สอวน.2550มาแล้วจ้า 555+
 

1.จงหาจำนวนเดือนในปี พ.ศ. 2550 ซึ่งวันที่ 13 ของเดือนนั้นเป็นวันศุกร์(กำหนดให้วันที่ 1 ม.ค. 2550 เป็นวันจันทร์)

2.จงหาจำนวนนับ $n>2$ ที่น้อยที่สุดซึ่ง $\dfrac{n-2}{n^2+13}$ ไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

3.ให้ $f,g$ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย $f(n)=n^3$ และ $g(n)=f(n+1)-f(n)$ จงหาค่าของ
$$\frac{1}{10}(g(0)+g(1)+g(2)+...+g(9))$$

4.ให้ $N=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots+20\cdot 20!$ จงหาผลบวกของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เป็นตัวประกอบของ $N+1$

5.ให้ $n\in\mathbb{N}$ กำหนด $s(n)$ แทนผลบวกของเลขโดดทั้งหมด ของ $n$ จงหาผลบวกของจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข $$n-s(n)=666$$

6.กำหนดประพจน์ "มีจำนวนนับ $n$ ซึ่งสำหรับทุก $i\in \left\{0,1,2,3,...,9\,\right\}$ $n$ มีตัวหารที่มีหลักหน่วยเป็น $i$ "
จงหาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ ประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง

7. จงหาจำนวนนับ $n$ ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังนี้
(1) $n\leq 50000$
(2) ในบรรดาจำนวนตั้งแต่ 2 ถึง 13 มีเพียง 2 จำนวนที่เรียงติดกันเท่านั้น ที่หาร $n$ ไม่ลงตัว

8.ให้ $P(n)=$ผลคูณของตัวประกอบที่เป็นบวกของ $n$ สำหรับ $n\in\mathbb{N}$ จงหาจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดซึ่ง $P(n)=n^{10}$

9.ให้ $m,n\in\mathbb{N}$ สอดคล้องเงื่อนไข $$\frac{19}{94}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$$
จงหา $m+n$

10.ให้ $N$ เป็นจำนวนนับ กำหนด $$d(N)=\textrm{เซตของเลขโดดที่แทนด้วย}\ N$$ เช่น $d(12345)=\left\{1,2,3,4,5\,\right\},\ d(10110)= \left\{0,1\,\right\} ,d(22222)=\left\{2\,\right\} $
จงหาจำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
(1) $10000<N<99999$
(2) $10000<2N<99999$
(3) $d(N)\cup d(2N)=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\,\right\} $

นี่คือข้อสอบตอนแรกครับ ส่วนอีกตอนจะนำมาลงให้ ทีหลังครับ:happy:

ข้อ 3 (รู้สึกจะง่ายสุด)

$$\because g(1)+g(2)+g(3)+...+g(9)=f(10)-f(0)=10^3-0=1000$$
$$\therefore \frac{1}{10}(g(1)+g(2)+g(3)+...+g(9))=100 $$

ข้อ 8 เห็นได้ชัดว่า 1

ขอบคุณสำหรับข้อสอบที่พิมพ์นะครับ :great: ... 10 ข้อแรก ดูผ่านตาแล้วมีแต่ทฤษฎีจำนวนเกือบหมดเลย :huh:

ข้อ 1.
ตอบ 2 ครับ จากการนั่งถึกแบบมีหลักการ
ข้อ 2.
น่าจะ 19 นะครับ
ข้อ 5.
ตอบ 6854 มั้งครับ
ข้อ 7. หาได้แต่ดัน 13 หารไม่ลง
ที่ได้คือ 11880
ข้อ 8.
ตอบ 1
ข้อ 10
ตอบ 48615

อยากรู้ข้อ 4 ,6 ,9 ทำไงอ่าครับ
พี่เก่งๆบอกทีครับ

นี่ข้อ 14 นะครับงงมากเลย
$(sin^2 10องศา)+(sin^2 20องศา)+(sin^2 30องศา)+...+(sin^2 180องศา)
$เนี้ยครับเห็นเพื่อนบอกว่ามีสูตรอ่าครับ

ผมคิดได้
ข้อ 1 ตอบ 2
ข้อ 2 ตอบ 19
ข้อ 3 ตอบ 100
ข้อ 4 ตอบ 77
ข้อ 5 ตอบ 6845
ข้อ 6 ตอบ 540
ข้อ 7 ตอบ 25740
ข้อ 8 ตอบ 1
ไม่รู้ถูกป่ะอ่ะนะครับ

ต่อไปเป็นตอนที่ 2ครับ(เป็นตอนที่มีแต่พีชคณิต:yum: )

11. ให้ x เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $$2^{16^x}=16^{2^x}$$ จงหาค่าของ $3x$

12.ให้ $a,b\in\mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับสมการ $a+b=1$ และ $a^3+b^3=4$ จงหาค่าของ $a^4+b^4$

13.จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน f ที่กำหนดโดย $$f(x)=(x-3)^2+(x-5)^2+(x-7)^2+(x-9)^2-(x-4)^2-(x-8)^2$$

14.จงหาค่าของ $$\sin^2 10^{\circ}+\sin^2 20^{\circ}+\sin^2 30^{\circ}+...+\sin^2 180^{\circ}$$

15. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$$\begin{eqnarray}
x+y+\sqrt{x+y}&=&72\\
x-y-\sqrt{x-y}&=&30\\
\end{eqnarray}$$
จงหาค่าของ $\sqrt{x^2-y^2}$

16.ให้ $x$ เป็นจำนวนจริง กำหนด $[x]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า x และให้ $\{x\}=x-[x]$
ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย $$f(x)=\left\{\dfrac{5x}{2}\,\right\}$$ และ $$X=\left\{x\in \left[0,1\,\right]\vert f(f(f(x)))=0 \,\right\}$$ จงหาจำนวนสมาชิกของ $X$

17. จงหา $(x,y)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$$\begin{eqnarray}
\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y^2}&=&12\\
\dfrac{3}{x}+\dfrac{7}{y^2}&=&22\\
\end{eqnarray}$$

18.ให้ $x,y\in\mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับสมการ $$(4x^2+6x+4)(4y^2-12y+25)=28$$
จงหาค่าของ $2y-4x$

19.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
$$\begin{eqnarray}
x+y+xy&=&8\\
y+z+yz&=&15\\
z+x+zx&=&35\\
\end{eqnarray}$$ จงหาค่าของ $x+y+z+xyz$

20. ให้ $a>0$ เป็นรากที่เป็นบวกของสมการ $$x=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}$$
จงหาจำนวนเต็มบนเส้นจำนวนซึ่งอยู่ใกล้ $a$ มากที่สุด

Edited by mod: ไปดูโจทย์สิบข้อสุดท้ายได้ในหน้านี้ครับ

ชุดใหม่นี่ผมได้
ข้อ 11 ตอบ 2
ข้อ 12 ตอบ 7
ข้อ 13 ตอบ 12
ข้อ 14 ตอบ 9
ข้อ 15 ตอบ 48
ข้อ 16 ตอบ 1 <<อันนี้ค่อนข้างมั่ว- -*
ข้อ 17 ตอบ (-0.5,0.5),(-0.5,-0.5)
ข้อ 19 ตอบ 36
ข้อ 20 ตอบ 2
ปล.ข้อที่เว้นไปคือไม่มีปัญญาทำครับ

4.จับความสัมพันธ์
$$1\bullet 1!=1=2!-1$$
$$1\bullet 1!+2\bullet 2!=5=3!-1$$
$$1\bullet 1!+2\bullet 2!+3\bullet 3!=23=4!-1$$
เพราะฉะนั้น สามารถสรุปได้เลยว่า $$1\bullet 1!+2\bullet 2!+...+20\bullet 20!=21!-1$$
จึงได้ว่าผลบวกของจำนวนเฉพาะที่ต้องการก็คือผลบวกของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า21 ซึ่งเท่ากับ 77#
9. $\dfrac{19}{94}=\dfrac{5\bullet 19}{5\bullet 94}=\dfrac{95}{470}$
$\therefore \dfrac{95}{470}=\dfrac{94}{470}+\dfrac{1}{470}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{470}$#:happy:

ได้สักกี่ข้อถึงจะผ่านอ่ะครับ ผมอยากได้เฉลยหมดเลยครับ ขอบคุณมากครับ

ส่วนตอนที่ 3 เครื่องPRINT ผมเป็นอะไรก็ไม่รู้มันสแกนไม่ได้ ใครช่วยนำมาลงแทนทีครับ
21. 3(มั่ว)
22.8(มั่ว)
23.900
24.$3\sqrt{3}$
25.$86^{\circ}$
26.$\dfrac{60}{7}$
27.$20^{\circ}$
28.$69^{\circ}$
29.$\dfrac{9}{5}$
30.$\dfrac{8}{3}$ เท่า ใครก็ได้เช็คให้ทีครับความหวังสุดท้ายของผมแล้ว:cry: :please:

ผมว่า
ข้อ21.ตอบ3.5
ข้อ23.ตอบ600
นะครับ
ดูหน่อยนะครับ

ขอแก้ให้คุณ ทาทาริด้วยนะครับ ข้อ 23 ต้องตอบ 600 ครับ แต่ผมไปตอบ 1200 พ.ท. สามหลียมผมลืมหาร 2 ง่ะ

ขอรบกวนช่วยแสดงวิธีให้ผมดูหน่อยได้ใหมครับ เพราะผมทำผมได้ -44:please:

เฉลยทีค่อนข้างเชื่อถือได้นะครับ
1.$2$ เดือน
2.$19$
3.$100$
4.$77$
5.$6845$
6.$2520$
7.$25740$
8.$1$
9.$475$
10.ใครมั่นใจมาแบ่งๆกันที
11.$2$
12.$7$ **ขอบคุณคุณkild13 มากครับ ผมทดเลขผิด
13.$12$
14.$9$
15.$48$
16. - -*
17.$(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5)$
18.$6$
19.มะชัวร์
20.$2$
21. ....
22.$8$
23.$600$
24.$6$ (เช็คทีครับ)
25. ยิ่งทำสมการยิ่งมั่ว - -
26. ม่ายแน่ใจ
27.$20$
28.$69$
29.$\frac{5}{3} $ (เช็คด้วยงับ)
30.$\frac{8}{3} $ อันนี้รับรองว่าถูก

อันไหนไม่ตรงก้อลองมาเฉลยๆกานหน่อยน่ะงับ

ผมว่าปีนี้มันยากกว่าปีที่แล้วหน่อยๆนะ ใครเห็นด้วยมั่งครับ

เอ่ออันนี้ผมแทน x=6 ลงไปดื้อๆเลยอ่ะครับ แต่ผมเช็คกับโปรแกรมวาดกราฟแล้วผมก็ถูกนะ -44 นี่ x= เท่าไหร่ครับ

เอ่อข้อ 12 ตอบ 31 นี่คิดไงอ่ะครับ ผมได้แค่ 7
ส่วนข้อ 29 นี่ผมคิดได้ 2.8 อ่ะ มั่วๆเหมือนกัน

ปีนี้ผมว่ายากกว่าปีที่แล้วนิดหน่อย ตอนนี้ผมเหลืออยู่ 21 คะแนน เด่วก็คงร่อยหลอลงไปอีก- -*

ผมเห็นด้วยอย่างยิ่งครับ ตอนนี้ คะแนนผมจากเดิมควรจะได้ 25 คะแนน ตอนนี้เหลือ 17 คะแนนแล้ว(เครียด:blood: )

ขอโทษด้วยครับผมคิดเลขผิดเอง (เสียไปอีกแล้ว 1 คะแนน:aah: :blood: )

ข้อนี้ใช้การจัดรูปแล้วก็ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเล็กน้อยครับ
จาก สมการ $sin^2 10 + sin^2 20 + ... + sin^2 180 $
เพราะว่า $sin(90+\theta )=cos\theta $

ดังนั้นจะได้สมการใหม่คือ $(sin^2 10 + cos^2 10)+...+(sin^2 90 + cos^2 90)$ (มีทั้งหมด 9 คู่)
เนื่องจาก $sin^2\theta + cos^2\theta =1$
เพราะฉะนั้น $sin^2 10 + sin^2 20 + ... + sin^2 180 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9$

เอ้อ ข้อ 10 ใครมีหลักการคิดมั่งครับ ตอนนี้ผมนั่งคิดแบบสุดๆแล้วได้ 13485 ใครมีน้อยกว่านี้อีกไหมครับ

ข้อ 6 นี่ผมว่า 540 อ่ะน้อยสุดละใครมีน้อยกว่านี้มั่งครับ บางคนอาจจะคิดว่าหาร8ไม่ลง แต่มันหาร 18 ลง- -*(ข้อนี้ผมก็ผิด รุ่นน้องผมบอกมา:( )

ก็แทน x เป็น 6 ครับ
จะได้ (3^2)+(1^2)+(1^2)+(3^2)-(2^2)-(2^2)
= 9+1+1+9-4-4
=12ครับ

ยิ่งมาช่วยกันเฉลย กลายเป็นคะแนนยิ่งน้อยลง เก็บไว้ลุ้นจันทร์หน้ากันดีก่าครับ 555+

ปล. จาก 20(ชัวร์) เหลือ 18 T T:died:

ข้อ 29 นี่ผมเห็นตอบไม่ตรงกันสักท่านเลย ลองมาเสนอวิธีทำของแต่ละคนกันดูหน่อยไหมครับช่วยกันเช็ค
อันนี้ของผมนะครับ
จากโจทย์ BD=5 นิ้ว AD=12 นิ้ว จากพีทาโกรัสได้ AB=13 นิ้ว
พิจารณาสามเหลี่ยม ABD ~ สามเหลี่ยม BAC ~สามเหลี่ยมADC
ได้ CD = 144/5 นิ้ว AC= 156/5 นิ้ว
จากทฤษฏีรัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม=2พท.สามเหลี่ยมหารด้วยความยาวเส้นรอบรูป
ผมได้รัศมีวงกลมซ้าย r = 12x5 /30 = 2 นิ้ว
รัศมีวงกลมขวา r=(12x144/5)/72 = 4.8
EF เท่ากับรัศมีวงขวาลบรัศมีวงกลมซ้าย = 4.8-2 =2.8 นิ้ว ผมคิดผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ

ประกาศผลวันไหนหรอคับ

^
^
ประกาศผล จันทร์ที่ 17 กันยา ครับอีกแค่ 8 วัน
อ้อข้อ 30 คิดไงอ่ะครับ ผมไม่รู้จริงๆT_T

25. (ดูรูปในข้อสอบประกอบ) ให้ $\angle BAC=2\alpha,\angle ABC=2\beta,\angle BCA=2\gamma $
จะได้ว่า $2\alpha+2\beta+2\gamma=180^{\circ}\rightarrow \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}\rightarrow \beta+\gamma=90^{\circ}-\alpha$
จะได้ว่า $\angle BOC=180^{\circ}-\beta-\gamma$ (ในรูปสามเหลี่ยม BOC)
จาก $\angle BOC=\angle DOE$(มุมตรงข้าม) $\therefore\angle DOE=180^{\circ}-\beta-\gamma$
พิจารณา สี่เหลี่ยม AEOD จะได้ว่า $$\angle A+\angle E+\angle O+\angle D=360^{\circ}$$
$$\therefore 2\alpha+65^{\circ}+76^{\circ}+(180^{\circ}-\beta-\gamma)=360^{\circ}$$
$$ 2\alpha+141^{\circ}+180^{\circ}-(\beta+\gamma)=360^{\circ}$$
$$ 2\alpha+141^{\circ}+180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=360^{\circ}$$
$$ 3\alpha+231^{\circ}=360^{\circ}\rightarrow \alpha=43^{\circ}$$
$\therefore \angle BAC=2\alpha=86^{\circ}$#

ข้อ 18 นะครับ
จาก $(4x^2+6x+4)(4y^2-12y+25)=28$
จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ จะได้

$16(x^2+\frac{3}{2} x+1)(y^2-3y+\frac{25}{4} )=28$

$16((x+\frac{3}{4} )^2+\frac{7}{16} )((y-\frac{3}{2} )^2+4)=28$

$(16(x+\frac{3}{4} )^2+7)((y-\frac{3}{2} )^2+4)=28$

เห็นได้ชัดว่า สมการเป็นจริง เมื่อ $x+\frac{3}{4} =0 และ y-\frac{3}{2} =0$
เพราะฉะนั้น $x=-\frac{3}{4} และ y=\frac{3}{2} $
ดังนั้น $2y-4x = 3-(-3) = 6$

30.(ดูรูปประกอบในข้อสอบ) ให้$[ABCD]=a$ ต่อ AC,BD และ BF จะได้ว่า $[ADB]=[BDC]=\frac{a}{2}$
จะได้ว่า $\dfrac{[FBC]}{[BCD]}=\frac{1}{2}\rightarrow [FBC]=\frac{a}{4}$
ในทำนองเดียวกัน $\dfrac{[CEF]}{[FBC]}=\frac{1}{2}\rightarrow [CEF]=\frac{a}{8}$
จาก $\dfrac{[ADF]}{[ADC]}=\frac{1}{2}\rightarrow [ADF]=\frac{a}{4}$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $[ABE]=\frac{a}{4}$
$\therefore [AEF]=[ABCD]-[ABE]-[CEF]-[ADF]=a-\frac{a}{4}-\frac{a}{4}-\frac{a}{8}=\frac{3a}{8}$ ฉะนั้น $[ABCD]=\frac{8}{3}[AEF]$#

