Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   ข้อสอบโอลิมปิก (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=28)
-   -   IMO 56th 2015, Chiang Mai (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22665)

nongtum 10 กรกฎาคม 2015 16:48
IMO 56th 2015, Chiang Mai
 
ข้อสอบโอลิมปิกที่เชียงใหม่ครับ

Beatmania 10 กรกฎาคม 2015 16:54
ทำไมเขาชอบเอา Geometry มาลงข้อสามอ่ะครับ - -" เห็นแล้วสงสารคนชอบเรขา :haha:

nongtum 11 กรกฎาคม 2015 16:44
อัพโหลดครบสองวันแล้วครับ ใครใคร่แชร์ใคร่แสดงฝีมือ เชิญได้เลยครับ

จูกัดเหลียง 14 กรกฎาคม 2015 14:25

ปล.ตอนนี้คิดได้ข้อเดียวก็ดีใจเเย่เเล้วครับ :haha:
ปล2. ผมงงโจทย์ข้อ 6 อ่ะครับ $N$ นี่เกี่ยวไรด้วย

nooonuii 14 กรกฎาคม 2015 15:30
เหมือนจะเป็นอีกวิธีที่ไม่เหมือนกับผู้เข้าแข่งขันคนใดเลยนะครับเนี่ย รวมทั้ง official solution ด้วย

เยี่ยมครับ ได้ 7 คะแนนเต็ม :great:

ป.ล. Case $f(0)=0$ สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากครับว่า $f(1)=1$

nooonuii 14 กรกฎาคม 2015 15:34
จริงๆแล้วโจทย์ข้อ 4,5,6 ควรจะเป็นโจทย์อีกชุดนึงครับ

แต่เนื่องจากเกิดความผิดพลาดทางเทคนิค ทาง Jury จึงเปลี่ยนโจทย์ออกมาเป็นอย่างที่เห็น

ซึ่งข้อ 5 นี้เข้าทางเด็กไทยมากทำกันได้เยอะเลยในขณะที่ทีมระดับ TOP10 พลาดข้อนี้กันไปเยอะ

nongtum 14 กรกฎาคม 2015 20:43
งี้แสดงว่าที่ลือๆใน AoPS ก็มีมูลนะสิครับ

จูกัดเหลียง 15 กรกฎาคม 2015 06:06
ขอบคุณครับ ผมก็ทราบมาว่าข้อสอบวันที่สองเดิมรั่วจึงต้องเปลี่ยน

รบดวนอธิบายข้อที่ 6 ทีครับ ผมไม่เข้าใจจริงๆ

ความรู้ยังอ่อนด้อย 15 กรกฎาคม 2015 16:35
อยากรู้คะแนนทีมไทยจังเลยครับ :D

gon 15 กรกฎาคม 2015 19:42
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย (ข้อความที่ 178892)
อยากรู้คะแนนทีมไทยจังเลยครับ :D
ตามนี้ครับ. http://www.imo-official.org/team_r.a...=THA&year=2015

จูกัดเหลียง 17 กรกฎาคม 2015 11:13
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 178874)

กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$
พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า
$$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$
จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง
$$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$
ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$
จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$
จริงๆเเล้วผมพบว่ามันผิดนะครับ ต้องขออภัยด้วย :please:
พิสูจน์ได้โดยง่ายจากการเเทน $y=0$ ในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x+f(x))=x+f(x)$ เเทน $x$ ด้วย $f(x)$ ทำให้ได้ $f(2f(x))=2f(x)$
จากนั้น เเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$$
เเล้ว เเทน $x$ ด้วย $y+f(x)$ ได้ว่า $$2f(x)+f(yf(x))=f(2f(x))+f(yf(x))=2f(x)+yf(x)\rightarrow f(yf(x))=yf(x)$$
จึงได้ $f(x)=x$ ตามต้องการ

OsTan 20 กรกฎาคม 2015 10:43
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 178907)
จริงๆเเล้วผมพบว่ามันผิดนะครับ ต้องขออภัยด้วย :please:
พิสูจน์ได้โดยง่ายจากการเเทน $y=0$ ในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x+f(x))=x+f(x)$ เเทน $x$ ด้วย $f(x)$ ทำให้ได้ $f(2f(x))=2f(x)$
จากนั้น เเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$$
เเล้ว เเทน $x$ ด้วย $y+f(x)$ ได้ว่า $$2f(x)+f(yf(x))=f(2f(x))+f(yf(x))=2f(x)+yf(x)\rightarrow f(yf(x))=yf(x)$$
จึงได้ $f(x)=x$ ตามต้องการ
เผอิญผ่านมาเห็น ตรงสีแดงน่าจะเป็นแบบข้างล่างมากกว่าหรือเปล่าครับ :confused:
$$f\big(f(x)+f(y+f(x))\big)+f(yf(x))=f(x)+f(y+f(x))+yf(x)$$

Aquila 23 กรกฎาคม 2015 23:15
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OsTan (ข้อความที่ 178936)
เผอิญผ่านมาเห็น ตรงสีแดงน่าจะเป็นแบบข้างล่างมากกว่าหรือเปล่าครับ :confused:
$$f\big(f(x)+f(y+f(x))\big)+f(yf(x))=f(x)+f(y+f(x))+yf(x)$$
เขาหมายถึง store $x$ ด้วย $y+f(x)$ ในสมการข้างบน

$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$ สมการนี้ครับ

ก็จะได้ตามที่พิมพ์มาแหละครับ

------------------------------------------------------------------
# คุณจูกัดเหลียง ถ้าผมชมว่า solution สวยมาก ตอนนี้ยังสายไปไหมครับ :laugh:

Edit ที่ 2

สมการสุดท้ายที่เอาไว้สรุปคำตอบ $f(yf(x))=yf(x)$ สมการนี้แทน $x=1$

ต้องอ้างผลจาก $f(1)=1$ ด้วยครับ (ซึ่งหาได้จาก $f(-1)=-1$ มั้งถ้าจำไม่ผิดครับ)

นอกนั้นจากที่อ่านๆดูยังไม่มีที่ผิดครับ :great:

ส่วน Edit ที่ 1 ถ้าผิดเฉพาะตรงสีแดงๆ ลองแทน $x$ ด้วย $-f(x+y)$ ใน original ดูครับ

จะได้ $f(-yf(x+y))=yf(-f(x+y))$ แล้วแทน $x$ ด้วย $x-y$ ในสมการล่าสุด

จะได้ $f(-yf(x))=yf(-f(x))$ แทน $x=1$ แล้วใช้ผลของ $f(-1)$ กับ $f(1)$ มาสรุปได้เลย

ถ้าส่วนข้างบนของคุณจูไม่มีอะไรพลาดแก้ตามข้างบนก็ได้ครับ

ถือว่าคุณจูกัดเหลียงคิดออกมาได้ 2 solution เลยนะ :cool:

-------------------------------------------------------

ส่วนข้อ 6 ไว้ค่อยคุยกันครับ :rolleyes:

OsTan 27 กรกฎาคม 2015 11:46
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila (ข้อความที่ 178975)
เขาหมายถึง store $x$ ด้วย $y+f(x)$ ในสมการข้างบน

$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$ สมการนี้ครับ

ก็จะได้ตามที่พิมพ์มาแหละครับ
รบกวนถามอีกนิดนึงนะครับ

เข้าใจว่าหมายความว่า แทน $x=y+f(x)$ โดยที่ $x$ ตัวแรกกับตัวหลังเป็นตัวเดียวกัน (คือมีค่าเท่ากับแทน $y=x-f(x)$) ก็จะได้ออกมาตามที่พิมพ์

แต่ถ้าเป็นอย่างนั้น ตอนที่ได้สมการ $f(yf(x))=yf(x)$ ก็จะยังสรุปไม่ได้ว่า $f(x)=x$ นะครับ เพราะว่า $y$ กับ $x$ ไม่เป็นอิสระต่อกัน (กล่าวคือ $y=x-f(x)$ เท่านั้น)

คือจะได้ข้อสรุปว่า $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ แทนครับ

Aquila 27 กรกฎาคม 2015 12:32
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OsTan (ข้อความที่ 179004)
รบกวนถามอีกนิดนึงนะครับ

เข้าใจว่าหมายความว่า แทน $x=y+f(x)$ โดยที่ $x$ ตัวแรกกับตัวหลังเป็นตัวเดียวกัน (คือมีค่าเท่ากับแทน $y=x-f(x)$) ก็จะได้ออกมาตามที่พิมพ์

แต่ถ้าเป็นอย่างนั้น ตอนที่ได้สมการ $f(yf(x))=yf(x)$ ก็จะยังสรุปไม่ได้ว่า $f(x)=x$ นะครับ เพราะว่า $y$ กับ $x$ ไม่เป็นอิสระต่อกัน (กล่าวคือ $y=x-f(x)$ เท่านั้น)

คือจะได้ข้อสรุปว่า $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ แทนครับ
จริงด้วยนะครับ ลืมคิดประเด็นนี้ไป ผมไม่ได้เอะใจเลย เพราะงั้นถ้าแทน $x=1$ ก็ให้ผล $f(0)=0$ จริงๆด้วย

แล้วจะแก้ยังไงครับ ถ้าจะทำต่อจาก $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ ผลลัพธ์ตรงนี้
---------------------------------------------------------------------------
รบกวนเชคอีก 2 quotes นี้หน่อยครับ มีที่ผิดตรงไหนบ้าง ช่วยๆกันดู :laugh:

QUOTE ล่าง แทนแบบนี้ได้หรือเปล่าครับ มันจะมีปัญหาเรื่องความอิสระของตัวแปรอีกมั้ย

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 178874)
กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$
พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า
$$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$
จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง
$$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$
ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$
จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila (ข้อความที่ 178975)

ส่วน Edit ที่ 1 ถ้าผิดเฉพาะตรงสีแดงๆ ลองแทน $x$ ด้วย $-f(x+y)$ ใน original ดูครับ

จะได้ $f(-yf(x+y))=yf(-f(x+y))$ แล้วแทน $x$ ด้วย $x-y$ ในสมการล่าสุด

จะได้ $f(-yf(x))=yf(-f(x))$ แทน $x=1$ แล้วใช้ผลของ $f(-1)$ กับ $f(1)$ มาสรุปได้เลย

OsTan 27 กรกฎาคม 2015 18:00
ครับ :)

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila (ข้อความที่ 178975)
ส่วน Edit ที่ 1 ถ้าผิดเฉพาะตรงสีแดงๆ ลองแทน $x$ ด้วย $-f(x+y)$ ใน original ดูครับ

จะได้ $f(-yf(x+y))=yf(-f(x+y))$ แล้วแทน $x$ ด้วย $x-y$ ในสมการล่าสุด

จะได้ $f(-yf(x))=yf(-f(x))$ แทน $x=1$ แล้วใช้ผลของ $f(-1)$ กับ $f(1)$ มาสรุปได้เลย
สำหรับ quote ล่าง คิดว่าถ้าแทน $x$ ด้วย $-f(x+y)$ แล้วจะกลายเป็นเงื่อนไข ถ้า-แล้ว แบบนี้ครับ

"ถ้า $x=-f(x+y)$ แล้ว $f(-yf(x+y))=yf(-f(x+y))$"

แล้วทีนี้ เราแทน $x$ ด้วย $x-y$ ลงไปในตัวเงื่อนไข (เมื่อ $x$ ทั้งสองเป็นคนละตัวกัน) จะได้ว่า

"ถ้า $x-y=-f(x)$ แล้ว $f(-yf(x))=yf(-f(x))$"

ก็จะติดปัญหาคล้ายๆ เดิมว่า ต้องเป็น $y=x+f(x)$ เท่านั้นครับ

Aquila 27 กรกฎาคม 2015 20:31
ขอบคุณมากครับ คุณณัฐ :cool:

quote บนไม่มีอะไรผิดพลาดใช่ไหมครับ :great:

OsTan 28 กรกฎาคม 2015 12:10
อ่า โทษทีครับ ผมเช็คแค่ quote ล่าง เพราะเหมือน quote บนเจ้าตัวจะบอกว่าเองว่าผิดไปแล้ว :please:

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 178874)
กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$
พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า
$$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$
จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง
$$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$
ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$
จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$
สำหรับ quote บน ผมทำมาได้ตรงกันถึงตรงที่ว่า "ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิม" ครับ อันนี้จะได้ว่า

$yf(x)+f\big(x(f(x+y)-x)\big)=f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$

(ตรงนี้ยังตรงกันอยู่ครับ)

ทีนี้ พอบอกว่า แทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ ก็จะกลายเป็นเงื่อนไขถ้า-แล้ว

"ถ้า $x=f(x+y)$ แล้ว $yf(x+y)=f(yf(x+y))$"

จากนั้นแทน $x$ ด้วย $x-y$ ลงในเงื่อนไข จะได้

"ถ้า $x-y=f(x)$ แล้ว $yf(x)=f(yf(x))$"

ทำให้ติดปัญหาความอิสระของตัวแปรคล้ายเดิมครับ

จูกัดเหลียง 28 กรกฎาคม 2015 15:35
ต้องขอรบกวน ท่านทั้งสองเป็นอย่างมากครับที่จริงต้องบอกว่าผมยังไม่ได้ซัก solution เลยมากกว่า ถ้าไม่เป็นการรบกวนเกินไปผมอยากเห็น Solution ของ

คุณณัฐครับ เพราะเอาเข้าจริงๆตอนนี้ผมคิดต่อไม่ออกเเล้วครับ (วิธีทำที่ว่าตรงกันนะครับ) :)

ปล.มันหลอกตาผมมากเลยครับ :haha: เชื่อว่าคงหลอกหลายๆท่านด้วย ต้องขออภัยมา ณ ที่นี้จริงๆครับ


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:09

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha