[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2555] ข้อสอบปิดค่าย สอวน.มอ 55
 

Logic and Proof

1.จงพิจารณาว่ารูปแบบการอ้างเหตุผล ในข้อใดบ้างที่สมเหตุสมผล

(i) เหตุ $p\rightarrow q ,\sim p$ ผล $ \sim q$

(ii) เหตุ $p\leftrightarrow q , p \vee r , r $ ผล $q$

(iii) เหตุ $ p \rightarrow q,q \rightarrow r ,\sim r$ ผล $\sim p $

(iv) เหตุ $p \rightarrow (q \vee r) , q \rightarrow (s \wedge \sim s) , p$ ผล $ r$

2.ถ้า $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง และ $b,d \not= 0 $

แล้วจงพิสูจน์ว่า $(\dfrac{a}{b})(\dfrac{c}{d}) = \dfrac{ac}{bd}$

3.ให้$ x$ เป็นอตรรกยะบวก จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มบวก $1 < nx < 2 $ ก็ต่อเมือ $x < 2 $

4. สำหรับฟังก์ชัน $ f : X\rightarrow Y$ สำหรับ $A \subseteq X$ ภาพของ $A $ ภายใต้ $f$ คือเซต $ f(A) $

โดย $f(A) = \left\{ f(x) \mid x \in A\,\right\}$

$A,B \subseteq X$ และ $f$ เป็นฟังก์ชัน $1-1$ จงพิสูจน์ว่า $f(A)\cap f(B) \subset f(A\cap B) $

5.ให้ $\theta$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ มี $P_n(x) $ซึ่งเป็นพหุนามดีกรี $ n $

ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งทำให้ $\cos(n\theta) = P_n\cos \theta$

6.จงพิสูจน์ว่า $\cos 1^{\circ} $ เป็นจำนวนอตรรกยะ

Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

2. ผลคูณของจำนวนเต็มที่เรียงติดกัน 4 จำนวนไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

3. กำหนดให้ $a_n = n^9 - n $

จงหาค่า $(a_1,a_2,a_3,....,a_{100})$

4.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนอนันต์ ซึ่งทำให้ $2^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ

Combinatorics

1. ข้อสอบ $15 $ ข้อ แต่ละข้อ มี $5$ ตัวเลือกโดยให้ทำทุกข้อ จงหาจำนวนวิธีในการเลือกตอบข้อสอบชุดนี้

(i) ไม่มีเงื่อนไข

(ii) เลือกตัวเลือกที่ $n$ สำหรับข้อที่ $n = 1,2,3,4,5$

(iii) เลือกตัวเลือกที่ $5 $ เป็นจำนวน $5$ ข้อ

2. ลูกบอล $20$ ลูกที่เหมือนกันในกล่องๆหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลโดยแต่ละครั้งในการหยิบต้องหยิบอย่าง

น้อย $2$ ลูก และหยิบไม่เกิน $ 5$ ครั้ง จงหาจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล

3. ตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาด $9\cdot 6$ จงหาจำนวนวิธีในการเดิน จากมุมซ้ายล่างไปยังมุมขวาบน

(i) เดินได้ แค่ บน กับ ขวา

(ii) เดินได้ บน ขวา ซ้าย (โจทย์ผิด)

4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^5$ ใน $(x^4+4)^{4444}(x^3+3)^{333}(x^2+2)^{22}(x+1)$

Algebra

1.ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $ x^3-x^2-1$ จงหาค่าของ $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)$

2.ให้ $ z = cis(\dfrac{2\pi}{5}) $

จงพิสูจน์ว่า

(i) $z^5-1 = 0 $

(ii)$z^4+z^3+z^2+z+1 = 0 $

(iii) $\dfrac{1}{1+z+z^2}+\dfrac{1}{1+z^2+z^3}+\dfrac{1}{1+z^3+z^4} = \dfrac{1}{Re(z^2)}$

3. $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

จงพิสูจน์ว่า $(\dfrac{a}{b})^c+(\dfrac{b}{c})^a+(\dfrac{c}{a})^b = (\dfrac{b}{a})^c+(\dfrac{c}{b})^a+(\dfrac{a}{c})^b$

Geometry

1.วงกลมสองวงตัดกัน ที่จุด $A$ และ $B $ ลากเส้นตรงตัด $AB$ โดยเส้นตรงตัด วงกลมสองวงที่ $P,Q,R,S$ ตามลำดับ

จงพิสูจน์ว่า $\angle PAQ = \angle RBS$

2.รูปการแบ่งครึ่งเส้นตรงออกเป็นสามส่วน เท่าๆกัน โดยให้ พิสูจน์ว่า $AP = PQ = QB$ เมื่อ $P,Q$ คือจุดแบ่ง (มีรูปมาให้แล้วให้เราพิสูจน์)

อีกสองข้อ เป็นข้อเรขาคณิตเกี่ยวกับ ฟุตบอล ซึ่งมันต้องมีรูป

Nt

1.อุปนัย
2.อยู่ละหว่างสองตัวที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
4. มันคือ $2^n-4+7$

CB

4. 5เกิดจาก 1+1+1+1+1,1+1+1+2,1+2+2,1+1+3,1+4,2+3

โจทย์ถูกหรอครับ ถ้าผมเดินซ้ายขวาๆ จุดเดิมยุตลอด มันก็ได้วิธีเป็นอนันต์แล้วครับ

1+1+1+1+1 นี่คืออะไรหมายถึงยังไงหรอครับ

ใช้ความรู้เรื่อง มุมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่เท่ากัน ย่อมเท่ากัน

Attachment 10874

วงกลมใหญ่ มุมน้ำเงินเท่ากัน (ส่วนโค้ง QB)

วงกลมซ้าย มุม x+ มุมน้ำเงินเท่ากัน (มุม PAB = มุม PRB)

มุม QRB = มุม RBS+ มุม RSB ---> มุม RBS = มุม x = มุม PAQ ซ.ต.พ.

ไม่เข้าใจโจทย์

ไม่รู้อย่างนี้เรียกว่า พิสูจน์ ได้หรือเปล่า

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

$(\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a})+(\dfrac{b}{c}-\dfrac{c}{b}) + (\dfrac{c}{a}-\dfrac{a}{c}) = 0$

$a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก แสดงว่า แต่ละวงเล็บเป็น 0

$\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a} = 0 \ \to \ a =b$

ทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $a=b=c \ $ดังนั้น

$(\dfrac{a}{b})^c+(\dfrac{b}{c})^a+(\dfrac{c}{a})^b = (\dfrac{b}{a})^c+(\dfrac{c}{b})^a+(\dfrac{a}{c})^b$

ข้อ (i) ง่ายสุด ตอบ 0 วิธี

จากมุึมขวาล่าง ไม่ให้ไปซ้าย แล้วจะไปถึงซ้ายบนได้ยังไง :haha:



(ii) ไม่รู้ใช้สูตรคุณ gon ได้ไหม

จำนวนวิธีเท่ากับ $(9+1)^6 = 10^6 \ $วิธี

แก้แล้วครับ โทดทีครับ ผมมึน

ข้อ (i)$ \ \frac{(9+6)!}{9!6!} = 5,005 \ $วิธี

ขอลองทำ ALGEBRA ข้อ1
$(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)$......เพราะ $x^5-x^4=x^2(x^3-x^2)=x^2$
$=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

$p(x)=x^3-x^2-1=(x-a)(x-b)(x-c)$
แทน $x=i$ จะได้ว่า $i^3-i^2-1=-i=(i-a)(i-b)(i-c)$
$(a-i)(b-i)(c-i)=i$.....(1)
แทน $x=-i$ จะได้ว่า $-i^3-i^2-1=i=(-i-a)(-i-b)(-i-c)$
$(a+i)(b+i)(c+i)=-i$.....(2)
(1)คูณ(2) $(a+1)(b+1)(c+1)=-i^2=1$

ใครก็ได้เฉลย Logic and Proof ข้อ5ให้ที
มันต้องใช้อุปนัยรึปล่าวอ่ะ

ถ้าเราคิดa b c มาแทนค่าเลยอันไหนจะง่ายกว่ากันอ่ะครับ

ผมขอถามข้อ1หน่อยครับ
สมเหตูสมผลกับไม่สมเหตุสมผลเราดูจากอะไรอ่ะครับ

ผมใช้วิธีเดียวกับคุณหมอครับ แต่วิธีต่อไปนี้น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ซึ่งได้มาจากเด็กๆหลายคนที่ทำข้อนี้

$a^5-a^4+1=a^2+1=a^3$

ดังนั้น $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)=(abc)^3=1$

3. Algebra
ให่ $\frac{a}{b} =x$ $\frac{b}{c} =y$ $\frac{c}{a} =z$
จากจะได้ $x+y+z=xy+yz+zx$
$1-xy-yz-zx+x+y+z-1=0$
$(1-x)(1-y)(1-z)=0$
$\frac{a-b}{b} \frac{b-c}{c} \frac{c-a}{a} =0$
ได้ $a=b$ $b=c$ หรือ $c=a$
WLOG ให้ $a=b$
จะได้
$(\frac{a}{b} )^c+(\frac{b}{c} )^a+(\frac{c}{a} )^b=1+(\frac{a}{c} )^b+(\frac{c}{b} )^a=(\frac{b}{a} )^c+(\frac{c}{b} )^a+(\frac{a}{c} )^b$

ว้าววว ลืมดูไปเลย ไปนั่งกระจายยุ

wowwwww.....ลืมทำต่อจากตอนแรก ขอบคุณคุณNoooNuiiครับ ผมทำตามความคุ้นเคยจนลืมที่จะมองต่อ เป็นหลุมพรางของการวนอยู่กับความเคยชินของเราครับ

Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
สำหรับ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
$ 3^{3n-1}+2^{n-1}=3^{3(n-1)+2}+2^{n-1}$
$=9\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
พิจารณา $2^{n-1}-3^{3(n-1)}$
$=2^{n-1}-27^{(n-1)}$
$=2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$
$(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษเท่ากับ $2^{n-1}$
ดังนั้น $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

$3^{3n-1}+2^{n-1}$ หารด้วย 5 ลงตัวเพราะ
$3^{3n-1}+2^{n-1}=10\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ และ
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว และ $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

NT ข้อ 3. จากโจทย์ต้องการหา $gcd(1^9-1,2^9-2,3^9-3,....,100^9-100)$

จาก ทบ.ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก $gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c))$ นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

$gcd(gcd(1^9-1,2^9-2,3^9-3),4^9-4,5^9-5,....,100^9-100)$

$gcd(30,4^9-4,5^9-5,...,100^9-100)$

$gcd(gcd(30,4^9-4,5^9-5,....,99^9-9),100^9-100)$

$gcd(30,100^9-100)$

$30$

ผมยังไม่ค่อยเเน่ใจน่ะครับ

amazing ครับ :great:

ว่าแต่ $ \ =1 \ $ มายังไงครับ ยังมึนๆอยู่

ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ ครับ เพราะ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $ x^3-x^2-1 = 0 $

ดังนั้น ผลคูณของราก $: abc = 1$

ตรงบรรทัดสีแดง มาน้ำเงิน

$(a-b)^n \not= a^n-b^n \ $หรือเปล่าครับ

ขอบคุณครับ

จาก $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
ดังนั้น $3^{3(n-1)+2}=3^2\cdot 3^{3(n-1)} $
$(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}$ ก็กระจายผลคูณธรรมดาครับ
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}$

ลุงBankerทักผมแล้วทำเอาผมเสียวๆว่าผมจำอะไรผิด เดี๋ยวลองอ่านทวนที่ตัวผมเองทำอีกที

คุณกิตติถูกแล้วครับ ผมมึนเอง นึกว่าตัวหลังวงเล็บเป็นเลขชี้กำลัง :haha:

หมู่นี้สายตาแปรปรวน :haha:

Number Theory

2. ผลคูณของจำนวนเต็มที่เรียงติดกัน 4 จำนวนไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ให้จำนวนทั้งสี่นั้นคือ $n,n+n,n+2,n+3$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)$
$=\left(\,(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)\right) $
$=\left(\,(n^2+3n+1)^2-1\right) $

ดังนั้นเราเขียนผลคูณของทั้งสี่จำนวนในรูปของกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้

$\because \ 2^0 = 1$

$ 2^1 = 2$

$ 2^2 = 4$

$ 2^3 = 8$

$ 2^4 = 16$
.
.
.
$2^4 = 2^0+2^1+2^2+2^3 -1$


$2^n = 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{n-1} -1$

$2^n +3 = (2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{n-1}) +2 = \ $ จำนวนคู่ + จำนวนคู่ = จำนวนคู่ ---> จำนวนประกอบ

หมู่นี้สายตาแปรปรวน :haha:

ทั้งสมาธิและสายตา ทำท่าจะแย่ :haha:

$2^0$ เป็นจำนวนคี่ครับ

$2^0 \ $เป็นจำนวนคี่ แต่ผลรวมในวงเล็บเป็นจำนวนคู่

(จำนวนคู่) + 2 = จำนวนคู่



ถ้า n = 0

$2^0+3 \ $ก็เป้นจำนวนคู่

$2^0+2^1+...+2^{n-1}$ เป็นจำนวนคี่หนิครับ

พิจารณา $n$ ที่เขียนได้ในรูป $4k+1$ $\exists k\in\mathbb{N}$
จะได้ว่า $2^n+3\equiv 2^{4k+1}+3\equiv (2\cdot (2^4)^k)+3\equiv (2\cdot 16^k)+3\equiv 2+3\equiv 0(mod5)$
และเห็นได้ชัดว่า $2^n+3\not= 5$
ดังนั้น มีจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนอนันต์($n$ ที่เขียนได้ในรูป $4k+1$) ซึ่งทำให้ $2^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ(มี $5$ เป็นตัวประกอบ)

มีกรณีเดียวนี่แหละครับที่เป็นจำนวนคู่

NT
3. $n = 2^{2k+1} ,\forall k \in \mathbb{N} $

$n = 2\cdot 4^k \equiv 2 (mod 3)$

$\therefore n = 3k+2 $

ได้ $2^n+3 = 2^{2^{2k+1}}+3 = 2^{3k+2}+3 = 4\cdot 8^k +3 \equiv 4+3 \equiv 0 (mod 7)$


$\therefore 7\mid 2^{2^{2k+1}}+3 $

สรุป มี $n$ เป็นจำนวนอนันต์ใน รูป $n = 2^{2k+1} ,\forall k \in \mathbb{N}$ ที่ทำให้ $2^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ

เรขาคณิตข้อที่1 ตีความได้2แบบรึป่าวครับ เพราะQ,Rสลับที่กันได้ (แต่ถ้าแบบที่2มันจะพิสูจน์ไม่ใด้รึป่าวครับ)

ผมงง เฉลยทีครับบบบบบๆ

ผมคิดว่าคุณ banker น่าจะใช้อนุกรม $2^n-1=2^{n-1}+2^{n-2}+...+1$ จึงทำให้ได้ว่า
$2^n=2^{n-1}+2^{n-2}+...+2$ นะคับ