เรขาคณิตของอัตราส่วนผสม
 

เคยได้ยินปัญหาแบบนี้ไหมครับ......
คำถามที่1.....มีน้ำส้มชนิด A ความเข้มข้น 8% ราคาขวดละ 18บาท
น้ำส้มชนิด B ความเข้มข้น 10% ราคาขวดละ 22บาท
และน้ำส้มชนิด C ความเข้มข้น 15% ราคาขวดละ 25บาท
โดยที่น้ำส้มแต่ละชนิดมีขนาดขวดปริมาตรเท่ากัน
ถ้านำน้ำส้มทั้งชนิดมาผสมกันในอัตราส่วนA:B:C=1:2:3
ถามว่าน้ำส้มผสมที่ได้มีความเข้มข้นเท่าใด
และถ้าจะขายน้ำส้มที่ผสมนี้ต้องตั้งราคาขายไว้ที่อย่างน้อยน้อยขวดละเท่าใดถึงจะไม่ขาดทุน?
......หลักการหาคำตอบก็ใช้หลักหาค่าเฉลี่ยน้ำหนักใช่ไหมครับ?
คำตอบจะคือ ความเข้มข้นเฉลี่ยเท่ากับ$\frac{[(8x1)+(10x2)+(15x3)]}{(1+2+3)}=\frac{73}{6}\approxร้อยละ12.17 $
และราคาเฉลี่ยอยู่ที่ขวดละ$\frac{[(18x1)+(22x2)+(25x3)]}{(1+2+3)}=\frac{137}{6}\approx 22.83บาท $

คำถามที่2.....สามเหลี่ยม$ABC$มีพิกัด....$A(8,18).....B(10,22) และC(15,25)$
จุดDอยู่บนด้านABโดยแบ่งเส้นตรง$AB$เป็นอัตราส่าน$2:1$.......$(AD: DB=2:1)$
จุดEอยู่บนด้านBCโดยแบ่งเส้นตรง$CB$เป็นอัตราส่าน$3:2$.......$(BE:EC=3:2)$
และจุดFอยู่บนด้านACโดยแบ่งเส้นตรง$AC$เป็นอัตราส่าน$3:1$.......$(AF:FC=3:1)$
ถามว่าถ้าลากเส้นDC,EAและFBจะมาตัดกันที่จุดๆเดียวใช่หรือไม่และถ้าใช้จงหาพิกัดของจุดนั้น?
ตามรูปประกอบที่แนบนะครับ

ผมน่าจะเคยเจอคำถามที่1ครับ

เชื่อไหมครับถ้าจะบอกว่าคำถามที่2มีคำตอบเดียวกับคำถามที่1
ทั้งๆที่ทั้งสองปัญหาไม่น่าจะมีอะไรเกี่ยวข้องกัน
คำถามแรกสามารถใช้พีชคณิตพื้นฐานมาแก้ปัญหาได้โดยไม่ยากนัก
แต่คำถามที่2มีลักษณะเป็นทวิปัญหากับคำถามที่1คือไม่ได้เกี่ยวข้องกัน
แต่สามารถจัดระเบียบวิธีที่ใช้ในการแก้ปัญหามาสัมพันธ์อ้างอิงถึงกันได้
....ซึ่งคำถามที่2ก็คือการหาcentroid of pointแบบมีน้ำหนักของจุด....ผมเข้าใจถูกต้องไหมครับ

พี่ครับคำถามที่2พี่ลองทำให้ผมดูเอาละเอียดเลยครับ

คือคำถามที่2 ถ้ามองปัญหาแบบเรขาคณิตวิิธีหนึ่งที่ใช้แก้ปัญหาคือวิธีแบบเรขาคณิตวิเคราะห์
อันดับแรกหาจุดหรือพิกัด $D,E,F$ให้ได้ก่อนตามรูปแนบครับ
หลังจากนั้นหาสมการเส้นตรง $AE,BFและCD$ แก้สมการจะได้เส้นตรงทั้ง3เส้นตัดกันที่จุดๆเดียวคือ$(\frac{73}{6},\frac{137}{6} )$
จะเห็นว่าวิธีนี้มีความซับซ้อนของการคิดเลขค่อนข้างมาก แต่มีความชัดเจนดี

แต่ถ้าใช้วิธีน้ำหนักของจุดจะลดความซับซ้อนของตัวเลขลงได้เยอะแต่ไม่แน่ใจว่าถ้ามี4จุดไปจะซับซ้อนขึ้นไหม
อีกระเบียบวิธีก็เนี่ยละครับ เรขาคณิตของส่วนผสมคือวิธีเกรเดียนไลน์ของอัตราส่วนผสมซึ่งพอมีโอกาสจะนำเสนอให้ครับ

ขอบคุณมากครับ

ระเบียบวิธีเส้นส่วนผสม
 

การหาปริมาณผสมของของผสม2ชนิดและ3ชนิดเบื้องต้นที่อัตราส่วนผสมหนึ่งๆแบบวิธีทางเรขาคณิต.....
ด้วยระเบียบวิธีนี้สามารถใช้วิธีย้อนกลับแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเช่นเส้นตัดกันภายในรูปสามเลี่ยมหรือหลายเหลี่ยมได้

ของผสม4ชนิดก็มีเรขาคณิตของส่วนผสมที่อัตราส่วนต่างๆเช่นกัน...
ยกตัวอย่างเช่นผสมของ4อย่างด้วยอัตราส่วนผสม1:2:3:4จะมีวิธีการหาส่วนผสมแบบเรขาคณิตดังรูป

ตัวอย่างการประยุกต์ความน่าจะเป็นเข้ากับเรขาคณิต
 

การนำเรขาคณิตของอัตราส่วนผสมมาประยุกต์กับความน่าจะเป็น...
เช่น...ถ้าถามว่ามีความเป็นไปได้เท่าใดที่จะผสมของผสม3อย่างคือ A,Bและ C โดยที่อัตราส่วนของผสม A:Bต้องมากกว่า 1:2 และอัตราส่วนของผสมระหว่าง C:Bต้องมากกว่า 3:2 จะตอบได้ว่ามีความเป็นไปได้เท่ากับ$ \frac{1}{3} $เท่านั้น....

การประยุกต์ค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุด
 

กำหนดสามเหลี่ยม$ABC$มีมุม$A,BและC$เป็นมุมยอดที่มีขนาด$\leqslant 90^\circ $
และมีพิกัด $(x_a,y_a),(x_b,y_b)และ(x_c,y_c)$ตามลำดับ
...จะสามารถหาพิกัด$(x_i,y_i)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมภายในสามเหลี่ยมนี้ได้คือ
การหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดโดยให้น้ำหนักดังนี้...
...จุดAมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinA
...จุดBมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinB
...จุดCมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinC
หรือ...$x_i=\frac{(sinA)(x_a)+(sinB)(x_b)+(sinC)(x_c)}{sinA+sinB+sinC} $
$y_i=\frac{(sinA)(y_a)+(sinB)(y_b)+(sinC)(y_c)}{sinA+sinB+sinC} $

...จะสามารถหาพิกัด$(x_o,y_o)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ได้คือ
การหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดโดยให้น้ำหนักดังนี้...
...จุดAมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sin2A
...จุดBมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sin2B
...จุดCมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sin2C
หรือ...$x_o=\frac{(sin2A)(x_a)+(sin2B)(x_b)+(sin2C)(x_c)}{sin2A+sin2B+sin2C} $
$y_o=\frac{(sin2A)(y_a)+(sin2B)(y_b)+(sin2C)(y_c)}{sin2A+sin2B+sin2C} $

...และสามารถหาพิกัด$(x_{orthocenter},y_{orthocenter})$ซึ่งเป็นจุดตัดกันของส่วนสูงทั้งสามของสามเหลี่ยมนี้ได้คือ
การหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดโดยให้น้ำหนักดังนี้
...จุดAมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ (-sin2A+sin2B+sin2C)
...จุดBมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ (sin2A-sin2B+sin2C)
...จุดCมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ (sin2A+sin2B-sin2C)
หรือ...$x_{orthocenter}=\frac{(-sin2A+sin2B+sin2C)(x_a)+(sin2A-sin2B+sin2C)(x_b)+(sin2A+sin2B-sin2C)(x_c)}{sin2A+sin2B+sin2C} $
$y_{orthocenter}=\frac{(-sin2A+sin2B+sin2C)(y_a)+(sin2A-sin2B+sin2C)(y_b)+(sin2A+sin2B-sin2C)(y_c)}{sin2A+sin2B+sin2C}$...:great:

การหาจุดcentriodของรูปเรขาคณิตในระนาบด้วยวิธีน้ำหนักของจุด
 

ตัวอย่างที่1...กรณีจุด3จุดในระนาบ
จุดเซนทรอยด์ของรูปเรขาคณิตสามเหลี่ยมของจุดทั้งสามในระนาบคือค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดทั้งสามในอัตราส่วนที่เท่ากัน
ตัวอย่างที่2...กรณีจุด4จุดในระนาบ
จุดเซนทรอยด์ของรูปเรขาคณิตสี่เหลี่ยม(นูน)ในระนาบคือค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดทั้งสี่ในอัตราส่วน$1:1+p: p:1+pตามทิศทวนเข็มนาฬิกา
เมื่อpคืออัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยม2รูปที่ประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมนั้น โดยให้แบ่งสี่เหลี่ยมนั้นให้เป็นสองรูปตามแนวจุด2จุดที่ให้น้ำหนักเป็น1+pเท่ากัน$
---------------แก้ไขชื่อเรื่องเป็น "centroid"

การหาจุดตัดกันของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมในระนาบด้วยวิธีน้ำหนักของจุด
 

...รูปสี่เหลี่ยมนูนในระนาบที่มีจุดยอด4จุดคือ A,B,Cและ D เรียงกันทวนเข็มนาฬิกาตามลำดับ จะสามารถหาจุดตัดกันของเส้นทแยงมุมด้วยวิธีหนึ่งคือ...วิธีน้ำหนักของจุดได้โดยให้ค่าน้ำหนักของจุดต่างๆดังนี้
1.จุดAให้น้ำหนักเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมBCDซึ่งเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามกับจุดA
2.จุดBให้น้ำหนักเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมCDAซึ่งเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามกับจุดB
3.จุดCให้น้ำหนักเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมDABซึ่งเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามกับจุดC
4.จุดDให้น้ำหนักเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมABCซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมอยู่ตรงข้ามกับจุดD

วงกลมแนบนอกสามเหลี่ยม
 

กำหนดสามเหลี่ยม$ABC$มีมุม$A,BและC$เป็นจุดยอดและมีพิกัด $(x_a,y_a),(x_b,y_b)และ(x_c,y_c)$ตามลำดับ
...จะสามารถหาพิกัด$(x_{OA},y_{OA})$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบนอกสามเหลี่ยมนี้ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับจุด$A$ได้คือ
การหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดโดยให้น้ำหนักดังนี้...
...จุดAมีน้ำหนักถ่วงเป็นลบเท่ากับ $(-sinA)$
...จุดBมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ $sinB$
...จุดCมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ $sinC$
หรือ...$x_{OA}=\frac{(-sinA)(x_a)+(sinB)(x_b)+(sinC)(x_c)}{(-sinA+sinB+sinC)} $
$y_{OA}=\frac{(-sinA)(y_a)+(sinB)(y_b)+(sinC)(y_c)}{(-sinA+sinB+sinC)} $

วงกลมแนบในสี่เหลี่ยม
 

กำหนดสี่เหลี่ยม$ABCD$มีมุม$A,B,CและD$เป็นจุดยอดและมีพิกัด $(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c)และ(x_d,y_d)$ตามลำดับ
และสี่เหลี่ยมรูปนั้นสามารถมีวงกลมแนบในได้
...จะสามารถหาพิกัด$(x_i,y_i)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในสี่เหลี่ยมนี้ได้คือ
การหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดโดยให้น้ำหนักดังนี้...
...จุดAมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ $sinA$
...จุดBมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ $sinB$
...จุดCมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ $sinC$
และจุดDมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ $sinD$
หรือ...$x_i=\frac{(sinA)(x_a)+(sinB)(x_b)+(sinC)(x_c)+(sinD)(x_d)}{(sinA+sinB+sinC+sinD)} $
$y_i=\frac{(sinA)(y_a)+(sinB)(y_b)+(sinC)(y_c)+(sinD)(y_d)}{(sinA+sinB+sinC+sinD)} $

วงกลมแนบในรูปnเหลี่ยม
 

กำหนดรูปnเหลี่ยม$A_1A_2...A_n$มีมุม$A_1,A_2,...,A_n$เป็นจุดยอดและมีพิกัด $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_n,y_n)$ตามลำดับ
และรูปnเหลี่ยมรูปนั้นสามารถมีวงกลมแนบในได้
...จะสามารถหาพิกัด$(x_i,y_i)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในnเหลี่ยมนี้ได้คือ
การหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดโดยให้น้ำหนักดังนี้...
$จุดA_1มีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinA_1$
$จุดA_2มีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinA_2$
........
........
$และจุดA_nมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinA_n$
หรือ...$x_i=\frac{(sinA_1)(x_1)+(sinA_2)(x_2)+...+(sinA_n)(x_n)}{(sinA_1+sinA_2+...+sinA_n)} $
$y_i=\frac{(sinA_1)(y_1)+(sinA_2)(y_2)+...+(sinA_n)(y_n)}{(sinA_1+sinA_2+...+sinA_n)} $

