Oh My God : คณิตศาสตร์หรือจะมั่ว
--- ไม่สงวนสิทธิ์ ทุกระดับชั้นตอบได้ แต่ทางที่ดีควรจะเป็นอุดมศึกษา หรือมากกว่า เพราะเดี๋ยวจะเจอ Oh My God ---
กติกาการเล่น ... 1. จำลองสถานการณ์ว่าตัวเองเป็นนักออกแบบผังเมือง 2. ได้รับ order ให้ทำการสร้างถนนเชื่อมเมือง 4 เมืองคือ เมือง A,B,C,D ดังรูป เพื่อเป็นการประหยัดงบประมาณ นักออกแบบจึงต้องทำการสร้างถนนให้มีความยาวรวมกันน้อยที่สุด คำถาม : 1. สมมติ เมืองทั้ง 4 เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส ดังรูป นักออกแบบจะต้องสร้างถนนอย่างไร ? ใช้หลักการอะไรคิดดี ? 2. สมมติ เมื่องทั้ง 4 ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส นักออกแบบจะต้องสร้างถนนอย่างไร ? ใช้หลักการเดิมได้มั้ย ? 3. ถ้ามีเมืองเพิ่มขึ้นอีก 1 เมือง , 2 เมือง , 3 เมือง , ... จะทำอย่างไร คิดแบบเดิมได้มั้ย ? 4. แน่ใจหรือว่าที่ออกแบบไว้ จะดีที่สุด ขอเหตุผลสนับสนุน หมายเหตุ : ให้ตอบเป็นข้อเป็นข้อ ไม่ต้องตอบทั้งหมด เพราะเดี๋ยวจะเจอ Oh My God!! แนะนำ : ให้ทดสอบการสร้างถนนจาก 3 เมืองก่อน ได้แล้วค่อยมา 4 เมือง (ปล. ให้จำลองเมืองเป็นจุด A,B,C,D แล้ว Post มาเป็นไฟล์รูปภาพนะครับ) |
1 ออกแบบถนนโดยใช้การขจัดของฟิสิกครับ ทำให้เป็นเส้นทแยงมุม
2 ไม่ได้ครับ 3 ได้ครับต่อกิ่งก้านสาขาออกไป 4 ค่อนข้างแน่ใจ |
อ้างอิง:
|
- - เซง
เด๋วถูกเด๋วผิด คนอื่นมาตอบที |
อ้างอิง:
ให้ตอบใหม่อีกครั้งตามโจทย์ที่แก้แล้ว (final) ข้อที่ 1 ให้ตอบอีกครั้งเหมือนเดิมจะถูกต้องครับ... ถ้าเห็นว่าหรือรู้สึกอึดอัด ผู้ดูแลลบกระทู้นี้เลย ... ไม่ว่ากันครับ |
เคยมีผู้เล่นกับเราที่ตอบลักษณะอย่างนี้ ดังรูป แต่เราให้ผิดหมด เพราะไม่สามารถใช้กับรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ และหลักการคิดคือการลากเส้นทะแยงมุม ซึ่งเป็นหลักการคิดที่ผิด...
