รวมโจทย์ภาคสี่(คุณภาพดีกว่าภาคที่แล้วมาชัวร์)
 

เนื่องจากผมเริ่มสำนึกว่ารวมโจทย์ภาค1-3 นั้นคุณภาพแย่มากอาจเป็นเพราะมีโจทย์ที่ผมคิดเองอยู่ด้วยด้วยความสำนึกผิดผมเลยทำภาคนี่ขึ้นและคัดโจทย์ที่คิดว่าดีที่สุดเท่าที่ผมจะหา ได้
1.ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้า P, Q, R เป็นจุดบน AB,BC,CA ลำดับทำให้ AP:PB=BQ:QC=CR:RA=7:8 ถ้า AQ,BR,CP ตัดกันที่จุด D,E และ F แล้วพื้นที่สามเหลี่ยมABC เป็นกี่เท่าของรูปสามเหลี่ยม DEF
2.กำหนด $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ค่าของ $x^{15}-\frac{610}{x}$เป็นเท่าใด
3.จงหาเลขท้ายสามตัวของ ${2^2}^{1945}+1$
4.กำหนด x และ y เป็นจำนวนเต้มบวกสมการ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2008}$ มีกี่คำตอบ
5.กำหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า p เป็นจุดภายในรูปสามเหลี่ยมนี้ที่จะทำให้ PA=10,PB=12,PC=14
รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่กี่หน่วย

ข้อ 3 ไม่ชัวนะครับ
ผมใช้ทวินามได้ 002 อ่ะครับ

ผมหาได้ 649 อ่ะครับแต่ไม่ชัวร์นะครับ

เท่าที่ได้ตอนนี้นะครับ
2. 987
4. 27 คำตอบ

ได้ข้อ 5. 36รูท6 + 55รูท3
(ขอโทษนะครับไม่ได้ใช้เครื่องหมายรูท)

ไม่หรอกครับเพราะ $2^{2^{1945}} + 1$ไม่มีทางเป็นจำนวนคู่ครับ

ป.ล. ข้อนี้ใช้ทวินามได้ด้วยเหรอครับ

ข้อแรกผมได้225เท่าครับ(ไม่รู้ถูกรึเปล่า)

ป.ล. อย่าหาว่าผม double post นะมันไม่มีใครตอบคั่นมาเลยจริงๆนะ

ข้อ 1 ตอบ 169 เท่ารึเปล่าคะไม่ชัวเท่าไร

คิดยังไงเหรอครับ?:confused:

วิธีทำยาวมากมายครับตอนนี้ถ้าคุณว่างๆลองคิดเองก่อนนะครับพอผมว่างๆแล้วจะมาโพสต์ให้

อยู่ในเล่มสีฟ้าที่เฉลย สพฐ รอบระดับประเทศ อะครับ:great::great:

ถ้ามันยากมากๆจนคิดไม่ออก ผมก็แก้ปัญหา่ง่ายๆคือวาดรูปแล้วใช้ไม้บรรทัดวัดเอาเลยครับ:p
หลังจากลองผิดลองถูกมาหลายครั้งผมก็ได้คำตอบว่า225เท่าครับ

ผมว่าสามเหลี่ยมข้างในเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า กำลังดู menelaus theorem ว่าจะใช้ได้หรือเปล่า ถ้าหาอัตราส่วนด้านของสามเหลี่ยมเล็กกับ สามเหลี่ยมใหญ่ได้ ก็น่าจะทำได้ เท่าที่ดูคร่าวๆ น่าจะเป็น 15 : 1 ดังนั้น คำตอบน่าจะเป็น 225



มีโจทย์เก่า ลองดูเป็นแนวทางครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5650


Ceva's and Menelaus's Theorems

เอาที่ไม่ใช่เรขาก่อนครับ :cry:
2. 987
3. 025
4. 42 คำตอบ

คิดยังไงอ่ะครับข้อ2เนี่ย:sweat:

คูณ รูท x ขึ้นให้หมด แล้วย้ายตัวไหนก็ได้ไปฝั่งซ้าย อัดกำลองสองแล้วแก้ออกมาจะได้สมการ

$x^2-x-1 = 0$
$x^2 = x+1$
$x^4 = x^2+2x+1 = 3x+2$
..
หลังจากนี้ทำต่อไปเลยครับ

คือที่ทำใช้สามเหลี่ยมคล้ายค่ะ ถ้าให้จุดD เป็นจุดตัดระหว่าง BR,AQ, จุด E เป็นจุดตัดระหว่าง BR,PC และ จุดF เป็นจุดตัดระหว่าง AQ,PC แล้ว ดูสามเหลี่ยมคล้าย 2 รูป คือ สามเหลี่ยม ADR กับ สามเหลี่ยม AQC และ สามเหลี่ยม APFกับ สามเหลี่ยม ABQ ตั้งสมการอัตราส่วนด้านไปเรื่อยๆก็ออกค่ะ แต่จิงอย่างที่คุณ banker บอกสามเหลี่ยมนั้นต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าค่ะ :kiki:


ป.ล. วาดรูปช่วยจะง่ายขึ้นมาก

แถมหน่อยนะคะ ข้อ 7 ตอบ 649.698 ตารางหน่วยรึเปล่าคะ (เลขทึกมาก)

เอาโจทย์กับรูปมาตั้งไว้ก่อน







$\frac{AF}{FQ} = \frac{105}{64}$




$\frac{AD}{DQ} = \frac{120}{49}$


AF : FD : DQ = 105 : 15 : 49
อีกสองเส้น ก็จะได้อัตราส่วนเดียวกัน

ข้อแปดอ่ะครับที่ขึ้นต้นด้วยเลขเจ็ดผมงงๆอ่ะครับเพราะมันใช้พีธากับความสัมพันธ์แล้วไม่ตรง

มาถึงทางตัน menelaus ช่วยไม่ได้

เรขาคณิตคิดไม่ออก บอก(อาจารย์)ไมตรี :D





สามเหลี่ยม $BDQ $ คล้าย สามเหลี่ยม $BRC$

$\frac{a}{15} = \frac{7}{a+b+c} = \frac{c}{7}$

$a(a+b+c) = 105 $ ..........(1)
$c(a+b+c) = 49$ ...........(2)

สามเหลี่ยม $ADR$ คล้าย สามเหลี่ยม $AQC$

$\frac{AR}{AQ} = \frac{DR}{QC} = \frac{AD}{AC}$

$\frac{8}{a+b+c} = \frac{b+c}{8} = \frac{a+b}{15}$

$(b+c)(a+b+c) = 64$ .........(3)

$(a+b)(a+b+c) = 120$ ..........(4)

(3)+(1) ......$(a+b+c)^2 = 169$


$(a+b+c) = 13$

(3)-(2) ..... $b(a+b+c) = 15$

$b= \frac{15}{13}$

$\frac{สามเหลี่ยมABC}{สามเหลี่ยมDEF} = \frac{15^2}{(\frac{15}{13})^2} = 13^2 = 169$

ช่วยข้อแปดทีครับผมใช้พีธากับความสัมพันธ์ที่เค้าให้มามันไม่ตรงกันอ่ะครัย

ข้่อเจ็ด ไม่มีคำตอบ :p

ข้อ3 คิดยังไงอ่ะครับ

โจทย์ข้อนี้ ถึงทางตันจริงๆ

ถ้าอยู่ในห้องสอบ ขออนุญาตใช้วิชามารก็แล้วกันครับ



เนื่องจากโจทย์ไม่ได้กำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของจุด P
จึงขออนุญาตให้จุด P อยู่บนเส้นทแยงมุม AC

ABP = 2, และ BPC = 5
ดังนั้นครึ่งสี่เหลี่ยม ABCD = 7
AP : PC = 2 : 5
ทำให้ APD =2
BPD = 7 - 2 - 2 = 3

ตอบ BPD = 3 ตารางหน่วย

ทำไม BPD = 7 - 2 - 2 หล่ะครับไม่เข้าใจ

ABD เป็นครึ่งสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD = 7 ตารางหน่วย

BPD = ABD - ABP - APD

BPD = 7 - 2 - 2 = 3

อ๋อ...เข้าใจแล้วครับ

ให้ A เป็นจุดหมุน แกว่งสามเหลี่ยม APB ทวนเข็มนาฬิกามาที่ ACQ โดยให้ AB ทับ AC, AQ = AP = 10 และ QC = PB = 12

จะได้สามเหลี่ยม APQ เป็นสามเหลียมด้านเท่า

พื้นที่สี่เหลี่ยม APCQ = สามเหลี่ยมAPQ + สามเหลี่ยม PQC

= $(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2) + (\sqrt{(18)(18-10)(18-12)(18-14)})$ .....สามเหลี่ยม PQC ใช้ Heron's (or Hero's) formula

= $(100 \frac{\sqrt{3}}{4}) + ( 24 \sqrt{6})$ .................(1)

ทำนองเดียวกันก็จะได้ พื้นที่สี่เหลี่ยม BPCR = $(169 \frac{\sqrt{3}}{4}) + ( 24 \sqrt{6})$ .................(2)

