ข้อสอบสพฐ.รอบ2 ปี2554
 

กำหนด $P(x)$ มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ3
ถ้า$P(x) ถูกหารด้วย x-1 เหลือเศษ 1 ,ถูกหารด้วย x-2 เหลือเศษ 2 ,ถูกหารด้วย x-3 เหลือเศษ 3$
$แล้ว P(x) ถูกหารด้วย (x-1)(x-2)(x-3) เหลือเศษเท่าใด$
ขอวิธีทำด้วยนะครับ:please:

เอา มาเพิ่มให้ครับ
1.จงหาว่ามีตัวประกอบของ $10!$ มีกี่จำนวน
2.$N=52^2+51^-50^-49^+...+4^3+3^2-2^2-1^2$ เเล้ว $N$ มีตัวประกอบเท่าใด
xx.จงหาเศษจากการหาร $x^2010-x^2009+(x+2)^2$ ด้วย $x^2-1$

รวบรวมโจทย์ครับ (จากข้างบนด้วย)

1.จงหาค่าต่ำสุดของ

$6x^2 +10xy -x+8y +13y^2 +\frac{33}{4}$


2. จากภาพ $AC$ ยาว $4x$ $CF$ ยาว $x$ สามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยมมุมฉาก $DEF$ ถ้าพื้นที่ส่วนที่แรเงา : พื้นที่สี่เหลี่ยมผื้นผ้าเป็น $a:b$ แล้ว จงหา $a+b$

3. วงกลมวงหนึ่ง มี เส้นผ่านศูนย์กลาง $AB$ ตัดกับ เส้นผ่านศูนย์กลาง $CD$ เป็นมุมฉาก ลากเส้นตรง $DE$ ตัด $AB$ ที่ $F$และตัดวงกลมที่ $E$ โดย $DF$ ยาว $8$ หน่วย $FE$ ยาว $4$ หน่วย จงหาพื้นที่วงกลม (ตอบติดค่า $\pi$)

4. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนโชคดีโดยมีเงื่อนไขว่า
• เลขโดดของ $n$ ต้องเป็นตัวประกอบของ $48$
• $n$ เป็นเลขที่มี $4$ หลัก (อาจซ้ำกันได้)
• $n$ เป็นพหุคูณของ $4$
• เลขโดดของ $n$ รวมกันได้ 20
จงหาจำนวนโชคดีที่มีค่าน้อยที่สุด

5. กำหนด $n$ เป็นจำนวนที่มีค่าระหว่าง $6 - 20$ และ $n^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหามัธยฐานของค่า $n$ ที่เป็นไปได้

6. $n$ เป็นจำนวนจริง และ $2n$ มีตัวประกอบ $28$ ตัว ,$3n$ มีตัวประกอบ $30$ ตัว แล้ว $6n$ จะมีตัวประกอบกี่ตัว

7. $xyz =1$
$x+\frac{1}{z} = 36$
$y+\frac{1}{x} = 81$
จงหา z

8. จำนวนที่หารด้วย $2$ ลงตัว แต่หารด้วย $3$ ไม่ลงตัว ที่มีค่าระหว่าง $2 - 1000$ มีกี่จำนวน

9. มีตู้อยู่จำนวนหนึ่ง โดย แต่ละตู้ จะมีป้ายกำกับเลขบอกเริ่มจากเลข $1 ($ ป้ายมีเลข $0,1,2,3,...,9$ และ ถ้าหากเป็นเลขมากกว่า1หลัก เช่น $12$ จะเป็นป้าย เลข $1$ และ เลข $2)$ โดยป้ายแต่ละแผ่นจะมีราคา $2$ บาท ถ้าหากว่า เสียเงินค่าป้ายทั้งหมด $8306$ บาท แล้ว ถามว่า มีตู้ทั้งหมดเท่าไร
(ขออภัย แก้ตัวเลขจาก 8106 เป็น 8306 (ตามข้อสอบ))


10. จากรูป กำหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ โดยมี $DE=EB=6$ และ มุม $CDE =$ มุม $CBE = 60$องศา และพื้นที่สี่เหลี่ยม $ABCD$ มีค่าเท่ากับ
$a+b\sqrt{3}$ แล้ว จงหาค่าของ $a+b$


11. จงหาค่าของ
$$(\frac{2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000}}{2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000}})^2 +(\frac{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+3^{-4}+...+3^{-3000}}{3^{-1}-3^{-2}+3^{-3}-3^{-4}+...-3^{-3000}})^3$$