|
มีคำุถามครับ
สี่เหลี่ยมที่ว่าเป็น convex quadrilateral ใช่หรือไม่ ถ้าใช่คิดว่าควรสร้างให้ถนนจากแต่ละเมืองมุ่งไปสู่จุด barycenter ครับ ถ้าไม่ใช่ ก็อาจจะใช้ idea เดียวกัน แต่ต้องสร้าง convex hull ให้จุดทั้งสี่ก่อน |
อ้างอิง:
|
เอาล่ะเราเดินทางมาไกลเหมือนกันแหะ (เหนื่อยเหมือนกัน...ต้องไปอีกไกลจึงจะจบ)
เหมือนกับ My Mind ใน Post ของกระทู้ก่อนว่า คณิตศาสตร์ไม่ควรแยกตัวออกจากวิทยาศาสตร์ ต้องอยู่ร่วมกัน เพราะการแก้ปัญหาแต่ละปัญหาต้องใช้วิธีการคิดแบบบูรณาการ ... ดูรูปก่อนนะครับ แล้วจะอธิบายว่าเกิดอะไรขึ้น อภิปรายกันต่อ... เราจะจำลองการแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติทางเคมีของฟองสบู่...ดังนี้ 1. เตรียมน้ำสบู่เข้มข้น และสร้างรูปสี่เหลี่ยม Convex (กรณีศึกษา) คือ A,B,C,D โดยที่ A,B,C,D เป็นหมุดที่เชื่อมระหว่างแผ่นพลาสติก 2 แผ่น (ขนานกันด้วย) 2. นำแผ่นจำลองรูปสี่เหลี่ยม Convex จุ่มลงไปในน้ำสบู่ รอสักครู่ แล้วค่อย ๆ ดึงมาช้า ๆ เพื่อไม่ให้พันธะทางเคมีของฟองสบู่ หายไป (ถ้ามีแรงมากระทำเกินแรงหนืดของฟองสบู่) 3. จะพบว่าฟองสบู่ ได้สร้างจุด (Convex hull) เพิ่มขึ้นอีก 2 จุด เพื่อสร้าง Path ของพันธะทางเคมีใหม่ (กับอากาศภายนอก) 4. จะพบว่ามี Path ของทางเดินไปหาจุด A,B,C,D เป็นดังรูป (ซึ่งไม่ใช่ตัว X หรือ H) ซึ่งแต่ละ Path ทำมุมเท่ากันคือ 120 องศา 5. โดยอาศัยคุณสมบัติทางเคมีของฟองสบู่ ทำให้เราพบว่านี่คือคำตอบที่ดีที่สุดของการแก้ปัญหาการสร้างผังเมืองสำหรับจุดใด ๆ 4 จุด ของเรา คำถาม ... 1. ท่านคิดว่าการสร้างถนนเชื่อมเมือง 3 เมืองโดยให้มีความยาวของถนนรวมกันน้อยที่สุด จะมีคำตอบเป็นลักษณะใด นำหลักการอะไรมาใช้ ขอเหตุผลสนันสนุนด้วย ? 2. ท่านคิดว่าการสร้างถนนเชื่อมเมือง 5 เมืองโดยให้มีความยาวของถนนรวมกันน้อยที่สุด จะมีคำตอบเป็นลักษณะใด นำหลักการอะไรมาใช้ ขอเหตุผลสนันสนุนด้วย ? 3. คุณสมบัติอะไรทางเคมีของฟองสบู่ ทำให้เราพบว่านี่คือคำตอบที่ดีที่สุด (เดาก็ได้... ผิดถูก ไว้ว่ากัน เพราะเป็น Math Game Show) |
ผมคิดว่าควรจะให้ความหมายของเส้นทางที่ใกล้ที่สุดระหว่าง 4 เมืองให้ดีก่อน
|
สำหรับสามเมืองที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันคิดว่าสร้างโดยลากจากแต่ละจุดไปยังจุด centroid ครับ
ตอนแรกผมก็คิดจากสามเมืองก็เลยเดาว่าสี่เ้มืองก็น่าจะมีคุณสมบัติคล้ายกัน ปรากฎว่าเจอ OMG!!! จริงด้วยครับ :great: |
อ้างอิง:
Source Code การพิสูจน์.... |
อ้างอิง:
ตอนนี้เราไปค่อนข้างไกลแล้ว เข้าใจว่าผู้ชมน่าจะได้คำตอบอะไรซักอย่างที่เป็นเส้นทางเดินไปหาเมืองทั้ง 4 เมือง (ที่เป็น Convex) แล้ว ขาดแต่ยืนยันว่าเป็นวิธีที่ดีที่สุดครับ ... ต้องติดตามไปเรื่อย ๆ (เกมนี้ยาว... คิดหนักเหมือนกันว่าจะไปถึงไหน) เอ่อ... มีคำถามเดิมค้างไว้นะครับ ?? ... ต้องมีคนมาเล่นคำถามที่ข้างก่อนจึงจะแง้มทีละนิด ทีละนิดครับ ... เพราะต้องคิดเตรียมคำตอบไว้เหมือนกัน บางอย่างก็ยังไม่ Clear 100% ... ผู้ดำเนินรายการ |