และ พื้นที่สี่เหลี่ยม APBS = $(144 \frac{\sqrt{3}}{4}) + ( 24 \sqrt{6})$ .................(3)

(1)+(2)+(3) ........$2\bigtriangleup ABC = 110\sqrt{3} + 72\sqrt{6}$

$\bigtriangleup ABC = 55\sqrt{3} + 36\sqrt{6}$

จากโจทย์ข้างต้น อ่านดูแล้ว จับใจความได้ว่า
เมื่อพนักงานคนที่ n ได้รับกระดาษมาแล้ว ก็จัดการเอา n ชิ้นมาฉีกชิ้นละ 5 ส่วน บวกกับที่เหลือ พร้อมส่งต่อ

ดังนั้น ชิ้นส่วนที่พร้อมจะส่งต่อ = 2n(n+1) +5



ทดสอบคนที่ 1 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 1(1+1) + 5= 9 $ ชิ้น
ทดสอบคนที่ 2 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 2(2+1) + 5= 17 $ ชิ้น
ทดสอบคนที่ 3 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 3(3+1) + 5= 29 $ ชิ้น
ทดสอบคนที่ 4 กระดาษที่พร้อมจะส่งต่อ = $2\cdot 4(4+1) + 5= 45 $ ชิ้น

แทนค่า k ของพนักงานคนที่ k
$2k(k+1) +5 \geqslant 2006$

$2k(k+1) \geqslant 2001$

$2k^2 +2k \geqslant 2001$

$2k^2 +2k -2001 \geqslant 0$

K = 32

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2008}$

$xy = 2008x+2008y$

$xy-2008x-2008y=0$

$xy-2008x-2008y+2008^2=2008^2$

$(x-2008)(y-2008) = 2^6\times 251^2$

จึงมี (6+1)(2+1) =21 คำตอบ

ขอบพระคุณคุณ banker มากครับที่เล่นกระทู้นี้มาคนเดียวตลอดไม่เหงาบ้างเหรอครับ

ก็เหงาเหมือนกัน คือทำไปๆก็ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า (แต่ก็มันดี) :D

ว่าแต่คุณปลาทูทอดมีเฉลยคำตอบไหมครับ (ว่าข้อไหนตอบอะไร)

ใครก็ได้ช่วยเฉลยข้อ3.ให้หน่อยเถอะครับ
:please::please::please::please::please::please:
:please::please::please::please::please::please:

ไม่รู้เหมือนกัน

รู้แต่ว่า ${2^2}^{1945} \not= {4}^{1945} $


กำลังคิดว่า ถ้าตัด +1 ออก แล้วเปลี่ยนโจทย์เป็นว่า

${2^2}^{1945}$ หารด้วย $10^3$ เหลือเศษเท่าไร

แล้วทำยังไงต่อ ?

ขอเวลาไปเปิดหนังสือดูก่อนครับ

ผมไม่ได้ไปดูหนังสือ แต่ไปดูสลากล็อตเตอรี่เลขท้าย 3 ตัว มันออก 297 ครับ(ควันหลงจากซีรี่ย์แก้เซ้ง ซื้อล็อตเตอรี่):laugh::laugh:

ว่าแต่คุณหยินหยางบอกว่าคุณbankerอาจเป็นกลุ่มมิจฉาชีพเพราะชักชวนให้ซื้อฉลากแต่คราวนี้ทำไมคุณหยินหยางถึงชักชวนองล่ะครับ...รึว่าคุณ หยินหยางจะเป็นกลุ่มมิจฉาชีพซะเอง!!!

เขาแซวกันเล่น อย่าซีเรียสครับคุณหมาป่าขาว :D


55555 หัวเราะเข้าไว้ แล้วชีวิตจะมีความสุข :haha: :haha: :haha:

คุณbankerครับ ผมไม่ได้ซีเรียสเลยจริงๆนะครับ
แต่ว่าผมว่าผมก็อาจจะซีเรียสกับโจทย์ข้อ3อยู่นะสิครับ
5555555+ คิดไม่ออกเลยจริงๆ

คือผมไม่ได้ชักชวนให้ไปซื้อนะครับ ผมแค่ให้ไปดูสลากเท่านั้น พอดีคำตอบมันอยู่ในนั้นครับ:haha::haha:
ปล.เวลาจะตอบโจทย์คุณ banker ไม่ง่ายนะครับเพราะไม่ใช่แค่หาคำตอบ ยังต้องดูว่าเข้าเงื่อนไขที่คุณ banker ตั้งอีกหรือไม่:D:D

ข้อ 2 ยกกำลังเยอะๆ แล้วหาวนเอาเลยครับ เหมือนจะนานแต่แป๊ปเดียวครับ ^^