ข้อสอบ สพฐ รอบที่2 (2556) สอบ สพฐ 9/3/56
 

ที่ไปสอบระดับประเทศ ม.ต้น เขาแจกข้อสอบกลับคืนมาไหมครับ???:please:

จากปีที่แล้ว + ปีก่อนๆ เขาแจกไหมครับบ

ขอบคุณครับ

ขอบคุณครับ

ปีนี้รอบสองง่ายกว่ารอบแรกอะครับ (เท่าที่ผมรู้สึก)

พอจำข้อสอบได้กันบ้างไหมครับ

Find the largest prime number a that is factor of $3^{20}+3^{19}-12$ (?)
8 marks

757 หรือป่าวครับ ลองแยกตัวประกอบแล้วครับ แยกได้เป็น
$12(3^3-1)(3^6+3^3+1)(3^3+1)(3^6-3^3+1)$ ครับ ซึ่งจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดคือ $3^6+3^3+1$ =$ 757$

ได้เท่ากันเลยครับ
ดีใจมีคนทำได้เท่ากัน:great:

ทำไงอ่ะคะ ไม่เข้าใจ :please:

$y=\frac{x^2}{1+x^2}$ ถ้าแทนค่า $x$ เป็น $\frac{1}{2012},\frac{1}{2008},\frac{1}{2004}...\frac{1}{4},4,8,12,...,2012$ หาผลรวมค่า $y$ ทั้งหมด

$P=n^{2556}+(n+1)^{2556}+(n+2)^{2556}+...+(n+99)^{2556}$
จำภาษาอังกฤษไม่ได้ แต่น่าจะแปลว่า ให้หาเศษจากการหาร $P$ ด้วย $100$

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $3^a=2013,\ 671^b=2013$
จงหาค่า $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

ตอบ 1 ครับ
เอา $3^a$ ยกกำลัง b -----------1
เอา $3^b$ ยกกำลัง a -----------2
1x2 ;$2013ยกกำลังab = 2013ยกกำลัง(a+b)
ยกกำลัง 1/ab ทั้ง2ด้าน ;$2013^1$=2013ยกกำลัง(1/a+1/b)
1/ a+1/b=1

ได้503อ่ะครับ ข้อนี้สวยมาก มอง $y$ ในรูป$ y=1-\frac{1}{x^2+1}$ เเล้วเเทนค่าxมาบวกกันหมด

จาก {n,n+1,n+2,...,n+99} เป็น CRS ใน มอดุโล100 ดังนั้น

$$P\equiv 1^{2556}+2^{2556}+...+99^{2556} (mod 100)$$


พิจารณา

$$(10a+b)^{2556} \equiv 25560ab^{2555}+b^{2556} (mod 100)$$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่า

$$25560(\sum_{a = 1}^{9}\sum_{b = 0}^{9}ab^{2555}) \equiv 0 (mod100)$$

ดังนั้น $$1^{2556}+2^{2556}+...+99^{2556} \equiv 10(1^{2556}+2^{2556}+...+9^{2556})$$

ซึ่งหลักหน่วยของ $1^{2556}+2^{2556}+...+9^{2556}$ คือ $3$

ดังนั้น $$10(1^{2556}+2^{2556}+...+9^{2556}) \equiv 30 (mod100)$$

$y=\frac{x^2}{1+x^2}$

ลองแทน x ด้วย $\frac{1}{x}$

$y'=\frac{1}{1+x^2}$

ดังนั้น $y+y'=1$

1.ห้างสรรพสินค้าลดกระหน่ำ ถ้าซื้อน้ำส้ม 1 ขวด ในราคา 7 เหรียญ จะสามารถซื้อขวดที่ 2 ได้ในราคา 1 เหรียญ ถ้าคน 9 คน ต้องการซื้อน้ำส้มคนละ 1 ขวด จะจ่ายเงินน้อยที่สุดเท่าไหร่?

(ข้อตอนกลางๆ) ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ และมีค่าไม่เกิน 100 ถ้า a-2b เป็นจำนวนเฉพาะบวก และ 2ab เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาค่า a+b ที่มากที่สุด

$2013^{\frac{1}{a}}=3$

$2013^{\frac{1}{b}}=671$

คูณกัน $2013^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=2013$

ริบบิ้น ABC
 

กำหนด ริบบิ้น ABC เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 3 cm ยาว 30 cm ถ้า AM=BM แล้ว AC ในรูปที่ 1 ยาวเท่าไร

ถ้าสามารถเลือกจำนวนเต็มบวกอะไรก็ได้ ที่มีค่าไม่เกิน 15 มากี่ตัวก็ได้ จงหาจำนวนวิธีที่ผลบวกของสมาชิกน้อยสุดกับสมาชิกมากสุด(ในแต่ละชุดที่เลือกมา)
เป็น 21

มีลูกบอลเหมือนกัน 130 ลูก นำมาใส่กล่องเหมือนกันหลายๆกล่อง จงหาจำนวนวิธีที่แต่ละกล่องใส่ลูกบอลอย่างน้อย 10 ลูก อย่างมาก 20 ลูก และแต่ละกล่องมีจำนวนลูกบอลไม่เท่ากันเลย

ได้ 7.5 ครับ:great:

39 บาทครับ:great:

$ได้ a=81, b=32 $
$a+b=113$:great:

(ข้อ 9 คะแนน)กำหนดให้ $106^5-92^5-58^5+44^5=a(10^n)$ โดยที่ $1\leqslant a < 10 $ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก...(จำไม่ได้อ่ะ ว่าเค้าถามอะไร:sweat: ) จำได้รางๆว่าให้หา 10a บวกหรือคูณกับ n ซักอย่างค่ะ:huh:

ขอบคุณคุณ gnap ค่ะ (ผิดไปเยอะเหมือนกัน แหะๆ)

ได้เป็น$ (1)... 6,15 ได้ 10 จำนวน$
$\binom{10}{2} +\binom{10}{3} +...+\binom{10}{10} $
$(2)...7,14 ได้ 8 จำนวน$
$\binom{8}{2} +...+\binom{8}{8} $
$(3)...8,13 ได้ 6 จำนวน$
$\binom{6}{2} +...+\binom{6}{6} $
$(4)...9,12 ได้ 4 จำนวน$
$\binom{4}{2} +...+\binom{4}{4} $
$(5)...10,11 ได้ 2 จำนวน$
$\binom{2}{2} $
จาก (1)-(5) บวกกัน ได้ 1329(ถ้าจำไม่ผิดจากในห้องสอบนะครับ):great:

ข้อนี้ผมก็ทำไม่ได้
ขอคำชี้แนะจากผู้รู้ครับ:please:

(แสดงวิธีทำ 20 คะแนน)
กำหนดให้ K เป็นจำนวนจริง และผลคูณรากที่เป็นจำนวนจริงของสมการ $$x^4+2x^3+(3+K)x^2+(2+K)x+2K=0$$ เป็น -2012 แล้วผลรวมของกำลังสองของรากที่เป็นจำนวนจริงเป็นเท่าไร

พิจารณา $x^4+2x^3+(3+K)x^2+(2+K)x+2K=0$
$x^4+2x^3+x^2+(2+K)x^2+(2+K)x+2K=0$
$(x^2+x)^2+(2+K)(x^2+x)+2K=0$
$(x^2+x+K)(x^2+x+2)=0$
แต่เนื่องจาก $(x^2+x+2)=(x+\frac{1}{2} )^2+\frac{7}{4} \not= 0$
นั่นคือ $x^2+x+K=0$
ให้ a และ b เป็นรากของสมการดังกล่าว แบ่งได้ 2 กรณี คือ
(1) a,b ไม่ใช่จำนวนจริง
จะทำให้สมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
แต่เนื่องจากโจทย์บอกว่่าผลคูณของรากที่เป็นจำนวนจริงเท่ากับ -2012
ดังนั้น กรณีนี้ขัดแย้ง
(2) a,b เป็นจำนวนจริง
จะได้ : $ab=-2012 , a+b=-1$
$a^2+b^2=4025$:great:

อย่างนี้จะได้สักกี่คะแนนครับ
ขอคำแนะนำจากท่านผู้รู้:please:

วิธีนี้ไม่แน่ใจนะคะ(ปั่นเอานาทีท้ายๆ555)
เราสามารถเลือกตัวเลข ที่น้อยที่สุด กับมากที่สุดมาจับคู่กัน ได้เป็น 6-15,7-14,8-13,9-12 และ 10-11
พิจารณาคู่ 6-15; มี เลข 7 8 9 10 11 12 13 14 อยู่ตรงกลาง นับได้ 8 ตัว แต่ละตัวมี 2 วิธีให้เลือก คือ อยู่ กับไม่อยู่ ดังนั้น คู่นี้จะสามารถเลือกได้ 2^8=256 วิธี

ในทำนองเดียวกัน คู่ 7-14; เลือกได้ 2^6=64 วิธี
ในทำนองเดียวกัน คู่ 8-13; เลือกได้ 2^4=16 วิธี
ในทำนองเดียวกัน คู่ 9-12; เลือกได้ 2^2=4 วิธี
ในทำนองเดียวกัน คู่ 10-11; เลือกได้ 2^0=1 วิธี

รวมทั้งหมด=1+4+16+64+256=341 วิธี ค่ะ
:D:D:D

ไม่รู้เหมือนกันครับ
รอผู้รู้ท่านอื่นดีกว่า:happy:

น่าจะได้แบบ#36 นะครับ

ข้อนี้ทำไงหรอครับ ทำไมได้กลิ่นความถึก

ลองคิดว่า 106=100+6 , 92=100-8 , 58=50+8 กับ 44 = 50-6 อะครับ (อาจจะออกนะ) 555

Attachment 13746
ให้นำรูป A B และ C มาวางลงในตารางขนาด 9x9 ให้พอดี
ให้หาว่า ใช้รูป A อย่างน้อยที่สุดกี่รูป ข้อนี้ให้แสดงวิธีทำ

$P(x)=x^3-ax^2+bx-c$ มี $(x-a)(x-b)(x-c)$ เป็นตัวประกอบ
จงหา $P(2)$

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$ มี $AB=AC,\,D$ เป็นจุดบน $AC$ ทำให้ $AD=DB=BC$ จงหามุม $BAC$

ข้อนี้หนูได้ 40 ได้เท่ากันรึเปล่าคะ :please: