ข้อสอบสมาคมม.ปลายปี2552
 

บางข้อนะครับ ไม่มีเครื่องสแกน ใครมีช่วยลงก็ได้ครับ
6.ผลคูณของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $(2x)^{\log x}=8^{\log 16}$
7.จงหาจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องสมการ $\ln (e^{\sqrt{x}}+5^x-3^{2-x})={\sqrt{e}}^{\ln x}$
10. ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ซึ่ง $|A|=2$ แล้ว $|adj(adj(2A))|$ มีค่าเท่าใด
11. จงหาค่าของ $\lim_{x \to 1} \dfrac{3-\sqrt{x+8}}{\sqrt{x+3}-2}$
12.ถ้า $L$ เป็นเส้นตรงที่สัมผัสพาราโบลา $y=x-x^2$ ที่จุด $(1,0)$ แล้วเส้นตรงที่ที่ตั้งฉากกับ $L$ ที่จุด $(1,0)$ จะตัดพาราโบลาที่จุดใด
13.กำหนดเซต $S=\{100,101,102,...,9999,10000\}$ และเซต $A=\{x\in S| 2 $ เป็นเลขโดดในหลักหน่วยของ $x$ และ $5$ เป็นเลขโดดในหลักสิบของ $x\}$
ถ้าสุ่มเลือกสมาชิกในเซต $A$ มา $2$ ตัวแล้วความน่าจะเป็นที่จะได้สมาชิกที่มีค่ามากกว่า $1000$ ทั้งสองตัวมีค่าเท่ากับเท่าใด
16.จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดซึ่ง $0<x<\pi$ และ $4\sin (x+\dfrac{\pi}{7})=3\sec (x-\dfrac{\pi}{42})$
17.กำหนด $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
$(i)f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=n^2f(n)$ สำหรับทุกๆจำนวนนับ $n$ และ
$(ii)f(2009)=\dfrac{2009}{2552}$
แล้ว $f(2552)$ มีค่าเท่าใด
23.ถ้า $z=\sin \dfrac{5\pi}{14}+i\cos \dfrac{9\pi}{14}$ แล้ว $(\dfrac{1-\overline{z}}{1+z})^7$ มีค่าเท่าใด (ตอบในรูป $a+bi$)
27.จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน
$$\underbrace{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}}_{มี 6 อยู่ 2009 ตัว}+\underbrace{\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}}}_{มี 6 อยู่ 2552 ตัว} $$
35.จงหาค่าของ
$$\int_0^{\pi} \sin^4 (x+\sin 3x) dx$$

5. ถ้า $F_1$ และ $F_2$ เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา $5x^2 - 3y^2 - 20x - 6y + 32 = 0$
แล้ว จงหาสมการของวงกลมที่มีส่วนของเส้นตรง $F_1F_2$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

8. ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องสมการ $cos x = sin(x+1^{\circ} )$ แล้วจงหาค่าของ $tan2x$

9.ถ้า $x \in (0,\frac{\pi }{4})\cup (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ และ $log_{tan x}(2cosec2x) = log_25$ แล้ว จงหา $log_{cos x}sinx$

19. ให้ $x_1 , x_2 ,..., x_{1221}$ เป็นจำนวนซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
$(i) x_1 + x_2 + ... + x_{1221} = 2442$
$(ii)\frac{x_1}{x_1 + 1} = \frac{x_2}{x_2 + 3} = \frac{x_3}{x_3 + 5} = ... = \frac{x_{1221}}{x_{1221} + 2441}$
แล้ว จำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดซึ่ง $x_n \geqslant 1$ มีค่าเท่าใด

24. กำหนดรูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีด้านทั้งสามยาว $a,b$ และ $c$
ถ้า $a^2 + b^2 + c^2 = S$ และ $cot\hat A + cot\hat B + cot\hat C = T$
แล้ว รูปสามเหลี่ยมนี้มีพื้นที่เท่าใด (ตอบในรูปของ $S$ และ $T$)

เดี๋ยวสแกนให้ครับ โปรดรอสักครู่

จัดให้ตามที่ขอครับ

ข้อสุดท้ายผมคิดได้ $\frac{3\pi}{8}$ มีคนคิดได้เหมือนผมไหมครับ?
ข้อนี้ผมต้องใช้ทฤษฎีบทที่ผมคิดขึ้นมาเองทีเดียวเชียว...

