda_2p_2^n...,n\geqslant 0$$
ผลรวมของ...$\frac{a_n}{n!}$...จะลู่เข้า...
$$a_0+a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+...+\frac{a_n}{n!}$$
และลู่เข้าสู่...
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}=\lambda_1e^{p_1}+\lambda_2e^{p_2}$$

ผลรวม...exponential...เชิง...combinatoric
 

ความสัมพันธ์แบบเชิงเส้น....$b_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2}$
หรือความสัมพันธ์แบบ...exponential...ที่มีพจน์ทั่วไป...$b_n=\lambda_1 p_1^n+\lambda_2 p_2^n$
สามารถหาผลรวมของการเลือกสรรโดยใช้หลักการคอมบินาทอริกได้คือ...
$$\binom{n}{0}b_0+\binom{n}{1}b_1+\binom{n}{2}b_2+...+\binom{n}{n-1}b_{n-1}+\binom{n}{n}b_n $$
หรือ...
$$\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}b_k=\lambda_1 (p_1+1)^n+\lambda_2 (p_2 +1)^n$$
...ขอบคุณครับ...

ผลรวมทวินาม...fibonucci


เมื่อ...$f^n=F(n)...คือเลขฟิโบนัชที่(n)$
โดย...$F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(0)=0,F(1)=1$
หรือ...
$$\binom{n}{1}F(1)+\binom{n}{2}F(2)+\binom{n}{3}+...+\binom{n}{n-1}F(n-1)+\binom{n}{n}F(n)=F(2n)$$
เช่น...
$\binom{5}{1}F(1)+\binom{5}{2}F(2)+\binom{5}{3}F(3)+\binom{5}{4}F(4)+\binom{5}{5}F(5)=F(10)$

ผลรวมทวินาม...fibonucci...$3^{step}$


เมื่อ...$(2f)^n=2^nf^n=2^nF(n)$
โดย...$F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(0)=0,F(1)=1$
หรือ...
$$(2^1)\binom{n}{1}F(1)+(2^2)\binom{n}{2}F(2)+(2^3)\binom{n}{3}F(3)+...+(2^{n-1})\binom{n}{n-1}F(n-1)+(2^n)\binom{n}{n}F(n)=F(3n)$$
เช่น...
$(2)\binom{5}{1}F(1)+(2^2)\binom{5}{2}F(2)+(2^3)\binom{5}{3}F(3)+(2^4)\binom{5}{4}F(4)+(2^5)\binom{5}{5}F(5)=F(15)$

...การหาค่า...$e$...โดยใช้การกระจายทวินาม

1)...กำหนดความสัมพันธ์...$$b_n=\epsilon ^n,โดย...\epsilon คือจำนวนเล็กๆ$$
2)...หาผลรวมทวินามของความสัมพันธ์...$b_n$
$$\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}b_k=(1+\epsilon )^n$$
หรือ...
$$1+\binom{n}{1} \epsilon +\binom{n}{2} \epsilon ^2+\binom{n}{3} \epsilon ^3+...+\binom{n}{n-1} \epsilon^{n-1}+\binom{n}{n}\epsilon^n=(1+\epsilon)^n$$
3)...แทน...$\epsilon=\frac{1}{n}$ ...แล้วเทคลิมิตเข้าสู่อนันต์...
$$\lim_{n \to \infty} [\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}(\frac{1}{n})^k]=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} + ... $$
4)...ได้ค่า...$e$
$$e=\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n} )^n$$

ทวินามสลับของเลข...fibonucci
 

เลขฟิโบนัชชีในตำแหน่งคู่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกทวินามของเลขฟิโบนัชชีได้เสมอ...
เช่น...
1)...$F(12)=\binom{6}{1}F(1)+\binom{6}{2}F(2)+\binom{6}{3}F(3)+\binom{6}{4}F(4)+\binom{6}{5}F(5)+\binom{6}{6}F(6)$
2)...$F(2000)=\binom{1000}{1}F(1)+\binom{1000}{2}F(2)+\binom{1000}{3}F(3)+...+\binom{1000}{999}F(999)+\binom{1000}{1000}F(1000)$
เป็นต้น...
หรือเขียนเป็นสมการทวินามฟิโบนัชชีคือ...

ในเส้นทางกลับของสมการดังกล่าวคือ...
...เลขฟิโบนัชชีทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลต่างทวินามของเลขฟิโบนัชชีตำแหน่งคู่ได้เสมอ...
เช่น...
1)... $F(6)=F(12)-\binom{6}{1}F(10)+\binom{6}{2}F(8)-\binom{6}{3}F(6)+\binom{6}{4}F(4)-\binom{6}{5}F(2)$
2)... $F(7)=F(14)-\binom{7}{1}F(12)+\binom{7}{2}F(10)-\binom{7}{3}F(8)+\binom{7}{4}F(6)-\binom{7}{5}F(4)+\binom{7}{6}F(2)$
3)...$F(1010)=F(2020)-\binom{1010}{1}F(2018)+\binom{1010}{2}F(2016)-\binom{1010}{3}F(2014)+...+\binom{1010}{1008}F(4)-\binom{1010}{1009}F(2)$
เป็นต้น...
หรือเขียนเป็นสมการทวินามฟิโบนัชชีคือ...

ทวินามลู่เข้าของเลข...fibonucci
 

ลองพิจารณาซี่รี่ย์...
$$\sum_{n = 0}^{\infty} (2^{1/2-n})\binom{1/2}{n}F(n)$$
หรือ...
$$2^\frac{1}{2}\binom{\frac{1}{2}}{0} F(0)+2^{(-\frac{1}{2})}\binom{\frac{1}{2}}{1} F(1)+2^{(-\frac{3}{2})}\binom{\frac{1}{2}}{2} F(2)+2^{(-\frac{5}{2})}\binom{\frac{1}{2}}{3} F(3)+...$$
ลู่เข้ามั้ย?...
ถ้าใช้หลักการกระจายทวินามของเลขฟิโบนัชชี...
ผลรวมนี้จะลู่เข้าอัตราส่วนของฟังก์ชันtanของมุม$\pi/10$...
หรือเขียนสมการทวินามฟิโบนัชชี...
$$(2+f)^{\frac{1}{2}}=tan\frac{\pi}{10}$$
โดยที่...$F(n)คือเลขฟิโบนัชชี...,f^n=F(n)$
$\binom{\frac{1}{2}}{n} =\frac{(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n+1)}{n!}$

...อัตราส่วนพายในรูปของอัตราส่วนทองคำ
$$\frac{\pi }{10} =( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{3} ( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{\frac{3}{2} }+\frac{1}{5}( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{\frac{5}{2}} -...+(-1)^{n+1}(\frac{1}{2n-1})( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{(n-\frac{1}{2})}$$
หรือ...
$$\frac{\pi}{10}=\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n+1}(\frac{1}{2n-1})( \frac{2\varphi -3}{2\varphi -1} )^{(n-\frac{1}{2})}$$
...โดย
$\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

ผลรวมทวินามของความสัมพันธ์เชิงเส้นแบบเลขคณิต

...เช่นถ้า...$a_n=2n+1$
หรือเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น...$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2},โดยที่...a_0=1,a_1=3$
หรือ...$a_n...คือลำดับเลขคณิตที่มีพจน์ทั่วไปเท่ากับ...2n+1$
...ผลรวมทวินามของความสัมพันธ์นี้ตั้งแต่...$a_0...จนถึง...a_{2n}$...เขียนแทนได้เป็น...
$$\binom{2n}{0}a_0+\binom{2n}{1}a_1+\binom{2n}{2}a_2+...+\binom{2n}{2n-1}a_{(2n-1)}+\binom{2n}{2n}a_{(2n)}$$
และจะมีค่าเท่ากับ...$(2n+1)(4^n)$
หรือเขียนได้เป็น...
$$\sum_{k = 0}^{2n}\binom{2n}{k}(2k+1)=(2n+1)(4^n)$$
หรือเขียนเป็นสมการทวินามเลขคณิตได้...
$$(1+a)^{2n}=(4a)^n$$
...โดย...$a^n=a_n$,$(4a)^n=(4^n)(a_n)$

ทวินามของความสัมพันธ์เชิงเส้น

เช่นที่...$a_n$...มีความสัมพันธ์เชิงเส้นแบบ...$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},เริ่มที่ a_0 และ a_1$$ทวินามของความสัมพันธ์...$a_n$...เขียนแทนด้วย$(1+a)^n$...มีความหมายคือ
$$\binom{n}{0}a_0+\binom{n}{1}a_1+\binom{n}{2}a_2+...+\binom{n}{n-1}a_{n-1}+\binom{n}{n}a_n$$จะยังคงมีความสัมพันธ์เชิงเส้นที่สัมพันธ์กับ...$a_n$...เขียนแทนด้วย
$$b_n=(\alpha+2)b_{n-1}+(\beta-\alpha-1)b_{n-2},เริ่มที่b_0=a_0 และ b_1=a_0+a_1$$หรือเขียนเป็นสมการทวินามเชิงเส้น...
$$(1+a)^n=b^n$$โดย...$a^n=a_n,b^n=b_n$
และ... $a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},a_0และa_1$
แล้ว... $b_n=(\alpha+2)b_{n-1}+(\beta-\alpha-1)b_{n-2},b_0=a_0และb_1=a_0+a_1$