12. จงหาว่า จำนวนที่อยู่ระหว่าง $1-1000$ สามารถเขียนเป็นที่อยู่ในรูป $n^2 , n^3$ ได้ โดย $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก มีกี่จำนวน

13. มีจำนวนนับ n กี่จำนวน ซึ่งทำให้ $n^3+2n^2-7n+72$ หารด้วย $n+3$ ลงตัว

14. กำหนด $a,b,c,x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$(a+2543)(b-2543)(c+2543)+(x-2543)(y+2543)(z-2543) = 1$
$(a+2544)(b-2544)(c+2544)+(x-2544)(y+2544)(z-2544) = 10$
$(a+2545)(b-2545)(c+2545)+(x-2545)(y+2545)(z-2545) = 100$
แล้ว $(a+2554)(b-2554)(c+2554)+(x-2554)(y+2554)(z-2554)+1000$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

15. สี่เหลี่ยมจัตุรัสเส้นทแยงมุมยาว $14\sqrt{2}$ หน่วย แนบในครึ่งวงกลม แต่ละจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่บนเส้นรอบวงหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้าพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น $\frac{a}{b}$ เท่าของพื้นที่ในครึ่งวงกลมนอกสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรม. $a , b = 1$ แล้ว $|a-b|$ มีค่าเท่าไร (ใช้ $\pi$ = $\frac{22}{7}$)

16. สร้างเลข $4$ หลัก จากเลขโดด $1,2,3,4,5,6,7,8$ โดยแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จำนวนที่หาร $9$ ลงตัว มีกี่จำนวน

17. จงหาว่า $10!$ มีตัวประกอบที่เป็นบวกทั้งหมดกี่ตัว

18. $N = 52^2+51^2-50^2-49^2+...+4^2+3^2-2^2-1^2$ แล้ว $N$ มีตัวประกอบที่เป็นบวกกี่ตัว

19. จงหารเศษจากการหาร $x^{2010}-x^{2009}+(x+2)^2$ ด้วย $x^2-1$

20. กำหนด พหุนาม $P(x)$ มีดรีกรี $n$ เมื่อ $n \geqslant 3$ ถ้า
$P(x)$ หารด้วย $(x-1)$ เหลือเศษ $1$
$P(x)$ หารด้วย $(x-2)$ เหลือเศษ $2$
$P(x)$ หารด้วย $(x-3)$ เหลือเศษ $3$ แล้ว
$P(x)$ หารด้วย $(x-1)(x-2)(x-3)$ จะเหลือเศษเท่าใด


(เส้นของรอบวงของครึ่งวงกลม(ตรงกลาง)ผ่านจุดศูนย์กลางทั้งครึ่งวงกลมซ้ายและขวานะครับ ลืมเขียน)
21. จากรูป ครึ่งวงกลมสัมผัสกัน และมีวงกลมวงเล็กสัมผัสทั้ง3จุด ดังรูป ถ้าครึ่งวงกลมมีรัศมี $R$ วงกลมวงเล็กมีรัศมี r แล้ว $R$ เป็นกี่เท่าของ $r$

22.กำหนด $P(x)=a(x-3)^2+bx+1$ และ $Q(x)=2x^2+c(x-3)+10$ ถ้า $P(x)=Q(x)$ เป็นจริงทุกจำนวนจริง x แล้ว a+b+c มีค่าเท่าไหร่

23. $2xy−5x+y=55$ จงหาจำนวนของคู่อันดับ $(x,y)$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็ม

24. m มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกกี่จำนวน ถ้า
$m^2$ มีตัวประกอบ 35 จำนวน
$m$มีตัวประกอบเฉพาะเพียง 2 จำนวน


25. กำหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 64 ตารางหน่วย และมุม 2 มุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสัมผัสวงกลม และวงกลมสัมผัสด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านหนึ่ง ดังรูป จงหารัศมีวงกลม

26. จุด $P$ เป็นจุดวกกลับของพาราโบลา $y=-x^2+12x-38$ และ $O$ เป็นจุดกำเนิด จงหา $|\overline{PO}|^2$


27. กำหนดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปเท่ากันทุกประการ ความยาวด้านของสามเหลี่ยมมีค่า 4 หน่วย ลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดสีแดงสองจุดแล้ว หาความยาวเส้นนี้ได้ $\sqrt{x}$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าไร

28. ถ้า $(x+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})=(x+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$
จงหาค่าของ $5x^{2}+3$

ขอขอบคุณทุกท่าน ที่ช่วยแสดงความคิดเห็น จนกระทั่งได้โจทย์ ครบ 28 ข้อครับ :)

ข้อนี้ผมตอบ $X$ วิธีทำไม่ค่อยมีหลักการครับ ให้คนอื่นเฉลยดีกว่า:)
1.ได้ 270 ตัวครับ
2.ได้ 32 จำนวนครับ
3.ผมตอบ $X^2$ ผิดแน่ๆ TT'
ได้แต่ข้อ 2 ได้ 1:2 ดังนั้น 1+2= 3 ครับ

ส่วนวิธีทำ เดี๋ยวมาโพสต์ครับ อีกสักครู่:haha:

ตอบ 1112 ป่าวคับ

เอ่อ มันต้องบวกกันได้20ด้วยไม่ใช่หรอครับ
ผมตอบ2288

5.ไล่เอาครับ มีวิธีอื่นไหม ตอบ 14 ป่าวครับ

จงหาเศษจากการหาร $x^{2010} − x^{2009} + (x+2)^2 ด้วย x^2 − 1$

ข้อนี้ให้ดึง $x^{2009}$ ออก

จะได้ $x^{2009} (x-1) + (x+2)^2$

$x^{2009} (x-1) หารด้วย x^2 − 1 = x^{2009} หารด้วย x+1 $

$ = x^{2008} - x^{2007}+.... + x^2 - x เศษ x $

$(x+2)^2 หารด้วย x^2 − 1 = 1 เศษ 4x + 5$

$จะกลายเป็น x^{2008} - x^{2007}+.... + x^2 - x + \frac{x}{x+1} + 1 + [\frac{4x + 5}{x^2 - 1}]$

$x^{2008} - x^{2007}+.... + x^2 - x + 1 + (\frac{3x+6}{x^2 - 1})$

$เศษ = 3x+6$

1388 ได้ไหมครับ

3. วงกลมวงหนึ่ง มี เส้นผ่านศูนย์กลาง AB ตัดกับ เส้นผ่านศูนย์กลาง CD เป็นมุมฉาก ลากเส้นตรง DE ตัด AB ที่ F โดย DF ยาว 8 หน่วย FE ยาว 4 หน่วย จงหาพื้นที่วงกลม (ตอบติดค่า π )

ผมได้ 48π

1388ยังน้อยกว่าไม่ใช่หรือครับ

ขออภัยครับ บวกผิด :haha: แก้แล้วครับ 1388ๆ

ผมได้เท่ากันครับ

จน.หาร 2 ลงตัว(ยกเว้น 2 กับ 1000) - จน.หาร 6 ลงตัว


500 - 2 - 166

= 322 (ผิดตรงไหนชี้แนะด้วยคับ)

เอ่อแ จริงครับ สงสัยตอนทำผมหลับ แหะๆขอโทษครับ:cry::please::cry::please::cry::please:

1. $10!=2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10$
$=2\times3\times(2^2)\times5\times(2\times3)\times7\times(2^3)\times(3^2)\times(2\times5)$
$=2^8\times3^4\times5^2\times7^1$
ตัวประกอบที่เป็นบวกคือเลขยกกำลังของตัวประกอบเฉพาะ +1 แล้วคูณกันครับ(ที่มาเดี๋ยวค่อยบอก อิอิ)
ดังนั้น $(8+1)(4+1)(2+1)(1+1)=9\times5\times32= 270 $ ตัวครับ

$N= 52^2 + 51^2 − 50^2 − 49^2 + ... + 4^2 + 3^2 − 2^2 − 1^2 เเล้ว N มีตัวประกอบเท่าใด$

$N = 52^2 − 50^2 + 51^2 − 49^2 + ... + 4^2 − 2^2 + 3^2 − 1^2$

$= (102)(2) + (100)(2) + ... + (6)(2) + (4)(2)$

$= 2 [ 102 + 100 + 94 + 92 + .... + 6 + 4 ]$

$= 2 [ (100)(2) + 2 + (92)(2) + 2 + ... + (4)(2) + 2 ]$

$= 4 [ 100 + 92 + ... + 4 + 13]$ (ปล. 13 มาจาก จำนวนพจน์ตั้งแต่ 4,12, ... , 100)

$= 4 [ \frac{104(13)}{2} + 13 ]$

$= 4 [676+13]$

$= 4 [689]$

$= 2^2 \times 13^1 \times 53^1$

$N มีตัวประกอบ = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 จำนวน$

ดูให้หน่อยครับว่าผิดตรงไหน ได้ไม่เท่ากัน

รีบร้อนไปครับ

Anart(อนาถครับ) ผิดเกินครึ่งแล้ว:)

คุณ XCapTaiNX เต็มแน่ๆเลยคับ

$2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000} = 2^{-1} (1 + 2^{-1}) + 2^{-3} (1 + 2^{-1}) + ... + 2^{-2009} (1 + 2^{-1})$

$= (1 + 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})$

$2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000} = 2^{-1} (1 - 2^{-1}) + 2^{-3} (1 - 2^{-1}) + ... + 2^{-2009} (1 - 2^{-1})$

$= (1 - 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})$

$\therefore$ $\frac{2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000}}{2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000}} = \frac{(1 + 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})}{(1 - 2^{-1}) (2^{-1} + 2^{-3} + ... + 2^{-2009})}$

$= \frac{1 + 2^{-1}}{1 - 2^{-1}}$

ในทำนองเดียวกัน

$(\frac{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+3^{-4}+...+3^{-3000}}{3^{-1}-3^{-2}+3^{-3}-3^{-4}+...-3^{-3000}}) = \frac{1 + 3^{-1}}{1 - 3^{-1}}$

$\therefore$ $(\frac{2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+...+2^{-2000}}{2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}-2^{-4}+...-2^{-2000}})^2 +(\frac{3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+3^{-4}+...+3^{-3000}}{3^{-1}-3^{-2}+3^{-3}-3^{-4}+...-3^{-3000}})^3$ = $(\frac{1 + 2^{-1}}{1 - 2^{-1}})^2$ + $(\frac{1 + 3^{-1}}{1 - 3^{-1}})^3$

$= 3^2 \times 2^3$

$= 17$

เห็นด้วยอย่างยิ่งครับ
ผมมาเช็กอีกที สะเพร่าไป 10ข้อละ
:cry:
สงสัยนอนไม่พอ :sweat:

ไม่หรอกครับ ผิดไป 9 แล้วครับ :haha:

ข้อที่
2xy-5x+2y=55ให้หา(x,y)มีกี่ชุดนี่ทำไงอะครับ:please:

(x,y) เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็มบวกคะ ?

ใช่ครับช่วยhintให้ก่อนก็ได้ครับยังไม่ต้องเฉลย

ข้อที่ 10 หาพื้นที่ได้ $18(2+sqrt3)$

ใครก็ได้ช่วยแสดงวิธีทำข้อที่ผมโพสไปหน่อยครับ:cry:

จากรูป วงกลมทั้ง 3 สมผัสซึ่งกันและกัน และสัมผัสครึ่งวงกลมดังรูป ถ้าครึ่งวงกลมมีรัศมี R และ วงกลมวงเล็กที่สุด มีรัศมี r แล้ว จงหาค่า R:r

ช่วยแสดงที่มาให้ผมดูหน่อยได้มั้ยครับ ผมคิดไม่ออก:please::please:

ใช้ตรีโกณนิครับ

มันจะได้ด้าน ละ $3+3\sqrt{3}$

ยกกำลังสองก็ได้

$36 + 18\sqrt{3}$

โจทย์ใช่หยั่งงี้จริงๆหรือครับ ผมคุ้นๆว่าเปน $2xy-5x+y=55$
แต่ถ้าของคุณ {([Son'car])} ถูก มันจะแยกได้เปน$(2y-5)(x+1)=50=1x50=5x10=25x2$
ถ้า x,y เป็นจน.เต็มบวกนะครับ
ผิดตรงไหนบอกด้วยครับ:blood:

ผมจำโจทย์ข้อนี้ได้คร่าวๆอ่ะครับ
จำนวน 2n มีตัวประกอบ 28 จำนวน และ 3n มีตัวประกอบ 30 จำนวน แล้ว 6n มีตัวประกอบกี่จำนวน
มั้ยผมไม่แน่ใจนะครับ

ข้อนี้ผมตอบ 4 ไม่รู้จะถูกรึเปล่า :unsure: (ไม่ทราบว่าโจทย์ถามว่ากี่เท่าไม่ใช่หรือครับ)

อยากทราบว่าโจทย์ข้อนี้ถามว่าอะไรคะ แล้วคำตอบคือเท่าไหร่ คิดได้ 54 แต่ไม่รู้ว่าอ่านโจทย์ผิดหรือเปล่า

ถามพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมครับ

เค้าให้เป็น a+bรู้ด3 แล้วให้เอา a ทำไรซักอย่างกับ b รึเปล่าจำไม่ได้

ข้อที่หนึ่งใครคิดออกบ้างครับ ช่วยแสดงให้ทีครับ:please::please::please:

ถามว่า a+b เท่ากับเท่าไหร่ค่ะ

กรรม งั้นผมพลาดเองครับ TT น่าจะนะครับ