ทฤษฏีอะไรอะครับ

อยากได้เฉลยข้อ 33 กับ 35 ครับ
ขอบคุณล่วงหน้า

เครื่องคอมผมไม่ขึ้นหน้า11ให้ครับ
คนอื่นเห็นหน้า11มั้ยครับ

ผม เห็นนะครับ
หน้า 11 คือข้อ 21 22 23 นะครับ

ไปสอบแล้วเป็นไงกันบ้างครับ ทำได้มากน้อยแค่ไหน ส่วนตัวผมเละครับ :sweat:

ทำได้แต่ กากบาท ครับ เติมคำนี้ -*- เฮ้อ
ลองตรวจดูนะคับ ช่วยแก้ด้วยเน้อ

1. ง.
2. ค.
3. ค. ไม่แน่ใจอ่ะข้อนี้
4. ข.
5. ก.
6. ข.
7. ง.
8. ก.
9. ก.
10. ง.
11. ง.
12. ข.
13. ข.
14. ข.
15. ค.

แหะๆ ผิดก็ช่วยบอกด้วยนะค้าบ

ขอวิธีทำข้อ 35 หน่อยครับ
35.จงหาค่าของ
$$\int_0^{\pi} \sin ^4 (x+\sin 3x) dx$$

35. $\dfrac{3\pi}{8}$

$\sin^4{A}=\Big(\dfrac{1-\cos{2A}}{2}\Big)^2$

$~~~~~=\dfrac{1-2\cos{2A}+\cos^2{2A}}{4}$

$~~~~~=\dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos{2A}}{2}+\dfrac{\cos{4A}}{8}$

ช่วยอธิบายมากกว่านี้ได้ไหมครับ:please:

ดูท่าทางม.ปลายยากน่าดู เเค่ข้อเเรกก้อบ๊ายบายเเล้ว(เเล้วปีหน้าจะรอดมั้ยเนี่ยTT)

ยังคงมองไม่ออกครับคุณ nooonuii
ขอมากกว่านี้หน่อยจะได้ไหมครับ
ขอบคุณครับ

ลองผิดลองถูกมาหลายวิธีแล้วครับ อันนี้ก็วิธีนึงแต่ติดตรงมุมอ่ะครับ ไปต่อไงอ่ะ :please:

ข้อที่ไม่ตรงกันคือ
3. ง.
5. ข.
9. ค.
10. ก.
12. ก
คิดไงบ้างครับ
ปล. ข้อ 13 กับ 15 ทำไม่ได้อ่ะครับ

ข้อ 3. นี้ คิดดูอีกทีผมว่า ก็ถ้าจะ ง.ครับ ไม่นับเซตว่างใช่ป่ะ -*-

ข้อ 5. ผมได้ จุดศูนย์กลางวงกลมคือ (2,-1) อ่ะครับ
สมการวงกลม $(x-2)^2+(y+1)^2=8$
มันเลยมีพจน์ +2y

ข้อ 9 -*- ผมผิดจริงๆด้วยครับ 555 เผลอไปสลับเศษส่วน (ซวยโคตร)
ข้อ 10. ยังไม่ได้ลองตรวจดูนะฮะ โทษที

ข้อ 12 ผมได้สมการเส้นตั้งฉากเป็น y=x-1 อ่ะครับ

ข้อ 5 ผมได้ $r = \sqrt{2}$ อ่ะครับ (พลาดนิยามแน่ๆเลยผม TT)
ข้อ 12 ได้สมการเส้นตั้งฉากเหมือนกัน แต่ผมแทนค่าผิด :sweat:

I still don't know how to get the answer krub. :wacko:

But the answer is $\dfrac{3\pi}{8}$ from Maple.

We must show that

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\cos(4x+4\sin{3x})\,dx=4\int_0^{\pi}\cos{(2x+2\sin{3x}})\,dx}$

ใช้การอ้างอิงจากกราฟได้มั๊ยครับ

แล้วดู คาบ ของกราฟ เอาอ่ะ ไม่แน่ใจ :)

Attachment 2124
Attachment 2125
Attachment 2126
Attachment 2127

ขอคารวะพี่ Gon 3 จอกครับ :please::great:

มาเติมวิธีคิดบางข้อให้ครับ

(1) ข้อที่เป็น arccot

Guideline : ถ้าให้ $ F_n$ แทน ลำดับ Fibonacci โดย $ F_0 = F_1 =1 $ และ $ F_{n+1}=F_n + F_{n-1}$

แล้ว $a_1= F_4 \,\, ,a_2= F_6 \,\, ,a_3= F_8 \,\, ,a_4= F_{10} \cdots $

นอกจากนี้ เรายังได้ความสัมพันธ์ $ arccot (F_{2n}) = arccot (F_{2n-1}) -arccot (F_{2n+1}) $

ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วล่ะครับ

หมายเหตุ:ข้อนี้ต้องพึ่งสมบัติของลำดับฟิโบนักซีที่ว่า $ F_{2n}^2 = F_{2n-1}F_{2n+1}+1$ และสูตร $\cot(A-B) $ )

(2) ข้อขอบโต๊ะไฮเพอร์โบลา
Guideline : ข้อนี้ ผมอาศัย สมบัติทาง optic ของไฮเพอร์โบลา ที่บอกว่า " ถ้ายิงลำแสงจากโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอร์โบลาไปชนกราฟ แล้ว รังสีของแสงที่สะท้อนออก สามารถลากไปตัดโฟกัสอีกจุดได้"

ที่เหลือก็ใช้ปีธาโกรัส และคุณสมบัติที่ว่า $ |PF_1- PF_2| = 2a $ ของนิยามไฮเพอร์โบลา แก้สมการอีกนิดหน่อยก็น่าจะโอเคแล้วครับ (ในความรู้สึกผม มันยากแค่ตรง optic property นี่แหละ )

(3) ข้อจำนวนจินตภาพ 3 จำนวน
Guideline : จากสมการ $ z_1 \omega^2 + z_2 \omega +z_3 =0 $ และ $\omega^2+ \omega +1 =0 $ ทำให้ได้สมการ $ \omega = \frac{z_1-z_3}{z_2-z_1}$

และถ้าเราคูณสมการที่โจทย์ให้มาด้วย $ \omega$ และ $ \omega^2$ แล้ว apply สมบัติของ $ \omega$ ในบรรทัดข้างต้น ก็จะได้อีก 2 สมการ คือ $ \omega = \frac{z_2-z_1}{z_3-z_2}$ และ $\omega = \frac{z_3-z_2}{z_1-z_3}$

ใส่ค่าสัมบูรณ์ทั้ง 2 ข้างให้กับ 3 สมการใหม่ที่ได้มา พบว่า $ |z_1-z_3| =|z_2-z_1| = |z_3-z_2| $

ในแง่ของเรขาคณิต แสดงว่า ถ้า C เป็นวงกลมจุดศูนย์กลางที่ (0,0) และรัศมี 2 หน่วย แล้ว พิกัดของ $z_i$ ทั้ง 3 ตัวอยู่ห่างเท่ากันหมดบนเส้นรอบวง เกิดเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งมีความยาวด้าน $ 2\sqrt{3}$ (เพราะรู้รัศมีวงกลมและมุมที่จุดศูนย์กลางที่บีบด้านของสามเหลี่ยมอยู่)

ดังนั้น ถ้า $ z_i = 2(\cos \theta_i + i \sin\theta_i) $ แล้วลองแทนค่ารูปแบบเชิงขั้วนี้ในสมการ
$|z_3-z_2|= 2\sqrt{3}$ จะได้ $ \cos (\theta_2- \theta_3) = -\frac{1}{2}$

กลับไปดูสิ่งที่โจทย์ถาม แล้วก็ลองแทนรูปแบบเชิงขั้วลงไป และค่าที่เราคำนวณได้ล่าสุดลงไป ก็จะได้คำตอบครับ

(4) ข้ออินทิเกรต

ผมเสนออีกวิธีนะครับ อาจจะมีกลิ่นอายของแคลคูลัสปี 1 หน่อยๆ

จาก post ก่อนๆ พอจะเห็นได้ว่า ปัญหาที่ค้างอยู่ตอนนี้ คือการหาค่า $ I_1= \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) \,\, dx $ และ $ I_2= \int_0^ \pi \cos(4x+4\sin 3x) \,\, dx $

ผมจะทำตรง $ I_1$ ให้ดูอย่างเดียวนะครับ เพราะอีกตัวก็ทำวิธีเดียวกัน

เนื่องจาก $\int_0^ a f(x) \,\, dx = \int_0^a f(a-x)\,\, dx $ ดังนั้น

$ I_1= \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) \,\, dx = \int_0^ \pi \cos(2x-2\sin 3x) \,\, dx $

ทำให้เราได้สมการ $ I_1 + I_1 = \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) + \cos(2x-2\sin 3x)\,\, dx $

ซึ่ง simplify ได้เป็น $ I_1= \int_0^\pi \cos(2x)\cos(2\sin 3x)\,\, dx$

จากนั้น อาศัย Maclaurin series ของ cos(x) มาช่วย ทำให้เราได้สมการด้านล่างนี้ครับ

$ I_1 = \int_0^\pi \cos(2x)(1-\frac{(2\sin 3x)^2}{2!} +\frac{(2\sin 3x)^4}{4!} -\frac{(2\sin 3x)^6}{6!}+\cdots )\,\, dx$

จากนั้นก็ integrate term by term เลยครับ ซึ่งพบว่าจะเกิด integrand ในรูปแบบ $ \int_0^ \pi \cos 2x \sin^{2k}3x \,\, dx$ ซึ่งหาคำตอบได้ไม่ยากครับ และได้ค่า 0 เสมอ

p.s. ผมอยากเห็นวิธีทำข้อที่ทุก vector ในเซต แตกออกเป็น 2 vectors ย่อยได้จังเลยครับ:please:

วันนี้เป็นที่รวมเทพเลยเชียว ต้องบอกว่าสุดยอดครับ:great::great: แต่ที่อยากเห็นคือ ทางสมาคมจะเฉลยข้อนี้อย่างไรที่ไม่เกินหลักสูตร เห็นที่ต้องติดตามดูซะแล้ว ว่า อ.ไพศาล จะเฉลยด้วยวิธีไหนกันแน่

เหลือวิธีของคุณ Rose Joker ครับ :laugh:

Attachment 2129
ข้อ.29 เซต A มีจำนวนสมาชิกน้อยที่สุด 6 ตัว (อธิบายยากมาก) ดูรูปก็แล้วกันครับ
Attachment 2128

ช่วยอธิบายวิธ๊การหา ได้ไหมครับ ผมยังงงๆอยู่:please:
ขอขอบคุณล่วงหน้า

ขอบคุณคุณ puriwatt สำหรับ ตัวอย่างในเชิงเรขาคณิตนะครับ :please:

พอดีผมเพิ่งปิ๊งไอเดียเมื่อคืนนี้เองครับ วิธีของผมเป็นแบบนี้

อันดับแรกจะพิสูจน์ก่อนว่า เซตนี้ต้องมีสมาชิกอย่างน้อย 6 ตัว
ให้ $ x_1 \,\, ,x_2\,\, ,x_3,\dots ,x_n $ แทน x-component ของ เวกเตอร์ $ \vec{v_1} \,\, ,\vec{v_2} \,\, ,\vec{v_3} \,\, ,\dots ,\vec{v_n} $ ( x-component ในที่นี้ของผม หมายความว่า สปส.ที่ติดกับเวกเตอร์ i เวลาเราเขียนในรูปผลบวกเชิงเส้นของ i,j,k น่ะครับ)

โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ $ x_1 $ น้อยสุด และ $ x_n $ มากสุด

Claim: $x_1 < 0 $ และ $ x_n > 0 $

พิสูจน์ : จะพิสูจน์เฉพาะกรณี $ x_1$ อย่างเดียว อีกกรณีทำในลักษณะคล้ายกัน

By contradiction, $ x_1 \geq 0 $

จากสมมติฐานของโจทย์ $ x_1 = x_j+ x_k $ สำหรับบาง j,k

ถ้า $ x_j < 0 $ แสดงว่า $ x_j < x_1$ ขัดแย้งกับที่บอกว่า $ x_1$ น้อยสุด

ถ้า $ x_j \geq 0 $ แสดงว่า $ x_k < x_1$ หรือ $ x_j < x_1$ ซึ่งไม่ว่าเป็นแบบใดก็ขัดแย้งกับ $ x_1$ น้อยสุด เช่นกัน #
-------------------------------------------------------------------------------------

จากการพิสูจน์ ยัง imply ได้ว่า $x_1$ จะต้องมาจาก x-component ที่เป็นลบ(หรือ 0) มาบวกกัน

ส่วน $x_n $ ก็ต้องมาจาก x-component ที่เป็นบวก(หรือ 0) มาบวกกัน

ดังนั้น จำนวนเวกเตอร์ขั้นต่ำในเซต จะต้องมี 6 ตัว ( 3 ตัวสำหรับกรณี $x_1$ และอีก 3ตัว สำหรับกรณี $x_n$)

หมายเหตุ : บางคน อาจจะสงสัยว่า มันอาจจะเกิดกรณี
(1) x-component เป็น -3,-3,0,3,3 ซึ่งก็น่าจะทำให้เหลือแค่ 5 เวกเตอร์ หรือ
(2) x-component เป็น 0,0,0,1,1,2 ซึ่งเป็น 6 vector แต่ขัดแย้งกับ claim ที่พิสูจน์ไว้ข้างต้น

แต่ทั้ง 2 กรณีนี้ไม่เกิดครับ ไม่เชื่อลองสมมติ nonzero y-component ที่ correspond กับ x-component ที่เป็น 0 ดูก็ได้ครับ
-------------------------------------------------------------------------------------

ส่วนตัวอย่างที่ยืนยันว่า 6 เป็นจริงที่ผมนึกได้คือ เซตด้านล่างนี้ครับ

$ \{ -3\vec{v}\,\, ,-2\vec{v}\,\, ,-\vec{v}\,\, ,\vec{v}\,\, ,2\vec{v}\,\, ,3\vec{v} \} $

เมื่อ $ \vec{v} = \bmatrix{1 & 1 & 1 }^T $

$ \int_0^\pi \cos 2x \sin^{2k}3x \,\, dx = \int_0^\pi \cos 2x (\frac{(1-\cos 6x)^k}{2}) \,\, dx $

จากนั้นก็ลองใช้ทวินาม กระจายออกมาครับ

พอกระจายเสร็จ ก็ลองใช้สูตรตรีโกณมิติจัดรูปใหม่ ให้เลขยกกำลัง ที่ติดมากับ cos ทั้งหมดหายไป จนท้ายที่สุด integrand ตัวนี้จะมีแต่เทอมในรูปแบบ $ \cos mx $ เมื่อ m เป็นเลขคู่ทุกเทอมครับ ซึ่งโดยปกติ $ \int_0^ \pi \cos mx \,\, dx =0$ เมื่อ m เป็นจำนวนนับ

p.s. ผมว่าวิธีพี่ gon เป็น ม.ปลายที่สุดแล้วล่ะครับ ส่วนผมแค่เสนออีกทางเลือกไว้เท่านั้นเอง

ผมพิมพ์ไปฮาๆ เฉยๆครับ ระดับผมคิดไม่ออกหรอกครับ โจทย์ยากขนาดนี้ แค่ในห้องสอบผมตัด $sin3x$ ไปแล้วอินติเกรต แค่ $sin^4x$ ไปหน่ะครับ แล้วมันตรงพอดีหลังจากที่กลับมาเช็คที่บ้านหน่ะครับ
ขอคารวะคุณ gon เลยครับ :please:

โจทย์ข้อ 35. นี่ผมเจอโดยบังเอิญ คือเข้ามาเพื่ิอจะส่ง pm ให้คุณ nooonuii โดยมองหาข้อความของคุณ nooonuii แล้วไปสะดุดที่ "I still don't know how to get the answer krub." เลยหันมาสนใจเรื่องนี้ก่อน เอาไปลองทำอยู่ราว 2 วัน ก็ทำไม่ได้ หมดปัญญาเลยไปถามเหล่าผู้รู้ครับ (ผมคงไม่สนใจขนาดนี้ ถ้าเป็นคำถาม no-name หรือคำถามระดับ Putnam แต่นี่เป็นโจทย์ทางการแค่ระดับ ม.ปลาย เลยทำให้อยากรู้เป็นพิเศษ อีกอย่างคือ ตอนนั้นก็ยังไม่มีใครเข้ามาเฉลยเลย) ผู้รู้ท่านหนึ่งบอกผมว่า โจทย์ข้อนี้มีคนถามที่ sci.math ไปตั้งแต่ 22 พ.ย. แล้ว และในวันเดียวกัน Robert Israel ก็มาตอบโดยใช้ residue calculus ต่อมา Leon Aigret ก็มาตอบแบบ elementary ซึ่ง derived มาจากวิธีของ Robert Israel อีกที คำตอบของ Leon Aigret จะเป็นแนวเดียวกับของคุณ gon ครับ

ใครทำข้อนี้ได้ถือว่าเยี่ยมครับ แต่คนที่คิดสร้างโจทย์ข้อนี้ขึ้นมาได้ ยิ่งเหนือชั้นขึ้นไปอีก

จะยืมไปใช้บ้างครับ :great:
สำหรับผมแล้วยังไม่มี solution ที่น่าอ่านเลยครับ :cry:

เห็นด้วยครับ แต่คนที่เดาถูกนี่ซิน่าจะอยู่ดาดฟ้าแน่เลย:haha::haha:

ผมอยากรู้คำตอบข้อที่ให้หา$f(2552)$อ่าคับ

ผมลองทำไปทำมา มันได้$\frac{2010}{2553} $ ช่างเป็นคำตอบที่สวยงามจริงๆ:cry: