ข้อสอบ สอวน.2547 ศูนย์สวนกุหลาบ
 

ของปีล่าสุดน่ะครับ

ไม่มีน้องผู้ใจดีที่ไปสอบมาส่งมาให้ หรือ นำมาโพสต์ที่นี่ พี่ก็หมดปัญญาเหมือนกันครับ. ไม่รู้จะไปเสกจากที่ไหน :eek:

ให้ a,b เป็นสัมประสิทธ์ของ xยกกำลัง17 และ xยกกำลัง18 ตามลำดับ ถ้าเรากระจาย (1+xกำลัง5+xกำลังเจ็ด)กำลังยี่สิบ ถามว่า a+b ได้เท่าไร

หาได้แล้วครับ

หน้า 1

หน้า 2

หน้า อื่นไว้ต่อวันหลังนะครับ ยังไม่ได้ สแกน จะสแกนให้ชัดกว่านี้ ด้วย
และ ยังไม่ได้ลบ ที่ทำเลอะนะครับ

ขอบคุณ คุณ sck มาก ๆ เลยครับ. :D ความชัดระดับนี้ก็โอเคแล้วครับ. มีถึงข้อ 30 ใช่เปล่าครับ.

มาร่วมกันเฉลยดีกว่าครับ. ผมขอประเดิม 3 ข้อแรกก่อนเลย

1) a, b, c ถูก (ข้อ c เช่น (x, y, z) = (1, 2, 2) ) , d ผิด เพราะ ทุก x ฮ R⁺ จะได้ว่า x + 1/x ณ 2

2) a ผิด เพราะ a = 0, b ถูก เช่น a = 1,000,001 b = 1 , c ผิด เช่น n = 3 ,
d ถูก เพราะ (n³ - 3)/(n - 3) = n² + 3n + 9 + 24/(n - 3) ดังนั้น n - 3 = -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 หรือ n = 1, 2, 5, ... , 27

3) ตอบ 4 : เพราะ (10x + 3)6528 = (30 + x)8256 จากนั้นใช้ Trick นิดหน่อย แก้สมการจะแก้ได้ง่าย ๆ คือ x = 4

ต่ออีก 3 ข้อ

4) 28
เลข 1 หลัก : 6 รวม 1 ตัว

เลข 2 หลัก : 6 = 6 + 0 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 ดังนั้นจึงได้ 60, 15, 51, 24, 42, 33 รวม 6 ตัว

เลข 3 หลัก : 6 = 6 + 0 + 0 = 1 + 5 + 0 = 2 + 4 + 0 = 3 + 3 + 0
= 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
จึงได้ 600, 150, 105, 510, 501, 240, 204, 420, 402, 330, 303,
ชุด 114 มี 3!/2! = 3
ชุด 123 มี 3! = 6
ชุด 222 มี 1

รวม 21

ทั้งหมดจึงมี 1 + 6 + 21 = 28

5) 334
n(x) + n(y) - 2n(x ว y) = 250 + 166 - 2(41) = 334

6) 8 เพราะ 1 + 6 + 5 + 6 = 18

ข้อ 8 คิดเลขเหนื่อยจัง...

7) 192 เพราะ 9 + 2(90) + 3 = 192

8) 1190.25
f'(x) = 2(x - 1) + 2(x - 3) - 4(x - 4)³ + 2(x - 8) = 6(x - 4) - 4(x - 4)³ = 2(x - 4)[ 3 - 2(x - 4)² ]
\ f'(x) = 0 ซ x = 4, ฑึ3/2 + 4

\ f(0) = 1 + 9 - 256 + 64 = -182
f(10) = 81 + 49 - 1296 + 4 = -1162
f(4) = 9 + 1 - 0 + 16 = 26
f(ฑึ3/2 + 4) = 113/4 = 28.25

\ [a, b ] = [-1162, 113/4] ฎ b - a = 28.25 + 1162 = 1190.25

9) 34
g(0) = 15, g(1) = 11, g(2) = 9, g(4) = 9, g(8) = 17 , g(10) = 25

\ [p, q] = [9, 25] ฎ p + q = 34

Note ถ้าต้องการหาเฉพาะ p อาจใช้ มัธยฐานของ 1, 2, 4, 8 คือ 3 ดังนั้น g(3) = 9 จะมีค่าต่ำสุด

ข้อ 10) ตอบ 6
ข้อนี้ผมใช้ความรู้เกินหลักสูตร ใครมีแนวคิดที่ง่ายกว่านี้ไหม ?

จะได้ว่า
P(1) = a₁ + a₂ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + 1 = 0
P'(1) = 6a₁ + 5a₂ + 3a₄ + 2a₅ + a₆ + 7 = 0
P"(1) = 30a₁ + 20a₂ + 6a₄ + 2a₅ + 42 = 0

จาก P"(1) = 0 แสดงว่า a₁ = -1 ดังนั้น 20a₂ + 6a₄ + 2a₅ + 12 = 0 ดังนั้น a₂ = -1 ดังนั้น 6a₄ + 2a₅ - 8 = 0 ดังนั้น a₄ = a₅ = 1

แทนค่าที่ทราบลงใน P'(1) = 0 และ P(1) = 0 จะได้ a₆ = -1 , a₇ = 0

\ P(x) = x⁷ - x⁶ - x⁵ + x³ + x² - x = (x - 1)³x(x + 1)(x² + x + 1)

นั่นคือ q(x) = x(x + 1)(x² + x + 1) ฎ q(1) = 6

11) ฑ 1/ึ2
จะได้ (x + 1)/(2x + 1) = x

ข้อ 12) นี่ ผมไม่อยากเริ่มต้นที่ Euler 's Theorem ที่ว่า a^ฦ(m) บ 1 mod m เมื่อ gcd(a, m) = 1 เลย ดู ๆ แล้วมันน่าจะมีแนวคิดที่สบาย ๆ กว่านี้ ใครมองออกบ้างครับ.

ข้อ 12. ภายใต้ modulo 7² เราจะได้ว่า 6²⁰⁰⁴ + 8²⁰⁰⁴
= (7 - 1)²⁰⁰⁴ + (7 + 1)²⁰⁰⁴
= (7²⁰⁰⁴ - ... - 2004*7 + 1) + (7²⁰⁰⁴ + ... + 2004*7 + 1)
= (-2004*7 + 1) + (2004*7 + 1) เพราะพจน์อื่นๆหารด้วย 7² ลงตัวหมด
= 2 :D

555 :p ข้อ 12. ที่จริงง่ายนิดเดียว อย่างที่คุณ warut เฉลยล่ะครับ. ผมคิดออกหลังจากเขียนโง่ ๆ ลงไปแล้ว ไม่รู้ทำไมทีแรกมองไม่เห็น งั้นต่อข้อ 13. นะครับ.

13) 3420

[1 + (x⁵ + x⁷)]²⁰ = SC(20,r)(x⁵ + x⁷)^r = SC(20,r)SC(r, k)(x⁵)^{r - k}x^7k

ดังนั้น ถ้า 5r + 2k = 17 แล้ว (r, k) = (3, 1)
แต่ ถ้า 5r + 2k = 18 แล้ว ไม่มี (r, k) ใดเลยที่เป็นคำตอบ
ดังนั้น ส.ป.สของ x¹⁷ คือ C(20, 3)C(3,1) = 3420 แล้ว ส.ป.ส.ของ x¹⁸ คือ 0

รอ....หน้าต่อไปครับ.

มาต่อแล้วครับ หน้า 3 กว่าจะมีเวลาเปิด net เล่นเฉลยเสร็จแล้ว 13 ข้อ
งั้นก็ลุยเฉลยต่อกันเลยนะครับ :D

หน้า 4 ครับ

หน้า 5 ต่อ

หน้าสุดท้ายแล้วครับ ครบซะที

ข้อ 4 ใช้วิธี star and bar ก็ได้นะครับ จะได้ไม่ต้องนั่งนับ
เป็น การแบ่งของเหมือนกัน 6 ชิ้น(ค่า 1) ให้คน 3 คนโดย
ต้องแบ่งให้หมดและบางคนอาจจะไม่ได้รับก็ได้
จะได้ star 6 bar 2
= C8,2 = 8!/2!6! = 28 แบบครับ

ขอทำข้อง่ายก่อนนะครับ

ข้อ 19 จัดรูปสมการใหม่เป็น

(1/ab + 1/bc +1/ca) x - (a²+b²+c²)/abc = 2(ab+bc+ca)/abc

คูณทั้งสองข้างด้วย abc และย้ายข้างจะได้

(a+b+c) x = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)²

แต่ a+b+cน0 เราจึงได้ x = a+b+c

ข้อ 30. ให้ x³ + 6x² + 11x + a = (x - p)(x - q)(x - r) = 0
และ x³ + 7x² + 14x + b = (x - p)(x - q)(x - s) = 0
จับ 2 สมการลบกันจะได้
x² + 3x + b - a = (x - p)(x - q)(r - s) = 0
จะเห็นว่า r - s = 1 นั่นคือ (x - p)(x - q) = x² + 3x + b - a
แสดงว่า x² + 3x + b - a ต้องหาร x³ + 6x² + 11x + a ได้ลงตัว
หารกันออกมาจริงๆได้เศษของการหารคือ (2 - b + a)x + a - 3(b - a)
ดังนั้น 2 - b +a = 0 และ a - 3(b - a) = 0
นั่นคือ a = 6 และ b = 8 หรือ ab = 48 นั่นเอง :D

มาแล้วครับ :p
ข้อ22.
จะเห็นว่า x³-3x-2=(x+1)(x²-x-2)
=(x+1)²(x-2)

และ x³-3x+2=(x-1)(x²+x-2)
=(x-1)²(x+2)
\(n²-1)ึn²-4=ึ(n²-1)²(n²-4)
=ึ(x+1)²(x-2)(x-1)²(x+2)
=ึ(x³-3x-2)(x³-3x+2)
ให้ x³-3x-2=a และ x³-3x+2=b
จะได้ว่า (a+ึab)/(b+ึab)=2/ึ5
[ึa(ึa+ึb)]/[ึb(ึb+ึa)]=2/ึ5
ึa/ึb=2/ึ5
a/b=4/5
5x³-15x-10=4x³-12x+8
x³-3x-18=0
x³-3x²+3x²-3x-18=0
x²(x-3)+3(x-3)(x+2)=0
(x²+3x+6)(x-3)=0
เนื่องจาก x²+3x+6 ไม่มีคำตอบที่เป็นระบบจำนวนจริง เพราะฉะนั้น x=3

ข้อ23
6x⁴-25x³+12x²+25x+6
=6(x⁴-2x²+1)-25x³+24x²+25x
=6(x²-1)²-25x(x²-1)+24x²
=[2(x²-1)-3x][3(x²-1)-8x]
=(2x+1)(x-2)(3x+1)(x-3)=0
ดังนั้นaและbคือ-1/2และ-1/3
a+b-ab=(-1/2)+(-1/3)-(-1/2)(-1/3) =-1

ข้อ17
จะได้ว่า ด้าน bc=ึ5²-4²+ึ8²-4²=3+4ึ3
ใช้สูตร รัศมีวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมเท่ากับ (abc)/(4ทพท.สามเหลี่ยมabc)
=[8ท5ท(3+4ึ3)]/[4ท(1/2)(3+4ึ3)ท4]
=5นิ้ว

ผมเพิ่งเข้าสอวนมานะครับ อยากถามข้อนี้หน่อยนะครับ
จงพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะในรูป 8k+5 มีเป็นอนันต์

So easy. Suppose there are only finitely many such primes. Let n_1,...,n_r be all distinct primes greater than 1 and n_r be the maximum prime of the from 8k+5. It can be checked easily that N=(n_1...n_r)^2+1 is also a prime. Further, N=5 mod 8, a contradiction.

no. 18 is very easy if we use the Legendre formula. The solution is 24. Anyway, we can use elementary counting:

the number of zeros in this product depends on the number of 5 in the product because each 2 and 5 in the product produces one 0 but the number of 2 in the product is always more than the number of 5. So, it suffices to count the number of power of 5 in this product. Observe that there are 20 numbers in the sequence of number from 5 to 100 which is divisible by 5
so we have 20 5's, but 25, 50, 75, and 100 have another remaining 5 to count. Therefore, there are 24 5's in this product.

ขอบคุณ คุณ sck อีกครั้ง สำหรับข้อสอบและเรื่องปล่อยไก่

วิธีทำข้อ 30 คุณ warut เด็ดมากเลยครับ. ผมทำโดยใช้ประสบการณ์คือ นั่งมองก็รู้ว่า ต้องเป็น (x + 1)(x + 2)(x + 3) กับ (x + 1)(x + 2)(x + 4) แต่แบบนี้ถือว่าไม่มีเหตุผล

ข้อ 23 ของน้อง Gools ก็เจ๋งครับ. ไปแบบตรง ๆ ไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องสมมาตรเลย ว่าแต่รู้ได้อย่างไงต้องไปทางนั้น ?

งั้นผมต่อข้อ 14 :
เมื่อวาดรูปและแก้ระบบสมการ \((x - 8)^2 + (y - 1)^2 = 4^2 , x^2 + (y - 1)^2 = 48\)
จะได้ว่าจุดสัมผัสคือ \((x, y) = (6, \pm 2\sqrt{3} + 1)\)
ดังนั้น สมการเส้นสัมผัส คือ \(y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1\)

คิดแบบไม่มีเหตุผลเหมือนกันครับ :D ทำไปเรื่อยๆแล้วมันก็แยกตัวประกอบได้เอง เย้!
วิธีแบบสมมาตรเป็นยังไงหรือครับ ช่วยสอนหน่อย

ข้อ 17 อีกวิธีหนึ่ง
จากโจทย์ ให้มุม ACB=q จะได้ว่า Sin q=1/2
\ q=30
สร้างวงกลมล้อมอบสามเหลี่ยม ให้จุดศูนย์กลางคือ O
ลากเส้นตรง AO และ BO จะได้ว่า ะAOB=60ฐ
\ ะABO=ะBAO=60
จะได้ว่า สามเหลี่ยม AOB เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
\ AO=BO=รัศมีของวงกลม=5 หน่วย

อืมมม ข้อ 23 มองได้เหนือจิงๆ แต่วิธีสมมาตรดังนี้ คับ
6x⁴ - 25x³ + 12x² + 25x + 6 = 0
ดังนั้นหารตลอดด้วย x²
จะได้ 6x² - 25x + 12 + 25/x + 6/x² = 0
จัดรูปใหม่นิดนึง
6(x² + 1/x²) - 25(x - 1/x) + 12 = 0
เนื่องจาก (x - 1/x)² = x² - 2 + 1/x² ดังนั้น x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2
ได้สมการใหม่เป็น
6(x - 1/x)² - 25(x - 1/x) + 24 = 0
ให้ t = x + 1/x จะได้สมการในรูปที่ง่ายขึ้นคือ
6t² - 25t + 24 = 0 ฎ (6t - 1)(t - 4) = 0 นั่นคือ t = 1/6, 4 แล้วก็แทนค่า t กลับไป เพื่อหาค่า x มา คำตอบก็คงเท่ากันแหละคับ

Edit (warut): correct vB code

อีกข้อนะครับ
ให้ r₁ และ r₂ เป็นรัศมีของวงกลมใหญ่และวงกลมเล็กตามลำดับ
จากรูป จงหา r₁+r₂ ในพจน์ของ d

ข้อ 27 ครับ :p

ข้อ 26 ครับ ไม่รู้จะทำผิดตรงไหนรึเปล่า :rolleyes:

ข้อ 26 : ตรงเซต B คุณ sck หามาผิดหรือเปล่าครับ. เช่น ผมลองแทน x = 2 จะพบว่าไม่จริง เท่าที่ผมลองทำไปครั้งแรก ได้ x = 5 กับ 10 ประมาณว่ามาแบบนี้ครับ. \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} = |\sqrt{x-1}-2|\) อะไรแบบนี้ จากนั้นก็นั่งมองว่าจะเกิดความจริงอะไรขึ้นมา

ขอเล่น สอวน. ให้จบก่อนนะครับ. มาต่อ ข้อ 29

29) 89

พิจารณาจำนวนตั้งแต่ 1², 2², ... , 9² จะพบว่า 7² = 6² + 3² + 2² นั่นคืออายุของ (พ่อ, แม่, ลูก 1, ลูก 2) = (49, 36, 9, 4) ดังนั้นเจ้าคุณปู่ อาจจะมีอายุเป็น 49 + 36 + 9 หรือ 49 + 36 + 4 ซึ่งจะได้ 94 หรือ 89 จึงเป็น 89 เท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ

อืม ผิดจริงๆ ด้วยครับ
ว่าแล้ว :D ว่าต้องผิด
ตอนทำลืมแทนค่าตรวจดู
วิธีที่คุณ gon แนะนำตอนแรกผมก็คิดแบบนั้น
แต่ทำไม่ไม่รู้มองไม่ออกในตอนนั้น
ว่าแล้ว ช่วยเฉลย แก้ด้วยนะครับ

no.30 : Another solution

Let x³ + 6x² + 11x + a = (x - p)(x - q)(x - r) and
x³ + 7x² + 14x + b = (x - p)(x - q)(x - s).
Then we have
p + q + r = - 6...................(1)
pq + qr + rp = 11..............(2)
pqr = - a........................(3)

p + q + s = - 7....................(4)
pq + qs + sp = 14...............(5)
pqs = - b.........................(6)

(1) - (4) ; r = s + 1..........(7)
Substituting (7) in (2) ; pq + (s + 1)(p + q) = 11 --> pq + qs + sp + (p + q) =11 --> p + q = 11 - 14 = - 3

From (4), (5), and (7) ; s = - 4, r = - 3 and pq = 14 - s(p + q) = 14 - 12 = 2

Therefore, ab = (pq)²rs = 48

ข้อ 26 เซต B
อืมผมคิดดูแล้วรู้สึกว่าจะผิดที่ ลืมเงื่อนไข
a ฃ 1 และ b ฃ 1
ลองทำดูจะได้ดังนี้ครับ
ช่วยดูด้วยนะครับว่ายังมีผิดอีกรึเปล่า
ขอบคุณที่ช่วยเตือนนะครับ :)

ข้อ 26 เซต B อีกวิธี ครับ
ึx+3-4ึx-1 + ึx+8-6ึx-1 = 1
| ึx-1 - 2 | + | ึx-1 - 3 | = 1
| ึx-1 - 2 | + | 3 - ึx-1 | = | 1 |
จาก |f(x)|+|g(x)| = |f(x)+g(x)| เป็นจริงเมื่อ f(x)ทg(x)ณ0
จะได้ ( ึx-1 - 2 ) ( 3 - ึx-1 ) ณ 0
5ึx-1 - x - 5 ณ 0
5ึx-1 ณ x + 5
x²- 15x + 50 ฃ 0
(x-5)(x-10) ฃ0
\ B = [5, 10]
วิธีนี้สั้นกว่าเยอะเลย :)
ดังนั้น ข้อ 26 AวB = [5, 6] = [a, b]
\ a+b = 5 + 6 = 11 :p

เจ๋งครับ. Nooonuii ข้อ 30 มาอีกวิธีจนได้. คุณ sck ก็เจ๋งครับ. มองเห็นทางไปจนได้ งั้นผมขอต่อข้อง่ายต่อ

15) \(\frac{175}{12}\)
เมื่อวาดรูป จะพบว่า สมการไดเรกตริกซ์จะต้องผ่านจุด (-3, 4) และ มีความชันเป็น \(\frac{3}{4}\) ดังนั้นสมการของไดเรกตริกซ์ คือ \(\frac{y-4}{x+3}=\frac{3}{4}\) หรือ \(\frac{x}{\frac{-25}{3}}+\frac{y}{\frac{25}{4}}=1\) ดังนั้น \(|a-b| = 25(\frac{1}{4}+\frac{1}{3})= \frac{175}{12}\)

มาต่อข้อ 21. โจทย์เด็ก ม.ต้น

21) 2700 ลิตร

\(t \propto \frac{s}{v}, v\propto \frac{\sqrt{Q}}{n} \Rightarrow t \propto \frac{sn}{\sqrt{Q}} \Rightarrow t = \frac{ksn}{\sqrt{Q}}\)

แทน \(t = 2, Q = 1200, s = 800, n = 120 \Rightarrow k = \frac{\sqrt{3}}{2400}\)

แทน \(t = \frac{5}{2}, s = 1200, n = 150 \Rightarrow \sqrt{Q} = 30\sqrt{3} \Rightarrow Q = 2700\)