ข้อสอบ สพฐ. 2557 รอบที่ 2 (9 มี.ค.57)
 

มีผู้ปกครองท่านหนึ่งส่งมาให้ช่วยลงและเฉลยกันครับ. :great:

Attachment 16036
Attachment 16037
Attachment 16038
Attachment 16039
Attachment 16040





หมายเหตุ ดูโจทย์และเฉลยเวอร์ชันจำมาที่หัวข้อนี้ประกอบด้วยครับ. :rolleyes:

ข้อสอบ สพฐ รอบ2 ปี2557

ยังไม่เห็นข้อ 20 ... ขอคร่าวๆเลยนะครับ
คือผมให้ $s = \frac{a+b+c}{2}$ ด้วยเหตุที่มันทำให้ผมนึกถึงพื้นที่ (ซึ่งไม่ได้ใช้พื้นที่เเก้ = = ) เเล้วผมจะได้พจน์ที่เหลือๆเป็น $s-c,s-b,s-a$ เพื่อความสะดวกของผม ผมเเต่ละตัวเป็น $z,y,x$ ไป ผมจะได้ว่า $x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$
เเล้วไปจัดสมการโจทย์ใหม่ได้ออกมาเป็น

$xz=18^2y$
$xy=(22.5)^2z$
$yz=(40)^2x$

เเล้วเเก้หาเเต่ละตัวโดยคูณสมการทุกสมการเข้าด้วยกันได้ค่าของ $xyz$ ออกมา เเล้วเอามาหาค่า $x,y,z$ ได้ ก็เอาไปหา $a+b+c$ ได้ $4050$ อะครับ

ข้อ 8 ก็ยังไม่เห็น
ให้บรรจุลงกล่องใหญ่ (12 ผล) x กล่อง
ให้บรรจุลงกล่องเล็ก (5 ผล) y กล่อง
เราจะได้ว่า $12x+5y=99$ โดยที่ $x+y>10$
ไล่ $x,y$ ไปเรื่อย พบว่ามี $(x,y) = (2,15) , (7,3)$ เเต่ $x+y>10$
ดังนั้น $(x,y) = (2,15)$ จะได้ $x+y=17$
ใช้กล่องไปทั้งหมด $17$ กล่อง

ข้อ 12
สังเกตุตรง $|a_n|-|a_n -1|$ ก่อน ถ้ามาเเยกกันจะรู้ว่า
case 1 : ถ้า $a_n\leqslant 0$ --> ค่าที่ได้เป็น $-1$
case 2 : ถ้า $0<a_n<1$ --> ค่าที่ได้เป็น $2a_n -1$
case 3 : ถ้า $a_n\geqslant 1$ --> ค่าที่ได้เป็น $1$

ค่อยๆดูไปทีละตัว
เเทน $n=4$ : $\frac{1}{2} = |a_4|-|a_4 -1|$ เห็นว่าค่าของมันไม่ใช่ -1,1 ดังนั้นมันจะเข้ากรณีที่ 2
$2a_4 - 1 = \frac{1}{2}$
$a_4 = \frac{3}{4}$

เเทน $n=3$ : $\frac{3}{4} = |a_3|-|a_3 -1|$ เห็นว่าค่าของมันไม่ใช่ -1,1 ดังนั้นมันจะเข้ากรณีที่ 2
$2a_3 - 1 = \frac{3}{4}$
$a_3 = \frac{7}{8}$

เเบบนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะได้ว่า $a_1 = \frac{31}{32}$

ดังนั้น $p+q=31+32=63$

ข้อ 13 ไม่รู้วิธีว่าถูกไหม

ลองวาดรูปเล็กๆก่อน เช่นด้านเเต่ละด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น 1 จะได้ว่ามันเเบ่งเป็นสามเหลี่ยมได้ 2 รูป
เเล้วเราจะพบว่า ถ้าให้ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น a กับ b จะพบว่า จะได้สามเหลี่ยมออกมา $2ab$ รูป
ดังนั้น $ab = 231$

เเยกตัวประกอบไล่หา $a,b$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดออกมา เพื่อหาค่าของ $2(a+b)$ ที่ต่ำที่สุด
พบว่าค่าของ a+b จะต่ำสุดเมื่อ $a,b$ เป็น $11,21$ จะได้ว่า $a+b = 32$
ดังนั้นเส้นรอบรูปน้อยที่สุดเป็น $2(a+b) = 2(32) = 64$ เซนติเมตร

ข้อ 17 อ้างอิงจากคุณ gon ในข้อความ #10
 

ทำอย่างไรถึงได้คำตอบ
$\frac{1}{3}(11^2+16^2+17^2) = 222$
ขออธิบายเพิ่มเติมหน่อยนะครับ :please:

ข้อ 5 ทำอย่างไรครับ อ่านจากในอีกโพสท์ก็ไม่เข้าใจครับ
 

คำถามถามว่าค่าของ x ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเท่าใด
ถ้าตอบ 3 แสดงว่า x เป็นได้ 3 ค่าใช่ไหมครับ แล้วเป็นเท่าไรได้บ้าง

ข้อ 11
 

ได้คำตอบ 263 ครับ

ข้อ 20 ขออธิบายเพิ่มอีกนิดครับ
 

ทำตาม #2 ถ้าจัดสมการโจทย์ใหม่ ผมได้ออกมาเป็น

$sxz=18^2y$
$sxy=(22.5)^2z$
$syz=(40)^2x$

เเล้วคูณสมการทุกสมการเข้าด้วยกันจะได้ $s^3xyz$ = $\frac{(18)^2(45)^2(40)^2}{4}$ แล้วทำยังไงต่อครับ หรือผมทำผิดตรงไหน ช่วยแนะนำด้วยครับ

จากกฎของไซน์ (law of sine) เวอร์ชันสมบูรณ์แบบครับ. :great:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

เมื่อ R แทน ความยาวรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC ครับ.

นั่นก็คือ $R = \frac{a}{2\sin A}$

เช่น เราจะได้ว่า $a_1 = \frac{11}{2\sin 120^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 11 $ เป็นต้นครับ.

ไม่ใช่ครับ ที่ตอบ 3 หมายความว่า เป็นไปได้ค่าเดียว คือ 3 เท่านั้น

ข้อนี้โชคดีว่าเวอร์ชันจำมา กับเวอร์ชันถูกต้อง วิธีทำต่างกัน แต่ได้คำตอบเท่าเดิมคือ 3 ครับ. :yum:

ต้องขอรบกวนคุณ gon อธิบายอีกนิดนะครับ เพราะไม่เข้าใจจริงๆ โดยเฉพาะตรงที่โจทย์บอกว่า $f(x)=g(x)$ มันไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกันเหรอครับ :confused:

ตรงบรรทัดท้ายสุด ผมเปลี่ยนโจทย์เป็นแบบนี้แล้วกันครับ.

จงหาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้สมการ f(x) = g(x) เป็นจริง

ดีขึ้นหรือยังครับ. :)

ให้ $f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+d$
ถ้า $f(x)=g(x)$ แล้ว $ax+b=cx+d$ หรือ $x=\dfrac{d-b}{a-c}$ เพราะ $a \not= c,b \not= d$
$f(1)+f(3)+f(5)=g(1)+g(3)+g(5)$
$9a+3b=9c+3d$
$3a+b=3c+d$
หรือ $d-b=3a-3c$
ดังนั้น $x=3$ เท่านั้น

ขอรบกวนข้อ 18 ด้วยนะครับ
 

ขอขอบคุณ คุณ gon และคุณฟินิกซ์ ครับ
ผมขอรบกวนข้อ 18 ด้วยนะครับ

ข้อที่ 18. ลบเส้น BT ทิ้งไปก่อน โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ $AM^2 = 91^2-BM^2 = 105^2-(98-BM)^2$ ดังนั้น $BM = 35, MC = 63, AM = 84$

:)

ขอบคุณครับคุณ gon :great: ผมเข้าใจว่าคงพิมพ์ผิดนิดนึงครับ $[MAT] = b$
อยากรบกวนข้อ 20 อีกสักข้อนะคร้าบ จากที่คุณ Suwiwat B ค้างไว้ ผมไปต่อไม่ได้น่ะครับ :sweat:

ข้อ 22
 

ลองใช้โปรแกรม GSP วาดดูได้คำตอบเป็น 110 แต่อธิบายไม่ได้ว่ามายังไง ใครทราบบอกด้วยครับ :please:

เอาแบบเหตุผล 99% ก่อนนะครับ :happy:

สมมติให้ทุกจำนวนมากกว่าศูนย์ (4 ตัว) ดังนั้น $a, b, c$ จะเป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม

ถ้า $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

จากสมการ (1) จะได้ $\Delta/(s-b) = 18$

ข้อนี้ ถ้าใช้ตรีโกณมิติ ม.ปลาย ผมทำได้ไม่นานเสร็จครับ (ไม่เกิน 2 นาที) แต่ถ้าทำแบบ ม.ต้น ผมยังไม่ได้คิด (คิดออกเป็นบางครั้ง :haha: )

ให้มุม $AMB = x$ องศา

ถ้าลองวาดรูปดู จะได้เงื่อนไขของมุมคือ $80^{\circ} < x < 150^{\circ}$ (มุมทุกมุมต้องมากกว่า 0)

และรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $(AB = AC)$

เนื่องจาก $\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{AM} \cdot \frac{AM}{AC}$

โดยกฎของไซน์จึงได้ $1 = \frac{\sin x}{\sin(150^{\circ}-x)} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 150^{\circ}}$

แบบนี้เหรอครับ แล้วยังไงต่อดีล่ะ ไปไม่ถูก :wacko:

จากวิธีของคุณAmankris จะได้

1.ABB'=สามเหลี่ยมด้านเท่า

2.ACB'=สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

3.AMC,BCB'=สามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ

จากผล3ข้อนี้จะหามุมAMBได้

สวัสดีค่ะ ดิฉันขอเสนออีกวิธีหนึ่งค่ะ
(อาจแสดงวิธีทำได้ไม่หมดนะคะ แอบเล่นในงานกาล่าค่ะ)

ลองสะท้อน A ผ่าน CM ดูนะคะ

หาสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ มาสองสามรูป ค่ะ

ปล. เราได้ความสัมพันธ์ระหว่าง AM กับ BC ด้วยนะคะ ดิฉันคิดว่าสวยดีค่ะ (หมายถึงดิฉันน่ะค่ะที่สวย)

วิธีของคุณ Schylla_Shadowจะได้

1.AMA'เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

2.AMCและA'MCเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

3.AA'B,AMBและCBA'ต่างเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

เทียบมุมแล้วจะได้มุมAMB=110องศา เหมือนกัน

$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$ โจทย์ต้องการ $a+b+c=2s=90$ ใช่หรือเปล่าคะ :please:

ข้อ 20 ขอเสนออีกวิธีค่ะ
ให้ $w=\sqrt{a+b+c}$ , $x=\sqrt{a+b-c}$ , $y=\sqrt{b+c-a}$ , $z=\sqrt{c+a-b}$
จะได้ว่า $x^2+y^2+z^2=w^2$
[ต้องการหา $a+b+c=w^2$]
จากโจทย์จะได้สมการ
$\displaystyle\frac{wxy}{z}=36$ ......$(1)$

$\displaystyle\frac{wyz}{x}=45$ ......$(2)$

$\displaystyle\frac{wxz}{y}=80$ ......$(3)$

$(1)\times (2);\,\,\,\,w^2y^2=36\cdot 45$ ......$(4)$
$(2)\times (3);\,\,\,\,w^2z^2=45\cdot 80$ ......$(5)$
$(1)\times (3);\,\,\,\,w^2x^2=36\cdot 80$ ......$(6)$

$(4)+(5)+(6);\,\,\,\,w^2(x^2+y^2+z^2)=36\cdot 45+45\cdot 80+36\cdot 80$
$w^4=8100$
$\therefore w^2=90$

ข้อ2 นะฮะ หลักคือเราค่อยๆกระจายอย่างมีหลักการครับ
$(a-b)a+(a-b)(b-c)+(b-c)b+(b-c)(c-a)+(c-a)c+(c-a)(a-b)$
$(a-b)[a+c-a]+(b-c)[a-b+b]+(c-a)[b-c+c]=0$.....ตามนั้นครับ

สรุปคำตอบเพื่อชนรุ่นหลัง
ส่วนที่ 1 ข้อ 1-15
ตอนที่ 1
1. ค
2. ก
3. ก
4. ง
5. จ
ตอนที่ 2
6. 20 ตร. ซม
7. 991 ก้อน
8. 17 กล่อง
9. 3 แบบ
10. 7
11. x = 263
12. 63
13. 64 ซม.
ตอนที่ 3
14. แสดงวิธีทำ
15. แสดงวิธีทำ

ส่วนที่ 2 ข้อ 16-25
ตอนที่ 1
16. 125
17. 222
18. 336 ตร. หน่วย
19. 930930
20. a+b+c = 90
ตอนที่ 2
21. 90606
22. 110°
23. 1
24. -1296
25. 198

ขอวิธีการข้อ 7 ด้วยครับ ขอบคุณครับ:please::please:

Attachment 17299
จำนวนchocolateที่ให้ไปนับแต่วันแรก คือ $1+2+4+8+ ...$
จะได้ว่ามันคือ $2^n-1$ โดย $n$ คือจำนวนวัน ค่ะ

ผู้ใดมีวิธีทำข้อ 25 ขอด้วยนะครับ :please:

สังเกตตรงผลบวกหลักหน่วย ได้ a+b ต้องเท่ากับ 10
ตรงผลบวกหลักสิบ จาก a+b=10 ,c ได้ไม่เกิน 9
ทดไปหลักร้อย ต้องเป็นเลข 1 หรือ 2(ถ้า c =9 เพราะรับทดมาจากหลักหน่วย)
แต่เมื่อทำ a=2 ไม่ได้แน่นอน
ดังนั้น a=1 ทำให้ b=9 และลองแทนค่ากลับไปจะได้ c=8
ตอบ 198