IMSO 2551 รอบ2
 

สวัสดีครับ เห็นว่าปีนี้ข้อสอบยากมากเลย เอาเป็นว่ามาเริ่มกันเลยดีกว่า (ไปถามรุ่นน้องมา)


วันแรก วิธีทำ (8คะแนน)

1. กำหนดฟังก์ชัน $f:\mathbf{N}\cup \left\{0\,\right\} \rightarrow \mathbf{N}\cup \left\{0\,\right\}$ โดยที่ $f(0)=0$ และ $$f(2n)-f(n)=f(2n-1)-f(n-1)=y = \cases{0 & , n\in E \cr 1 & , n\in O} $$ จงหาค่าสูงสุดของ $f(1),f(2),...,f(2008)$

นอกนั้นจำไม่ได้เเล้ว ยังไงก็ถ้าจำได้จะมาpostแล้วกันนะ

มาแล้ว วันที่2 (10คะแนน)

1. จงพิสูจน์ว่า $8\mid \sigma (2008n+2007),\forall n\in \mathbf{N} $

2. ให้ $x,y\in \mathbf{Z} $และ $a,b\in \mathbf{R} $ ให้ $S(a,b)$ เป็น เซต
ที่ทำให้ $$S(a,b)=\left\{(x,y)\in \mathbf{Z} \mid (2551x+2008y+a)^2+(2008x-2551y-b)^2\leqslant 1623^2\,\right\} $$
จงพิสูจน์ว่า $S(a,b)$ มีผลเฉลยอย่างมาก1ชุด

3. แก้สมการหนึ่งหน้ากระดาษ ผู้ที่ขยันกรุณา post ด่วน (น่าจะใช้เอกลักษณ์ได้)

4. มียา15ชนิด ทดลองกับหนูจำนวนหนึ่ง โดยหนูทุกตัวได้รับการทดลองยาจำนวนชนิดเท่ากันและในการทดลองแต่ละครั้งจะใช้ยา2ชนิดใดๆเพื่อทดลองกับ $\frac{1}{5}$ของหนูทั้งหมด จงหาว่าหนู1ตัวได้รับยากี่ชนิด

5. $ABC$ เป็นสามเหลี่ยม $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์ $P$ เป็นจุดที่ทำให้ $PA-2PB+4PC=0$ (ทุกพจน์เป็นเวกเตอร์)
หา 1. พท. สี่เหลี่ยม $PGBC$ 2. $PA\cdot (PB+PC)$ 3. $PB\cdot PC$

6. กำหนดสามเหลี่ยม ABC สร้างวงกลมแนบใน จะเกิดจุดที่วงกลมสัมผัสกับสามเหลี่ยม3จุด ให้ลากเป็นสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่า อนุพันธ์อันดับ1 จากนั้นสร้างวงกลมแนบในอนุพันธ์อันดับ 1 แล้วเชื่อมจุดสัมผัส จะได้สามเหลี่ยมที่เรียกว่า อนุพันธ์อันดับ 2 ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ
จงพิสูจน์ว่า ถ้าอนุพันธ์คู่ใดๆ คล้ายกันแล้ว อนุพันธ์ทุกคู่ต้องคล้ายกัน

ผมซุยมากครับ functionมั่วไปว่า11 555+

แต่ก็อยากติดอะนะ

วันสอง : โจทย์ข้อห้าอันแรกต้องพิสูจน์ว่าเป็นด้านขนานนะครับ
ข้อหนึ่ง ถ้า $2008n+2007$ เป็น prime จบ
สมมติว่ามันเป็นจำนวนประกอบ
ให้ $k | 2008n+2007$ $\therefore \frac{2008n+2007}{k}$ เป็นตัวประกอบของ $2008n+2007$ ด้วย
เห็นได้ชัดว่า $k$ เป็นจำนวนคี่
ได้ว่า $k^2 \equiv 1 (mod 8)$
$\therefore 8 | k+\frac{2008n+2007}{k}$
ข้อสอง
กระจายแล้วจัดในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$

ข้อห้า
เลื่อนขนานเวกเตอร์ $BP$ ให้จุด $P$ ทับจุด $B$ ได้เวกเตอร์ $B'B$ ได้ว่า $BB'=BP$
ได้ว่า $-2PB=B'P$
$\therefore B'A = 4CP$ ได้ว่า $B'A$ ขนานกับ $CP$ ให้ $CP \cap AB =C'$
ได้ว่า $\triangle{ABB'} \sim \triangle{BCC'}$ แล้ว $AB=BC'=BC$ ได้ว่า $B$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้องรอบสามเหลี่ยม $ACC'$ โดยมี $AC'$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ได้ว่า $\hat{ACC'} = 90$ จะได้ว่า $CP$ ขนานกับ $BG$
ต่อไปพิสูจน์โดยไล่ด้านว่า $BG = CP$ ได้ว่าสี่เหลี่ยม $BCPG$ เป็นสี่เหลีี่ยมด้านขนาน ส่วน dot ก็ไล่ๆ เอาครับ
ส่วนข้อสี่ผมได้ 7 ชนิดครับ ไม่แน่ใจว่าถูกหรือเปล่า

เก่งครับเก่ง

ติดอยู่แล้วครับ :please::please:

พวกพี่หรือน้องที่โปรช่วยเฉลยหน่อยครับ ผมกาก

ข้อ ชนิดผมก็มั่วว่า7 555555+

เออ ดีใจด้วยครับที่เก่ง

ซะงั้นมากครับ:tired::confused::confused:



ซะงั้นอีกคนครับ:cry::cry:

ว่าแต่คุณ ||PRO|| ทำได้กี่ข้อครับ ทั้งวันแรกและวันที่สอง
จะได้เอามาเปรียบเทียบกัน(กับข้อที่ทำได้อันน้อยนิดของผม)ครับ

โหคุณ dektep ได้น้ิอยแล้วผมไปสอบจะรอดมั้ยรอบนี้
ปล.ผมตกรอบเรียบร้อยแล้วครับ ชิวมากไปหน่อย 555((()))

ทำไมมั่วเก่งจังครับ ดูเหมือนจะถูกหมดเลย... เทพจิงๆ:haha:

นั่นสิครับ แต่คงไม่มีใครเก่งไปกว่าคุณ owlpenguin หรอกครับ
ได้ตั้งสามข้อ 5555+

ท่านเทพๆ ช่วยเฉลยหน่อยครับ พอดีทำไม่ได้อะครับอยากเห็นเฉลย

ข้อ 4. ได้ 7 เหมือนกันครับ

ให้มีหนูอยู่ m ตัว และให้หนูแต่ละตัวได้ยา a ชนิด
ให้ $S=\{(i,\{x,y\})|$ หนูตัวที่ i ได้รับยาชนิด x และ y $\}$
นับแบบแรก: สำหรับแต่ละ i มี {x,y} อยู่ $\dbinom{a}{2}$ เซต จึงได้ $n(S)=m\dbinom{a}{2}$
นับแบบที่สอง: สำหรับแต่ละ {x,y} มี i อยู่ $\displaystyle{\frac{m}{5}}$ ตัว จึงได้ $n(S)=\displaystyle{\frac{m}{5}}\dbinom{15}{2}$
จับเท่ากัน ได้ a=7

ที่ผมได้ยินมา โจทย์ข้อ 2, 6 มันมีใจความเหมือนข้างล่างน่ะครับ ก็เลย quote มาแก้ให้นิดหน่อย (ถ้าผมเข้าใจผิดก็บอกด้วยนะครับ)

ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้แล้ว ข้อ 2 ผมจัดรูปได้เป็น $$ \big(x+ \frac{2551a-2008b}{2008^2+2551^2}\big)^2 + \big(y+ \frac{2008a+2551b}{2008^2+2551^2}\big)^2 \leq \frac{1623^2}{2008^2+2551^2}$$

เพราะ $ \frac{1623^2}{2008^2+2551^2} < \frac{1}{4} $

แสดงว่าวงกลมรัศมีน้อยกว่า $ \frac{1}{2}$ หน่วย

และเห็นได้ชัดว่าวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางน้อยกว่า 1 หน่วย ไม่สามารถ cover lattice หรือคู่อันดับของจำนวนเต็มได้มากกว่า 1 จุด เนื่องจาก lattice 2 จุดใดๆห่างกันมากกว่าหรือเท่ากับ 1 หน่วยเสมอ
-------------------------------------------------------------------------------------
6. ถ้าให้ $ A_1, B_1, C_1 $ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ 1 โดย $A_1,B_1,C_1$ ตรงข้ามมุม A,B,C ตามลำดับ และสำหรับ $n > 1$ แล้ว $ A_n ,B_n ,C_n$ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ n โดย $A_n,B_n,C_n$ ตรงข้ามมุม $A_{n-1},B_{n-1},C_{n-1}$ ตามลำดับ

เราสามารถเขียน recurrence relation ได้ไม่ยากว่า $ A_{n+1} = \frac{-1}{2}A_n +\frac{\pi}{2}$ (ส่วน $B_n ,C_n$ define คล้ายกัน ) subject to $ A_0=A , B_0=B ,C_0=C$

solve ออกมาจะได้ $$A_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(A- \frac{\pi}{3})$$ $$B_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(B- \frac{\pi}{3})$$ $$C_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(C- \frac{\pi}{3})$$

จากสูตรที่ได้ เรา impose condition ที่ว่ามี 2 คู่เป็นสามเหลี่ยมคล้ายเข้าไป จากนั้นทำอะไรจุกจิกเกี่ยวกับพีชคณิตนิดหน่อย จะพบว่า สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ ดังนั้น อนุพันธ์ที่ตามมาทุก n ก็จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
p.s. ส่วนใครที่ post ว่า มั่วข้อ 4 ถูกเนี่ย ถ่อมตัวไปหรือเปล่าครับ ผมคนนึงล่ะที่ไม่เชื่อว่าเลข 7 มาจากการมั่ว:laugh:

......เก่งกันจังเลยนะครับ มีผมโง่สวะ ตกรอบอยู่คนเดียว ......

มีคำถาม 2 คำถามครับ
1.คุณ passer-by ใช้เวลาคิด 2 ข้อนี้นานแค่ไหนเหรอครับ
2.ทาง สสวท. เขาให้ใช้เรื่อง recurrence relation ได้ด้วยเหรอครับ?

แต่ว่า solution สุดยอดมากครับ...

Edit:
ผมไม่เก่งหรอกครับ... ข้อสอบรอบนี้ผมทำได้นิดเดียว ผมว่าผมมีสิทธิ์ตกรอบสูงมากๆ :cry:

อย่าว่าตัวเองสิครับ เดินมาได้ขนาดนี้ก็สุดยอดแล้วนะครับ คิดในแง่กลับกัน พี่ RoSe-JoKer ก็เป็น 1 ใน 100 ในระดับมัธยมของไทยนะครับ (ก็สสวท.รอบ 2 + พวก fossil ก็ประมาณร้อยกว่าคน) แล้วผลมันก็ยังไม่ได้ประกาศสักหน่อยนี่ครับ

ผมว่าผมก็มีสิทธิ์ตกรอบสูงมากๆๆๆๆ เช่นกันครับ
คิดว่าปีนี้จะตัดซักกี่คะแนนครับ
เครียดมากๆๆ

ข้อสอบคอมบิอ่านโจทย์ยังไงก็ไม่รู้เรื่อง งงมาก หมายความว่าไง ไอยาสองชนิดใดๆต้องใช้กับหนูหนึ่งใน 5 นี้ คือ ทุกตัวในหนึ่งส่วนนี้ต้องใช้ทั้งสองชนิด
หรือใช้แค่อย่างใดอย่างหนึ่ง

:great::great: มีแต่เทพๆทั้งนั้นเลยครับ มีแต่ทำได้อย่างน้อย3ข้อ:please: อยากทราบท่านเทพๆนิดนึงครับ

ที่เขาอธิบายว่าไม่มีการสอบสสวท.แล้วเขาจะรับยังไงเหรอครับ พอดีว่าตอนนั้นง่วงๆฟังไม่รู้เรื่องครับ:aah::p

ปล.ข้อ6 recurrence relation คืออะไรเหรอครับ แล้วถ้าไม่ใช้จะคิดยังไงเหรอครับ

เห็นเขาบอกว่าต้องผ่านสอวน.เท่านั้นครับ
คือไม่มีสสวท.รอบแรกแต่ให้ไปผ่านสอวน.แทน
ผมก็มีแววว่าต้องเข้าสอวน.แน่ ๆ เลย
recurrence relation ก็ความสัมพันธ์เวียนเกิดในครับ มีอยู่ในเล่มคอมบิสอวน.เล่มเทา

ลืมคิดกรณี 2008n+2007 เป็นกำลังสองสัมบูรณ์ละครับ

อืมครับแต่ผมสงสัยอีกนิดนึงครับ ที่เขาบอกว่าจะมีรอบเก็บตกสำหรับคนที่ผ่านสอวน.
มาแล้วเนี่ยมันคือรอบไหนเหรอครับ:confused::dry:ดันมาพูดตอนหิวๆ:sweat:

ปล.คุณdektepคงติดอยู่แล้วเห็นเทพจะตาย:great:

ช่วยจัดรูปให้หน่อยนะครับ

$a=(x-2)(x+3)$

$b=(x-12)(x+13)$

$c=(x-22)(x+23)$

$d=(x-32)(x+33)$

$e=(x-42)(x+43)$

แก้สมการ $$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{cd} + \frac{1}{de} + \frac{1}{ea} = \frac{1}{ac} + \frac{1}{ce} + \frac{1}{eb} + \frac{1}{bd} + \frac{1}{da}$$

ขออภัยที่ฟรอนท์ไม่ดี ......

พวกที่สอบคงทำได้ทุกคนนะ แต่ผมทำไม่ได้

$2008n+2007 \equiv 3 (mod 4)$ นิครับ
มันจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ยังไง ;)

เรื่องนี้ผมก็ไม่ทราบครับ แต่มีอาจารย์ที่นั่นบอกว่าจะมีรอบแก้ตัวกับพวกที่ตกรอบนี้ครับ
ไม่แน่ใจเหมือนกัน
ปล.ผมคงไม่ติดหรอกครับได้น้อยจะตายไป :died:

ผมนี่แหละที่ไม่มีโอกาสติดเลย เฮ้อเศร้า

แต่ก้ไม่มีใครเอาโจทย์มาลงเลย เศร้า

เห้อ ทำได้กี่ข้อ กันล่ะคร้าบบบบบ

ถ่ม ตัวเองกันจิ๊งๆ แต่พอถึงสนามสอบ psycho ;)

ยังไงข้อนี้คงหนีการคูณเลขจำนวนมากไม่พ้น:sweat:

ใครมีวิธีที่ดีกว่้านี้ก็ขอคำชี้แนะด้วยครับ :please:

$a=(x-2)(x+3)=x^2+x-2\cdot 3$

$b=(x-12)(x+13)=x^2+x-12\cdot 13$

$c=(x-22)(x+23)=x^2+x-22\cdot 23$

$d=(x-32)(x+33)=x^2+x-32\cdot 33$

$e=(x-42)(x+43)=x^2+x-42\cdot 43$

ให้ $u=x^2+x,p=2\cdot 3,q=12\cdot 13,r=22\cdot 23,s=32\cdot 33,t=42\cdot 43$

LHS - RHS = $\dfrac{1}{a}\Big(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\Big)+\dfrac{1}{b}\Big(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{d}\Big)+\dfrac{1}{c}\Big(\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{e}\Big)+\dfrac{1}{d}\Big(\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{a}\Big)+\dfrac{1}{e}\Big(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\Big)$

ดังนั้น

$\dfrac{q-r}{(u-p)(u-q)(u-r)}+\dfrac{r-s}{(u-q)(u-r)(u-s)}+\dfrac{s-t}{(u-r)(u-s)(u-t)}+\dfrac{t-p}{(u-s)(u-t)(u-p)}+\dfrac{p-q}{(u-t)(u-p)(u-q)}=0$

$(q-r)(u-s)(u-t)+(r-s)(u-t)(u-p)+(s-t)(u-p)(u-q)+(t-p)(u-q)(u-r)+(p-q)(u-r)(u-s)=0$

$mu - n = 0$

$m,n$ หาเองนะครับ

ข้อ 6 ไม่เกิน 20 นาทีครับ
ข้อ 2 จะนานกว่า เพราะเสียเวลาตอน จัดรูป กับตอน bound ให้น้อยกว่า $ \frac{1}{4}$
ความเห็นของผมคือ ตอน bound วุ่นวายกว่าตอนจัดรูปเยอะเลยครับ เพราะพยายามขุดหลายอสมการมาช่วยแต่ก็ไม่ออก $\frac{1}{4}$ ซักที จนสุดท้ายต้องคิดเลขอึด โดยลองหา $z^2$ ที่ใกล้เคียง $ 2008^2+2551^2$ แล้วก็เลย surprise มากๆว่า มันได้ $z$ ประมาณ 3246กว่าๆ ครับ ก็เลยได้ $\frac{1}{4}$ ออกมา

ส่วนที่ถามว่า สสวท. ให้ใช้ recurrence ได้หรือเปล่า ผมคิดว่า เขาไม่น่าจะจำกัดวิธีคิดนะครับ แต่ถ้าถามว่ามันยุติธรรมหรือไม่ สำหรับเด็กที่เคยเรียนเรื่องนี้มาแล้วนอกห้องเรียน กับเด็กที่ยังไม่เคยเรียน อันนี้ก็เป็นอีกประเด็นนึงครับ ซึ่งไม่ขอออกความเห็น

p.s. ของวันที่ 2 ผมชอบข้อ double counting ที่เป็นหนูทดลองยา มากที่สุดเลยครับ เพราะวัดไอเดียทาง combinatorics ได้ดีทีเดียว

ความจริง ถ้าทุกคนพร้อมใจส่งกระดาษเปล่า ก็จะได้เหรียญทองกันทุกคนเเล้วเพราะคะเเนนเท่ากันหมด หึหึ

ว่าเเต่ประกาศผลเมื่อไหร่

ครับๆเก่งกันให้หมดเลยครับทำได้อย่างต่ำ 3 ข้อเนี่ย ติดเหรียญทองกันให้หมดเลยนะครับ 555+ เก่งจริงๆครับ ทำได้ตั้งอย่างน้อย 3 ข้อ

แล้วพี่หละครับได้ข่าวว่าได้ตั้งห้าข้อ เก่งครับเก่งเหรียญทองแน่ ๆ :happy:

ไอเดียแจ่มดี:haha::haha:

ไซโคได้ทั้งวันเลยนะครับ คุณdektep:cry:

ทำเหมือนกันเดะๆเลยครับ:D(เก่งครับเก่ง ใครจะทำได้ละครับเนี้ย!!!)

เห็นพ่อของน้อง The jumpers บอกว่าทำโจทย์ในวันที่สองได้หมดไม่ใช่เหรอครับ
เก่งครับเก่ง สุดยอดครับ เหรียญทองแน่ครับ :great:

ก็น้อง The jumpers ไงครับ เก่งสุดยอด

คุณ the jumper นิเก่งสุดๆๆๆไปเลยนะครับ ผมโง่กว่าทุกคนไปแล้วในตอนนี้ T_T

ผมว่าผมตกรอบแน่ ๆ เลย ทำไงดีเนี่ย

คุณ mathstudent2 ไม่ตกหรอกครับมีผมต่างหากที่ตก T_T วันที่สองคุณ mathstudent2 ทำได้เยอะมากๆๆๆเลยนิครับ

วันที่ 9 เดือน9ปี2009-(1) เสียดายข้อ6มากๆเลยครับ(วันที่2) แต่ไม่มีใครลงโจทย์ของวันแรกเลย แงๆๆๆ