Inequality Marathon
 

เห็นกระทู้ Number theory Marathonไปได้สวย อีกอย่างที่นี่คออสมการเยอะ ผมก็เลยขอเปิดอสมการมาราธอนโดยใช้ไอเดียเดียวกันกับกระทู้ Number Theory Marathon โดยที่คำถามจะเป็นอสมการพีชคณิตหรือเรขาคณิตก็ได้ ความยากตั้งแต่ pre olympiad เป็นต้นไป ว่าแล้วก็เริ่มข้อแรกกันดีกว่า

1. จำนวนใดในสองจำนวนนี้มีค่ามากกว่า (000... แทน 0 ยี่สิบห้าตัว)
\[\frac{1000\ldots2+1}{(1000\ldots2)^2+1000\ldots2+1}\qquad
หรือ \qquad\frac{1000\ldots4+1}{(1000\ldots4)^2+1000\ldots4+1} \]

2. $x, y, z$ are positive real numbers such that $x^2+y^2+z^2=3$
Prove that $x+y+z \geq (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2$

ข้อแรกนะครับ
ให้ \(a=10^{25}\) ดังนั้นเราต้องเปรียบเทียบระหว่าง \(\frac{a+3}{a^2+5a+7}\) กับ \(\frac{a+5}{a^2+9a+21}\)
ลองคูณไขว้ดู จะพบว่า \((a+3)(a^2+9a+21) > (a+5)(a^2+5a+7)\)
ดังนั้น \(\frac{a+3}{a^2+5a+7} > \frac{a+5}{a^2+9a+21}\) ครับ

จัดรูปใหม่ได้เป็น $2(x+y+z)+(x^4+y^4+z^4)\geq 9$
ซึ่งจาก am-gm จะได้ $$\sum_{cyclic} x^4+x+x \geq 3 \sum_{cyclic}x^2 = 9$$

ยังไม่มีเวลาตั้งโจทย์ใหม่เลยครับ
3.กระทู้เก่าของผมนะครับ
ลองทำข้อนี้กันดูก่อนแล้วกันนะครับ เห็นว่ายังไม่มีใครมาตอบ(ข้อนี้แต่งเองครับ)

4. Let $a,b,c$ be positive reals such that $a+b+c=1$.
Prove that
$$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc+\frac{3}{4}(a-b)^2$$

5. Let $a,b,c$ be positive reals such that $abc=1$.
Prove that $$ \frac{a^2+2bc}{a^3+b^2+c^2}+\frac{b^2+2ca}{a^2+b^3+c^2}+\frac{c^2+2ab}{a^2+b^2+c^3} \leq 3$$

change ฃ1 to ฃ3

6. (nooonuii) ให้ $a,b,c >0$ โดยที่ $a+b+c = ab+bc+ca$ จงพิสูจน์ว่า

$$(1+a)(1+b)(1+c) + (a+b)(b+c)(c+a) \geq 16 $$

สมการเป็นจริงเมื่อใด

เนื่องจาก

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$ = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

และ $c = 1-a-b$ อสมการจึงสมมูลกับ $(3a + 3b - 2)^2\geq 0$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ
สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $c = \frac{1}{3}$

(a³+b³+c³-3abc)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=a²+b²+c²-ab-bc-ca

จาก (a+b-2c)² =(a²+b²+4c²+2ab-4ac-4bc)
= 4(a²+b²+c²-ab-bc-ca) -3(a-b)²
ณ 0
ข้อแรก ของคุณ devil jr.

ข้อของคุณ noonuii ผมคิดว่าน่าจะทำแบบนี้

(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = (a+b+c)²-abc
(1+a)(1+b)(1+c) = 1 + 2(a+b+c) + abc

เอาสมการทั้งสองมาบวกกันได้
(a+b)(b+c)(c+a) + (1+a)(1+b)(1+c) = (a+b+c+1)²

ตอนสุดท้ายจะต้องพิสูจน์ว่า a+b+c ณ 3 อ่ะคับ

จาก Cauchy เราได้ว่า
\[\sum \frac{a^2+2bc}{a^3+b^2+c^2} \leq \sum \frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^2+c^2}=(a^2+b^2+c^2)\sum\frac{1}{a^3+b^2+c^2}\leq (a^2+b^2+c^2)\sum\frac{a+c^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{ \sum a +2\sum a^2}{a^2+b^2+c^2}\]

และโดย Power Mean และ Am-Gm เราได้ว่า
\[a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)}{3} = a+b+c\]

ดังนั้น \(\displaystyle{\frac{ \sum a +2\sum a^2}{a^2+b^2+c^2}} \leq \displaystyle{\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}}=3\)

มาจาก
\[a+b+c=ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\]
ครับ

7. $a,b,c$ are positive reals. Prove that
$$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq \frac{9}{4}(ab+bc+ca)^2$$

ข้อ 6 ต้องการแนะนำให้รู้จักกับเอกลักษณ์นี้ครับ

$$(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)=(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)$$


8. (nooonuii) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $a + b + c = 3$ จงพิสูจน์ว่า

$$ a^{n} (\frac{a+1}{b+1}) + b^{n} (\frac{b+1}{c+1}) + c^{n} (\frac{c+1}{a+1}) \geq 3$$

ทุกจำนวนเต็ม $n$

หวัดดีครับ คราวนี้ผมจะมาแก้โจทย์ของคุณ nooonuii ข้อข้างบนน่ะครับ
case 1 : n ณ 2
\frac{aⁿ(a+1)}{(b+1)} +\frac{bⁿ(b+1)}{(c+1} + \frac{cⁿ(c+1)}{(a+1)}ณ \frac{(a^n/2(a+1)+b^n/2(b+1)+b^n/2(b+1))}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} โดย โคชี

พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) ฃ 12
เนื่องจาก ab+bc+ca ฃ \frac{(a+b+c)^{2}}{3}

และ จาก power mean aⁿ+bⁿ+cⁿ ณ 3
จึงได้ว่า case 1 เป็นจริง
อิๆที่เหลือให้คนอื่นคิดบ้างดีกว่าคับ
อืม เพิ่งเข้ามาเป็นสมาชิกใหม่ก็ขอฝากเนื้อฝากตัวพี่ๆด้วยนะครับ
ผมก็ไม่ได้เก่งอะไรมากมายมีอะไรก็ชี้แนะด้วยนะคับ
ที่จิงผมก็เพิ่งเริ่มใช้ latex อาจจะมีผิดพลาดไปบ้างก็ขอโทษนะครับ

ขอแก้อันข้างบนนะครับ
case 1 : n ณ 2
\[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq \frac{(a^{n/2}(a+1)+b^{n/2}(b+1)+c^{n/2}(b+1))^{2}}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} \] โดย โคชี
พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) ฃ 12
เนื่องจาก ab+bc+ca ฃ \( \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\)

และ จาก power mean aⁿ+bⁿ+cⁿ ณ 3
ดังนั้น \[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq 3 \] เป็นจริง

use rearrangement inequality to show that

(a^n)(a+1)/(b+1)+(b^n)(b+1)/(c+1)+(c^n)(c+1)/(a+1)
>= (a^n)(a+1)/(a+1)+(b^n)(b+1)/(b+1)+(c^n)(c+1)/(c+1)
=a^n+b^n+c^n
>=3((a+b+c)/3)^n (by power mean inequality)

ใครที่ยังใช้ Latex ไม่เป็น หรือไม่คล่องลองไปหัดเขียนเล่นในห้องข้างบนดูได้ครับ.
ในห้องนั้นมีกระทู้ปักหมุดสอนและคำสั่งครบหมดแล้ว

- เวลากดตอบกระทู้ สามารถกดดูล่วงหน้าได้ว่า ถ้าส่งไปแล้วจะเห็นแบบไหน
- ถ้าคิดว่าตอบผิด สามารถแก้ไขคำตอบของตัวเองได้ครับ กดตรงรูปดินสอ ก็จะเข้าโหมดแก้ไข ไม่จำ้เป็นต้องตอบซ้ำครับ.
- ถ้าอยากเรียนรู้การใช้ Latex อย่างรวดเร็ว ก็สามารถทำได้โดยการกดปุ่ม quote เพื่อดูคำสั่งของคนที่ตอบก่อนหน้านี้ของใครก็ได้ ตรงรูป "" ของคนที่ตอบ :)

ปล. Nooonuii ถ้าเข้ามาอ่าน เปิดดูข้อความส่วนตัวด้วยครับ.

9. (nooonuii) ให้ $a,b,c,x,y,z > 0$ โดยที่ $abc = 1$ และ $x + y + z = 3$ จงพิสูจน์ว่า
$$ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}\geq \frac{3}{2}$$

by cauchy

\Large{ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}ณ\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+x+y+z}
=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}ณ\frac{3}{2}

a+b+cณ3 (by AM-GM)

อสมการสุดท้ายไม่น่าจะจริงนะครับ

ใช้ rearrangement inequality ยังไงเหรอครับ อสมการสุดท้ายจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกครับ ยังขาดกรณีจำนวนเต็มลบ

อสมการสุดท้ายตรงกับ \((2(a+b+c)+3)(a+b+c-3) \geq 0\) ครับ

อ้อเข้าใจแล้วครับ คิดไม่ถึงเหมือนกันว่าจะออกมาทางนี้ได้ ของผมทำค่อนข้างยืดยาวโดยใช้ AM-GM

To Nooonuii
Sorry, I'm forget the case n<=0

if n>=0
(a^n)(a+1),(b^n)(b+1),(c^n)(c+1)
has reverse order with
1/(a+1),1/(b+1),1/(c+1)
and you can prove it easily.

if n<0
I will solve it later

P.S. Can you solve my problems? (Hint: equality holds iff a^2=b^2=c^2=6)

อ๊ะ ลืมไปเลยครับ ว่ายังมีโจทย์ของคุณ devil jr. อยู่อีกข้อนึง
ถ้าว่างเมื่อไหร่จะลองคิดดูครับ แต่ตอนนี้ขออ่านหนังสือสอบใหญ่ซักสองวิชาก่อนนะครับ :)

10. $a,b,c$ are positive reals. Prove that
$$\min\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\} \geq \min\{a+b+c,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\}.$$

พิจารณาอสมการ (a/b+b/c+c/a)² ณ (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
สมมูลกับ (a/b)²+(b/c)²+(c/a)²+a/c+c/b+b/a ณ 3+a/b+b/c+c/a ซึ่งเป็นจริงจากอสมการโคชี่

จาก(a/b+b/c+c/a)² ณ (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) สรุปได้ว่า
min{a/b+b/c+c/a,a/c+b/a+c/b} >= min{a+b+c,1/a+1/b+1/c}

ข้อสอบอังกฤษครับ
1.(BMO) p,q,r ฮ R⁺ โดยที่ p+q+r = 1 จงแสดงว่า 7(pq+qr+rp) ฃ 2+9pqr
2. x,y,z ฮ R⁺ โดยที่ x²+y²+z²=1 จงแสดงว่า x²yz+xy²z+xyz² ฃ 1/3

ข้อ 1 อยู่ในกระทู้อสมการเมื่อไม่นานนี่เองครับ
ข้อ 2

ขอกู้กระทู้ :D

12(หากนับเลขข้อไม่ผิด). จงแสดงว่า \[\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11\]

ยังไม่มีคำถามข้อใหม่ ผมขอใช้สิทธิ์เดิมข้อก่อนตั้งแล้วกันนะครับ
13.ให้ a,b,c ฮ R⁺ จงแสดงว่า
\[ \frac{2}{b(a+b)}+\frac{2}{c(b+c)}+\frac{2}{a(c+a)} \geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}} \]

โดยไม่เสียนัย ให้ aณbณc>0 เราจะได้ \(\sum_{cyc}\frac{1}{a(a+b)}\le\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}\) ดังนั้น \[2\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}
\ge\sum_{cyc}\frac{1}{a(a+b)}+\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}
=\sum_{cyc}\frac{1}{ab}
\ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\]อสมการสุดท้ายเป็นจริงโดย AM-GM:\[(a+b+c)^3\ge27abc
\Rightarrow\sum_{cyc}\frac{1}{ab}\ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\] ###

และแล้วก็ข้อถัดไป
14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า
\[\frac{\ln{a}}{(a-b)(a-c)}+\frac{\ln{b}}{(b-c)(b-a)}+\frac{\ln{c}}{(c-a)(c-b)}<0\]

14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า...

สมมติให้ a>b>c

พิจารณา f(x) = (ln(x)-ln(b))/(x-b) เมื่อ b เป็นค่าคงที่
f'(x)= (-ln(x)+ln(b)+1-b/x)/(x-b)^2

เนื่องจาก ln(x/b)+b/x > 1 ทุก xนb
ดังนั้น -ln(x)+ln(b)+1-b/x<0
=> f'(x)<0 ทุก xนb

เนื่องจาก a>cได้ว่า

(ln(a)-ln(b))/(a-b) < (ln(c)-ln(b))/(c-b)

จัดรูปใหม่ได้

(b-c)ln(a) + (c-a)ln(b) + (a-b)ln(c) <0
หารด้วย (a-b)(a-c)(b-c) จะได้ตามโจทย์

ไม่มีคำถามใหม่ ผมขอใช้สิทธิ์ตั้งคำถามแทนพี่ devil jr. แล้วกันครับ(แต่งเองครับ)
\[ ให้ a,b,c > 0 ; abc = 1
จงพิสูจน์ว่า \frac{a^{2}(a+b)(a+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{2}(b+a)(b+c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{2}(c+b)(c+a)}{(c-b)(c-a)} \geq 9 \]

ข้อนี้ของผมยังไม่มีคนตอบเลย

สมมติให้ a>b>c
คูณ (a-b)(b-c)(c-a)เข้าไปทั้งสองข้างจัดรูปได้

(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)^2 >= 9(a-b)(a-c)(b-c)

(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c+3)(a+b+c-3)>=0

ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก a+b+c >= 3(abc)^(1/3)=3