วงกลมแนบนอกรูปหลายเหลี่ยม
 

กำหนดรูปnเหลี่ยม$A_1A_2...A_n$มีมุม$A_1,A_2,...,A_n$เป็นจุดยอดและมีพิกัด $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_n,y_n)$เรียงกันตามลำดับและรูปnเหลี่ยมรูปนั้นสามารถมีวงกลมแนบในได้
...จะสามารถหาพิกัด$(x',y')$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบนอกnเหลี่ยมนั้นได้ยกตัวอย่างเช่น
วงกลมแนบนอกที่ติดกับด้านที่อยู่ระหว่างพิกัด$(x_2,y_2)และ(x_3,y_3)$จะมีพิกัดของจุดศูนย์กลางวงกลมดังนี้
$x'=\frac{(sinA_2)(x_2)+(sinA_3)(x_3)-(sin(A_2+A_3))(x_o)}{(sinA_2+sinA_3-sin(A_2+A_3)} $
$y'=\frac{(sinA_2)(y_2)+(sinA_3)(y_3)-(sin(A_2+A_3))(y_o)}{(sinA_2+sinA_3-sin(A_2+A_3)} $
โดย$x_o,y_o$หามาจากการแก้สมการ$det(M)=0และdet(N)=0$
เมื่อ$M=\bmatrix{x_1&y_1& 1 \\ x_2&y_2 & 1\\x_o&y_o&1} $
$N=\bmatrix{x_3&y_3& 1 \\ x_4&y_4& 1\\x_o&y_o&1} $

คณิตศาสตร์ในสูตรอาหาร
 

การผสมของผสม3อย่างเข้าด้วยกันเช่นพริก,น้ำตาลและเกลือให้ได้สุดยอดพริกเกลือจิ้มมะม่วงเช่น...
ให้สัดส่วนของพริกและน้ำตาลมากกว่า1/2
และให้สัดส่วนของน้ำตาลและเกลือมากกว่า2/3
รวมทั้งสัดส่วนของเกลือและพริกมากกว่า1/3ด้วยนั้น...
มีโอกาสที่จะผสมได้สุดยอดพริกเกลือนี้เพียง16/105เท่านั้น

สามเหลี่ยมABCในระนาบ...
ในด้านABกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านABนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน2:1
...ด้านBCกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านBCนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:2
...ด้านCBกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านCAนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:1
จะได้ว่าสามเหลี่ยมซึ่งเกิดจากการตัดกันของเส้นตรง3เส้นบนด้านในอัตราส่วนดังกล่าวไปยังจุดA,BและCซึ่งอยู่ตรงข้ามด้านนั้น...
จะมีพื้นที่เป็นเศษ16ส่วน105ของพื้นที่สามเหลี่ยมABC

พื้นที่ทางเรขาคณิต
 

เพิ่มเติมตามรูปแนบ

คณิตศาสตร์ของสี
 

ถ้าผสมแม่สีคือ 1.แดง 2.เขียว และ3.น้ำเงิน เข้าด้วยกันเช่น
1) ผสมแดงกับเขียวเข้าด้วยกันจะได้ สีเหลือง
2)ผสมเขียวกับน้ำเงินเข้าด้วยกันจะได้ สีฟ้าอมเขียว
3)ผสมแดงกับน้ำเงินเข้าด้วยกันจะได้ สีม่วงแดง
...โดยมีสมมติฐานที่ว่า จุดเปลี่ยนสีของการผสมแม่สีต่างๆเข้าด้วยกันอยู่ที่อัตราส่วนทองคำ$(\varphi )$
จะได้ว่าโอกาสที่จะผสมแม่สีทั้งสามเข้าด้วยกันแบบไม่ตั้งใจให้ได้สีขาวมีโอกาสเพียง $1/(4+6\varphi )$ หรือประมาณ 73ใน1000เท่านั้น

การMoving averageข้อมูลแบบเร่งเวลา
 

สมมติว่าประเทศไทยส่งออกส้มในปีพ.ศ.2559เท่ากับ $x_1 ตัน$
ปีพ.ศ.2560เท่ากับ $x_2 ตัน$
ปีพ.ศ.2561เท่ากับ $x_3 ตัน$
คำถามคือเราจะพยากรณ์ได้หรือไม่ว่าในปีต่อๆไปเราจะส่งออกส้มได้กี่ตัน?
...ปัจจัยที่จะทำให้ส่งออกส้มได้มากหรือน้อยขึ้นกับหลายๆอย่าง
แต่ถ้าเรารู้อย่างหนึ่งว่าในทางสถิติหลายปีที่ผ่านมาการส่งออกส้มได้มากน้อยจะมีวงรอบทุกๆ3ปี
...อย่างน้อยเราจะใช้หลักค่าเฉลี่ยไปก่อนคือในปีที่4การส่งออกส้มน่าจะสามารถพยากรณ์ได้คือ..
$x_4=(x_1+x_2+x_3)/3$..หรือ
ในปีที่5คือ
$x_5=(x_2+x_3+x_4)/3$...
..หรือการส่งออกส้มในปีที่$n$คือ
$$x_n=(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3})/3$$
...คำถามคือในสภาวะวงรอบเช่นนี้จะนำให้ประเทศไทยขายส้มได้อย่างมากไม่น่าจะเกินกี่ตัน?

อัตราส่วนเวียนผสม
 

ถ้ามีเครื่องดื่มผสมเกลือแร่ชนิดหนึ่ง3ขวดมีความเข้มข้นของเกลือแร่นั้นดังนี้...
ขวดที่1...เข้มข้นร้อยละ7$(x_1)$
ขวดที่2...เข้มข้นร้อยละ10$(x_2)$
และขวดที่3เข้มข้นร้อยละ13$(x_3)$
ทำการผสมเครื่องดื่มขวดที่4...โดยผสมขวดที่1,ขวดที่2และขวดที่3เข้าด้วยกันในอัตราส่วน1:1:1
หรือจะได้ขวดที่4มีความเข้มข้นเท่ากับ$(7+10+13)/3=ร้อยละ10$...ทำเช่นนี้ไปเรื่อยในขวดที่5,6,7,...
หรือเครื่องดื่มขวดที่$n...x_n=(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3})/3$
...จะได้ว่าเครื่องดื่มที่ผสมได้จะมีแนวโน้มลู่เข้าหาความเข้มข้นค่าหนึ่งซึ่งหาได้โดยเสมือนการนำเครื่องดื่มขวดที่1,ขวดที่2และขวดที่ 3มาผสมกันในอัตราส่วน$ 1:2:3$ซึ่งเท่ากับ
$[7(1)+10(2)+13(3)]/6=ร้อยละ11$

ในกรณีที่เราเพิ่มน้ำหนักหรืออคติในอัตราส่วนผสมเช่นของผสม3อย่างผสมกันในอัตราส่วน$1:2:3$
หรือเขียนเป็นความสัมพันธ์ของอัตราส่วนเวียนผสมได้ว่า$x_n=(3x_{n-1}+2x_{n-2}+x_{n-3})/6$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่า3
.....จะได้ว่า...$$\lim_{n \to \infty} x_n=(x_1+3x_2+6x_3)/10$$
เมื่อ$x_1,x_2และx_3$เป็นค่าพารามิเตอร์เริ่มต้นของของผสม3อย่างนั้น

เมตริกซ์อัตราส่วนผสม
 

...ถ้าเรามีน้ำสตรอเบอรี่ตั้งต้นอยู่3ขวดคือขวดA,BและCโดยแต่ละขวดมีค่าพารามิเตอร์ความหวานที่แตกต่างกันคือ...
...ขวดA...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_a$...
...ขวดB...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_b$...
และขวดC...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_c$แล้ว...
...เมื่อนำน้ำสตรอฯทั้ง3ขวดมาผสมกันให้ได้ค่าพารามิเตอร์ความหวานที่ละมุนขึ้นโดยมึสูตรในการผสม3สูตร...เช่น
...สูตรที่1...นำน้ำสตรอฯทั้งสามขวดมาผสมกันในอัตราส่วน1:2:3...
...สูตรที่2...นำน้ำสตรอฯทั้งสามขวดมาผสมกันในอัตราส่วน2:3:4...
และสูตรที่3...ผสมกันในอัตราส่วน3:4:5...แล้ว
จะได้น้ำสตรอเบอรี่ที่มีค่าพารามิเตอร์ความหวานใหม่ขึ้นมา3ขวดคือ$x'_a,x'_bและx'_c$ตามลำดับแล้ว...
...เราสามารถหาค่า...$x'_a,x'_bและx'_c$ได้โดยเขียนเป็นสมการเมตริกซ์ได้ดังนี้..
$$X'=YX$$
เมื่อ...$X'คือเมตริกซ์พารามิเตอร์ผลลัพธ์=\bmatrix{x'_a \\x'_b \\x'_c} $
$Xคือเมตริกซ์พารามิเตอร์ตั้งต้น=\bmatrix{x_a \\x_b \\x_c} $
$Yคือเมตริกซ์อัตราส่วนผสม=\bmatrix{1/6 & 2/6&3/6 \\ 2/9& 3/9&4/9\\3/12&4/12&5/12} $

การประยุกต์ของเมตริกซ์อัตราส่วน
 

ปัญหาทางเรขาคณิตสามารถใช้วิธีทางเมตริกซ์เข้ามาช่วยแก้ปัญหาได้..
โดยในรูปจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปในที่แรเงาแทนด้วย...
จุด$A'$คือจุดที่ใกล้จุด$A$ของสามเหลี่บมรูปใหญ่..
และเช่นเดียวกับจุด$B'$กัล$C'$...
คือจุดที่ใกล้กับจุด$B$กับ$C$ของสามเหลี่ยมรูปใหญ่ตามลำดับ...
หรือจุด$A'$คือจุดที่เกิดโดยการให้น้ำหนักต่อจุด$A:B:C=9:2:3$ตามลำดับ..
จุด$B'$คือจุดที่เกิดโดยการให้น้ำหนักต่อจุด$A:B:C=3:6:1$ตามลำดับ..
และจุด$C'$คือจุดที่เกิดโดยการให้น้ำหนักต่อจุด$A:B:C=1:2:3$ตามลำดับ..
...กำหนดเมตริกซ์อัตราส่วนได้คือ$\bmatrix{9/14 & 2/14&3/14 \\ 3/10&6/10 & 1/10\\1/6&2/6&3/6} $
...ซึ่งดีเทอมิแนนท์ของเมตริกซ์อัตราส่วนนี้จะเท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมรูปเล็กต่อรูปใหญ่...$16/105$

การลู่เข้าของเมตริกซ์อัตราส่วน
 

...ถ้าเมตริกซ์อัตราส่วน...$Y=\bmatrix{1/6 & 2/6&3/6 \\ 2/9& 3/9&4/9\\3/12&4/12&5/12} $
...เมตริกซ์...$Y^n(เมตริกซ์Yคูณกันnครั้ง)$..จะยังคงเป็นเมตริกซ์อัตราส่วน
(เมตริกซ์ในแต่ละแถวมีผลรวมเท่ากับ1และทุกสมาชิกเป็นจำนวนบวก)
แต่จะเป็นเมตริกซ์อัตราส่วนใหม่ที่เกิดโดยการเวียนผสมด้วยอัตราส่วนเดิม$n$ครั้ง..
และถ้าเวียนผสมด้วยอัตราส่วนเดิมนี้ไปเรื่อยๆจะได้เมตริกซ์อัตราส่วนใหม่ที่มีค่าดิเทอร์มิแนนท์เท่ากับศูนย์...
หรือมีการลู่เข้าของอัตราส่วนเดิมที่แตกต่างกัน3อัตราส่วนเข้าสู่อัตราส่วนเดียวกัน
..เช่นตัวอย่างนี้คือ
$$\lim_{n \to \infty} Y^n=\bmatrix{2/9 & 3/9&4/9 \\ 2/9& 3/9&4/9\\2/9&3/9&4/9} $$

$$\lim_{n \to \infty} Y^n=\lambda Y',Y'=adj.(Y-I)$$

เมื่อ...$\lambda คือค่าคงที่$
$adj.คือแอดจอยน์ของเมตริกซ์$
และ$Iคือเมตริกซ์เอกลักษณ์$

ระนาบของอัตราส่วน
 

สารAมีพารามิเตอร์ตั้งต้น $(x_a,y_a,z_a)$
สารBมีพารามิเตอร์ตั้งต้น $(x_b,y_b,z_b)$
และสารCมีพารามิเตอร์ตั้งต้น $(x_c,y_c,z_c)$
...เมื่อนำสารทั้งสามชนิดตามลำดับมาผสมกันในอัตราส่วน$\alpha :\beta :\gamma $
ของผสมDที่ได้จะมีพารามิเตอร์ผลลัพธ์$(x_d,y_d,z_d)$
อยู่ในระนาบสามเหลี่ยมของพารามิเตอร์ตั้งต้นA,BและC...
หรือเขียนเป็นสมการเมตริกซ์ของสามเหลี่ยมระนาบของพารามิเตอร์ตั้งต้นได้ดังนี้..

$$\bmatrix{x_a & x_b&x_c \\ y_a& y_b&y_c\\z_a&z_b&z_c}\bmatrix{\alpha \\ \beta \\\gamma } =\bmatrix{x_d\\ y_d\\z_d} $$
โดยที่ $\alpha ,\beta ,\gamma >0และ\alpha +\beta +\gamma =1$

สุดยอดมากเลยครับ ได้รับความรู้ใหม่เยอะเลยครับ
ปัญหาอัตราส่วนเป็นอะไรที่ค่อนข้างจะเข้าใจยากอยู่ ถ้ามีการนำเรขาคณิตมาใช้แก้ปัญหาได้นี่น่าจะดีครับ ในโรงเรียนก็ไม่มีสอน
แล้วดูเหมือนว่าจะนำมาประยุกต์ใช้ได้หลายหลาย เพิ่มมิติก็ได้ สุดยอดจริงๆครับ

ขอบคุณครับ..ไม่ต้องถ่อมตัวกันแล้ว
จะยกตัวอย่างการประยุกต์อีกหนึ่งปัญหาที่พวกเราคุ้นเคยกัน..เคยได้ยินปัญหาการช่วยกันทำงานมั้ยครับ?
เช่น...เด็ก 2คน ผู้หญิง 2คน ชายวัยทำงาน 3คน...ช่วยกันทำงานชิ้นหนึ่งเสร็จใน 4วัน
...เด็ก 5คน ผู้หญิง 3คน ชายวัยทำงาน 2คน...ช่วยกันทำงานชิ้นนี้เสร็จใน 3วัน
...และเด็ก 3คน ผู้หญิง 1คน ชายวัยทำงาน 5คน...ช่วยกันทำงานชิ้นนี้เสร็จใน 3วันเช่นกัน
...คำถามคือใครทำงานได้เร็วได้ช้ากว่ากันระหว่างเด็ก,ผู้หญิงหรือชายวัยทำงาน..
.....นึ่ครับสมการเมตริกซ์ของปัญหานี้
$$\bmatrix{2 & 2&3\\ 5 & 3&2\\3&1&5}\bmatrix{\alpha \\ \beta \\\gamma } =\bmatrix{1/4\\ 1/3\\1/3} $$

ค่า $\alpha ,\beta ,\gamma $ คือความสามารถในการทำงานใช่มั้ยครับ เช่น เด็ก1 คน ทำงานชิ้นหนึ่งเสร็จใน $\alpha $ วัน

ใช่ครับ
แอลฟาคือความสามารถในการทำงานของเด็กเทียบกับเวลาเช่น 1/16 ชิ้นงานต่อวัน
ส่วนเบต้าและแกมม่าคือความสามารถของผู้หญิงและผู้ชายครับ

การร่วมมือกันทำงานแบบexponentialภายใต้ทรัพยาการจำกัด
 

...สมมติสถานการณ์...
นายA...ทำงานชิ้นหนึ่งใช้เวลา...3 วัน
และนายB...ทำงานชิ้นเดียวกันใช้เวลา...4วัน
ถ้าทั้งสองช่วยกันทำงาน...ถามว่างานชิ้นนี้จะเสร็จกี่วัน...
การแก้ปัญหาจะใช้ส่วนกลับของผลรวมฮาร์โมนิคมาแก้ปัญหาคือ
$$...(1/3)+(1/4)=(7/12)...$$
...หรือจะใช้เวลา...(12/7)วัน
หมายความว่าถ้าทั้งสองช่วยกันทำงานจะใช้เวลาเสร็จงานเร็วขึ้นคือประมาณ1.71วันภายใต้ทรัพยากรที่ใช้...2หน่วย
แปลว่าถ้าใช้ทรัพยากรเท่าเดิมคือ1หน่วยงานจะแล้วเสร็จประมาณ...3.42วัน

และถามว่าในสถานการณ์เดียวกันถ้าทั้งสองร่วมมือกันทำงานมีโอกาสที่งานชิ้นนี้จะใช้เวลาได้เร็วกว่า3.42วันได้หรือไม่?...
...ถ้าเราออกแบบสมมติฐานที่ทั้งAและBมีทักษะในการทำงานเป็นต้นทุนเดิมอยู่แล้วและมีการเรียนรู้เป็นฐานในการทำงานคือ...
Aจะทำงานได้มากกว่าB...4/3เท่าในช่วงแรก
และเมื่อเวลาผ่านไปจะยิ่งมากขึ้นอีกเป็นทวีคูณของ...(4/3)
...การแก้ปัญหาจะใช้สมการ...exponential
$$(4/3)^{12}=(1/2)(4/3)^{4n}+(1/2)(4/3)^{3n}$$

ขอบคุณในประเด็นเสนอแนะครับ

toshare

ค่าเฉลี่ยแบบเร่ง/หน่วงเวลาของเลขยกกำลัง

...ถ้าสเปคของ...$COM1$...สามารถรวบรวมข้อมูลใช้เวลา...a นาที/(gigabytes-joule)
...และสเปคของ...$COM2$...ใช้เวลา...b นาที/(gigabytes-joule)
...แล้วถ้าหน่วยประมวลผลทั้งสองร่วมมือแบบไม่เอาเปรียบกัน...หน่วยประมวลผลรวมจะใช้เวลาเฉลี่ยเท่ากับ...$c นาที/(gigabytes-joule)$...ซึ่งจะอยู่ภายใต้เงื่อนไขของสมการ
$$2^{(ab)}=\frac{2^{(ac)}+2^{(bc)}}{2},a<b$$

...ในทางกลับกันแล้ว

...ถ้า...$COM1$...ตั้งเวลาในการทำความสะอาดข้อมูล...a นาที/(gigabytes-joule)
...ส่วน...$COM2$...ตั้งเวลาไว้ที่...b นาที/(gigabytes-joule)
...แล้วถ้าหน่วยประมวลผลทั้งสองทำงานร่วมกันแบบคนละครึ่ง...จะได้เวลาเฉลี่ยในการทำความสะอาดข้อมูลเท่ากับ...$c' นาที/(gigabytes-joule)$...ซึ่งจะอยู่ภายใต้เงื่อนไขของสมการ
$$2^{(-ab)}=\frac{2^{(-ac')})+2^{(-bc')}}{2},a<b$$

ข้อสงสัยคือ...
1.ค่าเฉลียเลขยกกำลังแบบเร่ง...$c$...จะมีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิคเสมอ
และ 2.ค่าเฉลี่ยแบบหน่วง...$c'$...จะมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ

สมมติฐานการสลายตัวของไวรัสโคโรน่าในอากาศ

...สมมติฐานมีอยู่ว่า..
1.เชื้อไวรัสจะดำรงทางชีวภาพได้ก็ต่อเมื่อต้องอาศัยโฮสท์เช่นคน,สัตว์หรือสิ่งมีชีวิตชั้นสูงเท่านั้น
2.เมื่อไวรัสแพร่อยู่ในอากาศจะไม่สามารถดำรงทางชีวภาพได้ จะค่อยๆสลายไปในที่สุด
3.ลักษณะการสลายตัวของไวรัสน่าจะมีแบบแผนเดียวกันกับการสลายตัวของธาตุกัมมันตภาพรังสี

...จึงคาดว่าสมการการสลายตัวของไวรัสในอากาศโดยปราศจากโฮสท์จะคล้ายๆกับการสลายตัวของธาตุกัมมันตภาพรังสีคือ...$$P(t)=P_0e^{-\lambda t}$$โดย...
$P(t)=ความเข้มข้นของไวรัส(cell/m^3)ในอากาศ ณ.เวลา t ใดๆ$
$P_0=ความเข้มข้นของไวรัสเมื่อเวลาเริ่มต้น$
$\lambda=ค่าคงที่การสลายตัวของไวรัสภายใต้สภาวะแวดล้อมหนึ่งๆ(1/วินาที)$
$t=เวลาใดๆ(วินาที)$

สมมติฐานการสลายตัวของไวรัสโคโรน่าในสภาพอากาศแบบผสม

$$P(t)=P_1e^{-\lambda_1 t}+P_2e^{-\lambda_2 t}+P_3e^{-\lambda_3 t}+...+P_ne^{-\lambda_n t}$$
โดย...
$P(t)คือปริมาณไวรัสเมื่อเวลาผ่านไป t$
$P_nคือปริมาณไวรัสเมื่อเวลาเริ่มต้นในสภาพอากาศแบบที่ n$
$\lambda_nคือค่าคงที่การสลายตัวของไวรัสในสภาพอากาศแบบที่ n$
$tคือเวลา$

สมมติฐานการขยายตัวของไวรัสโคโรน่าในโฮสท์
$$C(t)=C_0e^{(\frac{t}{\Omega })}$$
$C(t)คือปริมาณไวรัสโคโรน่าในโฮสท์$
$C_0คือปริมาณไวรัสโคโรน่าที่ฟักตัวอยู่ในโฮสท์$
$\Omega คือสภาพภูมิต้านทานที่โฮสท์มีต่อไวรัสนั้น$
$tคือเวลาฟักตัวถึงระยะการเจ็บป่วย$