^
^
อ่ะ ขอบคุณมากครับ อยากเอาหัวกระโดดชนข้างฝา พลาดได้ไงT_T

ตรวจแล้ว ถูก 13 ข้อเองง่ะ จะติดมั้ยเนี่ย T_T

ขอเฉลยบ้างนะครับ
ข้อ 1. 2 เดือน คือ เม.ย. กับ ต.ค.
ข้อ 2. 19
ข้อ 3. 100
ข้อ 4. คือ 2+3+5+7+11+13+17+19 = 77
ข้อ 5. 680+681+...689 = 6845
ข้อ 6. 270
ข้อ 7. 25740
ข้อ 8. 1
ข้อ 9. 475
ข้อ 10. 13485
ข้อ 11. 2
ข้อ 12. 7
ข้อ 13. 12
ข้อ 14. 9
ข้อ 15. 48
ข้อ 16. 1
ข้อ 17. $(-0.5,-0.5), (-0.5, 0.5)$
ข้อ 18. 6
ข้อ 19. $x = 3.5 , y = 1, z = 7$ คำตอบคือ 36
ข้อ 20. 2
ข้อ 21. 3
ข้อ 22. 8
ข้อ 23. 600
ข้อ 24. $3\sqrt{3} $
ข้อ 25. 86 องศา
ข้อ 26. $\frac{60}{7}$
ข้อ 27. 20 องศา
ข้อ 28. 69 องศา
ข้อ 29. 2.8 นิ้ว
ข้อ 30. $\frac{8}{3} $
ถ้าผิดข้อไหนทักท้วงได้เหมือนเดิมครับ

ข้อ17 ครับ
ต้องตอบ $(-0.5,\pm 0.5)$ มะใช่หรอครับ

จากที่ดูแนวโน้วคำตอบมาจนถึงตอนนี้ ผมพอสรุปคะแนนตัวเองได้ละ ผมคงได้ราวๆ 20-21 คะแนน น่าจะผ่านเข้ารอบ รอดูผลจันทร์หน้าต่อไป

ปล.ข้อ 18 ทำไงครับ- -*

ข้อ 21 ต้องตอบ 3 นะครับ ลองแก้สมการดูแล้ว จะได้ AE = 3,-4 แต่เป็น -4 ไม่ได้ เลยต้องตอบ 3 ครับ
เดี๋ยวอธิบายให้ครับ

ขอบคุณครับที่ทักท้วงผมคำนวณผิด มิน่ายังสงสัยอยู่เหมือนกันทำไมตัวเลขทีได้ดูแปลกๆ ผมแก้ให้แล้วครับ


สำรับข้อ 17 ที่คุณ Rossix ทักท้วงนั้นผมแก้ให้แล้วเหมือนกันครับต้องขอโทษด้วยผมพิมพ์ตกค่าลบไป ขอบคุณมากครับ

ไม่ได้มาตอบเพราะยังไม่มีเวลาทดครับ ไว้พอว่างจะัมาช่วยแสดงแนวคิดข้อที่ยังไม่มีแนวคิดครับ

ใครมีข้อสอบส่วนสิบข้อสุดท้าย (เป็นทั้งชุดได้จะดีมาก) และสามารถ
- สแกนแบบขาวดำหรือ gray scale ที่ความละเอียดอย่างน้อย 300 dpi
หรือ
- ถ่ายเป็นไฟล์ภาพ (ไฟล์ jpg แบบไม่ย่อขนาด อย่างน้อย 2M pixel)
แล้วอัพไฟล์ขึ้น free host แล้วโพสต์ลิงค์ที่นี่ จะขอบคุณมากครับ เพราะบางทีดูแต่คำตอบอย่างเดียวโดยไม่มีข้อสอบในมือ หลายคนคงงงว่ากำลังถกอะไรกัน

ข้อ 18 คุณ Rossix เฉลยไปแล้วนี่ครับ:mellow:คุณ Kild13

อ่า โทษทีครับ สงสัยผมเลื่อนลงมาเร็วไปหน่อย เลยไม่ทันเห็น

ความจริงผมอยากสแกนให้นะแต่ไม่รู้เครื่องสแกนเป็นไร กำลังหาทางแก้อยู่:(

อย่างนี้ใช้ได้หรือเปล่าครับ ฝีมือถ่ายภาพผมไม่ค่อยดี นะครับ

ผมลองเอารูปขึ้นให้แล้วครับแต่ไม่ค่อยชัดหวังว่าคงพอดูได้นะครับ

ใช้ได้เลยครับ แม้หน้าปกจะเบลอไปหน่อย แต่เราไม่ใช้หน้าปกอยู่แล้ว ส่วนยี่สิบข้อแรกตามไปดูได้ที่หน้าแรกครับ

ปีนี้ เขารับสักกี่คะแนนอ่ะครับ ผมคาดว่า รับสัก 10.5 คะแนนก็ผ่านแล้วครับ ไม่แน่ใจครับ เพราะ ข้อสอบปีนี้ยากกว่าปี 49 ครับ ปี 49 เขาตัดที่ 13 แต่โจทย์ผิดเลยตัดที่ 12 แทน เหอๆ