อ้างอิง:
เอาล่ะน้อง ๆ ขณะนี้เราคงได้คำตอบสำหรับการสร้างเมืองสามเมือง และสี่เมือง (สำหรับ Convex) จะเหลือ สี่เมือง(ที่ไม่เป็น Convex) สร้างอย่างไร และจากคำถามเก่าคือ 5 เมือง จะใช้หลักการเดียวกันหรือไม่ ? และสร้างอย่างไร ? และเหตุผลจากโครงสร้างของฟองสบู่คืออะไรเพื่อยืนยันว่าเป็นวิธีที่ดีที่สุดครับ ? ..... ผู้ดำเนินรายการ |
ขอขยายความสำหรับรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส และเฉลยว่าทำไมวิธีการคิดของคุณ BabyMath ที่ผมบอกว่าการลากเส้นทะแยงมุมก็เป็นหลักการคิดที่ผิดครับ... ดูรูปประกอบ
Source Code GSP |
จากรูปข้างบน ถ้าไม่มองเส้น ST ผมนึกถึงรูปหกเหลี่ยมบนรวงผึ้งครับ
แล้วก็สันนิษฐานว่า โครงสร้างเส้นด้านข้างน่าจะเป็นเช่นนี้เสมอคือ มุม ASD และ มุม BTC มีขนาด 2pi/3 ครับ |
อ้างอิง:
|
พอจะพิสูจน์กรณี 3 เหลี่ยม กับ 4 เหลี่ยมนูนให้ดูได้ไหมครับว่าทำไมต้องเป็นจุดนั้นเสมอ? (ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์นะครับ)
|
สำหรับจุด S และ T ที่หายไป สามารถใช้ Centroid มาช่วยหาได้ แต่ใช้ได้กับสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่านั้นครับ ดังรูป
ส่วนวิธีการพิสูจน์ว่าดีที่สุดนั้น เป็นเพราะฟองสบู่ครับ แต่ยังไม่ชัดเจน 100% แต่บอกแง้ม ๆ ก่อนว่าเกี่ยวข้องกับพื้นผิวของฟองสบู่แน่นอน (Surface Property) และมุมต้องเป็น 120 องศาเท่านั้น ยังไงลองศึกษาเพิ่มเติมที่นี่ก่อน บอกใบ้ตอนนี้ก่อน ให้สังเกตจากแรงสามแรงอะไรเอ๋ยที่มากระทำกับหยดน้ำ แล้วยังไงจะมาต่ออีกนะครับ... ส่วนวิธีการคิดทางคณิตศาสตร์นั้น แอะ ๆ ยังไม่มีใครคิดครับ เพราะ OMG |
อ้างอิง:
- สำหรับรูป 3 เหลี่ยมมีจุดที่มองไม่เห็น 1 จุด ก็คือจุด Centroid มีสูตรสำเร็จเรียบร้อยทางคณิตศาสตร์ - สำหรับรูป 4 เหลี่ยมมีจุดที่มองไม่เห็น 2 จุด ก็คือจุด S,T ดังรูปเก่า (ด้านบน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ผมสมมติฐานว่าจุด S,T อยู่บนแนวเส้น MN ซึ่ง M,N เป็น Centroid ดังรูปเก่า (ด้านบน) แล้วลองหาจุด S,T ดูปรากฏว่าสามารถหาได้เสมอที่สอดคล้องเงื่อนไขของการทำมุม 120 องศา (เหมือนรังผึ้ง) ซึ่งเราสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้อีกครั้งทางคณิตศาสตร์สำหรับรูป 4 เหลี่ยมมุมฉากใด ๆ (ใช้ความรู้เรื่องจุด Centroid และกฎของ Cosin น่าจะได้สูตรสำเร็จทางคณิตศาสตร์ <== ต้องให้ไปลองไปหาสูตรสำเร็จกันเองนะครับ คงไม่ยาก...) และสันนิษฐานว่า Alogorithm นี้น่าจะใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วยครับ ส่วนรูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ ยังไม่มี Algorithm ครับ - สำหรับรูป 5 เหลี่ยมมีจุดที่มองไม่เห็น 3 จุด ยังไม่มี Algorithm เหมือนกัน ดังรูป ผมสันนิษฐานว่าสำหรบ n เหลี่ยมใด ๆ เมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 3 จะมีจุดที่มองไม่เห็น n-2 จุด ครับ และแขนของมุมที่จุดนั้นทำมุมกัน 120 องศา (เหมือนรังผึ้ง) และหลักการคิดดังกล่าวเป็นวิธีการคิดที่ดีที่สุด แต่ใช้อะไรเป็นข้อสนับสนุนเอ๋ย โปรดติดตาม เพราะเข้าใจว่าน่าจะชัดเจนแล้ว แต่ต้องรอให้อภิปรายกันอีกซักหน่อยครับ... ไม่งั้นเหมือนคุยกับตัวเอง!! ฮิ ๆ เพราะเป็น Math Game Show ต้องมี ผู้ดำเนินรายการ ผู้เล่น ผู้ดู ครับผม |
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++ บทสรุปของ Math Game Show ++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ก่อนอื่นต้องขอขอบคุณ Prof.Jin Akiyama แห่งแดนซามูไร ที่ทดลองอะไรหลาย ๆ อย่างให้ผมดู เพื่อให้ผมสงสัย และหาคำตอบได้ด้วยตนเองว่าเกิดอะไรขึ้น และผลลัพธ์ของเกมจะเป็นอย่างไร... เก็บกรุไว้หลายปี... เอามานั่งเรียงความคิดใหม่...คราวนี้ก็ถึงคราวบางอ้อแล้ว ฮิ ๆ 1. จากการทดลองกับน้ำฟองสบู่ทำไมแขนของมุมที่จุดที่มองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศา จึงเกิด Idea การสร้างตัวแบบจำลองฟองสบู่(สีส้ม) ดังรูป ทดลองต่อไปว่าฟองสบู่ถูกแรงบีบอัดอากาศรอบทิศทาง เกิดอะไรขึ้น? ดังรูป และแล้วแขนของมุมที่จุดที่จุดที่เรามองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศาจริง ๆ และแล้วก็เกิดข้อสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นทำไมถึงเป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดล่ะ ค้น ๆ คิด ๆ จนกระทั่งถึงบางอ้อ!! ว่า ฟิล์ม(films) ของสบู่ หรือแถบสบู่ จะต้องทำพื้นที่ของฟิล์มให้สัมผัสกับอากาศรอบตัวของมันเองให้น้อยที่สุดนั่นเอง ... ศึกษาเพิ่มเติมได้ที่นี่ 2. แต่เราต้องหาข้อยืนยันด้วยเหตุและผลทางคณิตศาสตร์ว่าทำไมแขนของมุมที่จุดที่เรามองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศา จึงคิด ๆ ค้น ๆ แล้วก็ถึงบางอ้อว่าเกิดจากเจ้านี่เอง ดังรูป รูปด้านขวาคือฟองสบู่คู่ที่ซ้อนกัน (เพราะแรงกดอากาศภายนอก) และรูปด้านซ้ายเป็นฟองสบู่คู่ที่ซ้อนกัน และมีฟองสบู่อีก 1 ลูกที่ซ้อนคลุมบริเวณที่ซ้อนกันของฟองสบู่คู่ จึงเริ่มคิด ๆ ค้น ๆ จนกระทั่งถึงบางอ้อ ฮิ ๆ ตัดตอนมาอธิบายให้ดูหน้า 12-13 ดังรูป เหมือนที่คิดไว้จริง ๆ ว่าทำไมต้องมีแขนของมุมที่จุดที่เรามองไม่เห็นต้องมีมุม 120 องศา และแบบที่คิดไว้คือสำหรับรูปสี่เหลี่ยม n เหลี่ยมเมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 3 มีจุดที่มองไม่เห็นอยู่ n-2 จุด และแขนของมุมที่จุดนั้นคือ 120 องศา ใน Case ของเราเป็น ${\mathbb{R} }^{3}$ เพราะเป็นการจำลองแบบ 3 มิติ (n = 3) จึงต้องมีฟองสบู่ n-1 = 2 ฟองสบู่ที่ซ้อนกัน(ซึ่งก็คือฟองสบู่คู่) และมีฟองสบู่อีก n-2 = 1 ฟอง ที่ซ้อนคลุมบริเวณที่ซ้อนกันกันของฟองสบู่คู่ และแขนของมุมที่จุดนั้นคือ 120 องศา จริง ๆ ส่วนจุดที่มองไม่เห็นจะมีอยู่ n-2 จุดหรือไม่นั้น ยังต้องรอการพิสูจน์ต่อไป แขนของมุมที่จุดที่มองไม่เห็นคือ 120 องศานั้น เป็นจริงเมื่อ n = 2,3,4 เท่านั้น และเมื่อ n = 2 จึงทำให้ตอบโจทย์ของเราได้หมด เพราะพื้นที่อยู่ใน 2 มิตินั่นเอง ส่วน n ที่นอกเหนือจากนี้ยังไม่มีใครพิสูจน์ครับผม และจะมีจุดที่มองไม่เห็นคือ n-2 จุดหรือเปล่าก็ต้องรอการพิสูจน์ต่อไป .... ศึกษาเพิ่มเติมได้ที่นี่ จบบริบูรณ์ .... ผู้ดำเนินรายการ |
สำหรับปัญหาเกี่ยวกับ soap bubble
มีอยู่ conjecture หนึ่งที่คนไทยเป็นคนพิสูจน์ได้ ลองดูที่นี่ครับ วัชรินทร์ วิชิรมาลา |
ผมชอบมากเลยครับ ปัญหา 4 จุด
ว่าแต่มี paper พิสูจน์ไหมครับว่าต้องเล็กที่สุด ขอ 3 จุดด้วยครับ เพราะถ้ามีจุดภายใน P ใน ABC แล้ว min(PA+PB+PC) เกิดเมื่ออยุ่ที่ fermat point นั่นคือจุดที่มีมุม APB=BPC=CPA=120 องศา แต่ถ้ามันมี 2 จุดขึ้นมาหละครับ จะพิสูจน์อย่างไร :please: |
2 ไฟล์และเอกสาร
ไหนๆก็มีคนขุดหัวนี้ขึ้นมาแล้วก็เลยอยากเพิ่มข้อมูลให้สักหน่อย :happy:
ในกรณีที่ต้องการหาจุดเชื่อมต่อ $P$ ไปยัง 3 จุด $A, B, C$ โดยให้ $PA + PB + PC$ มีค่าน้อยที่สุดนั้น Jacob Steiner ได้ให้วิธีหาจุด $P$ ดังกล่าว ดังนี้
แนวคิด สมมติว่า จุด $P$ คือจุดที่เราต้องการหา และมีระยะ $PA, PB, PC$ เป็น $a, b, c$ ตามลำดับ มีความเป็นไปได้ 2 ประการคือ
สมมติให้ด้าน $BC$ มีความยาวมากที่สุด
ทำไมจุดตัดดังกล่าวเป็นจุด Steiner Point ?
|
1 ไฟล์และเอกสาร
คำอธิบายเพิ่มเติมของ
อ้างอิง:
Attachment 1512 จากรูปเราจะพบว่า จุดที่อยู่บนวงรีสีชมพู มีผลรวมของระยะจากจุดไปยัง $A, B$ เป็นค่าคงที่เท่ากันหมด และแน่นอนว่าค่าคงที่นี้มีค่าน้อยกว่า จุดที่อยู่บนวงรีสีแดง และจุดที่อยู่บนวงรีสีน้ำเงิน จุด $P$ ที่มีค่า $PA + PB$ น้อยที่สุดโดยที่อยู่บนวงกลม $K$ ก็คือจุดบนตำแหน่งที่วงรีสัมผัสกับวงกลมนั่นเอง ณ จุดสัมผัส $P$ เราลากเส้นสัมผัส $DE$ ขึ้นมา ในการพิจารณาทำนองเดียวกับวงกลม เราจะพบว่า จุดบนเส้นตรง $DE$ ที่ทำให้ระยะจากจุด $A$ ไปยังจุดนั้น รวมกับระยะจากจุดนั้นกลับมาจุด $B$ มีค่าน้อยที่สุด ก็คือ จุด $P$ เช่นกัน ตรงจุดนี้ หากใครมีความรู้เรื่องการสะท้อน ก็จะเข้าใจได้ว่าจุด $P$ บนเส้นตรงนี้มีสมบัติว่า $\angle APD = \angle BPE$ |
อะไร666666666666
|
|
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:09 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha