เพชรยอดมงกุฎ 54
 

เฉพาะที่นึกออก
1. n=555,555,555,555 มีตัวประกอบเฉพาะ 8 ตัว จงหาผลบวกของตัวประกอบนั้น
2 สามเหลี่ยมabc มี b เป็นมุมฉาก มี ad แบ่งครึ่ง a(มุม) ab=1 bc=2 bd=?
3.จงหาค่าของ $ \sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } $
เดี๋ยวต่อครับ

$ n=555,555,555,555 = 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \times 101 \times 9,901$

ผลบวกเท่ากับ $3+5+7+11+13+37+101+9,901 = 10,078$

Attachment 6362

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{2-x}{\sqrt{5} }$

$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1 }{2}$


อ้างอิง

ลองแทนค่า $n = 1, 2, 3, 4 \ $ เพื่อดูรูปแบบ

$\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } + \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } + \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } + \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } $

$ = \frac{1}{1\sqrt{1+1}+(1+1)\sqrt{1} } + \frac{1}{2\sqrt{2+1}+(2+1)\sqrt{2} } + \frac{1}{3\sqrt{3+1}+(3+1)\sqrt{3} } + \frac{1}{4\sqrt{4+1}+(4+1)\sqrt{4} } $

$ = \frac{1}{\sqrt{2}+2 } + \frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2} } + \frac{1}{3\sqrt{4} +4\sqrt{3} } + \frac{1}{4\sqrt{5}+5\sqrt{4} }$

$ = \frac{\sqrt{2} -2}{2-4} + \frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2} }{12-18} + \frac{3\sqrt{4}-4\sqrt{3} }{36-48} + \frac{4\sqrt{5} -5\sqrt{4} }{80-100}$

$ = \frac{2-\sqrt{2} }{2} + \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3} }{6} +\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4} }{12} + \frac{5\sqrt{4}-4\sqrt{5} }{20}$

$ = \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{3\sqrt{2} }{6} - \frac{2\sqrt{3} }{6} +\frac{4\sqrt{3} }{12} - \frac{3\sqrt{4} }{12} + \frac{5\sqrt{4} }{20} -\frac{4\sqrt{5} }{20}$

$ =1 - \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2} }{2} - \frac{\sqrt{3} }{3} + \frac{\sqrt{3} }{3} - \frac{\sqrt{4} }{4} + \frac{\sqrt{4} }{4} - \frac{\sqrt{5} }{5}$

$ = 1 - \frac{\sqrt{5} }{5}$

$\therefore \ \ \sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } = 1 - \frac{\sqrt{361} }{361} = 1 - \frac{19}{361} = \frac{18}{19}$

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} }=\sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1} )} $

$\displaystyle =\sum_{n = 1}^{360}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1} ) } $

$\displaystlye = \sum_{n = 1}^{360}\dfrac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1} $

$=\dfrac{359}{360}$

แบบนี้หรือเปล่าครับ

$\displaystyle = \sum_{n = 1}^{360} \left(\dfrac{1}{\sqrt{n} } - \dfrac{1}{\sqrt{n+1} }\right) $

$ = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{360+1} } = 1 - \dfrac{1}{19} = \dfrac{18}{19}$

4.เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุด o ทำมุม 30 องศา มี a และb อยู่บนเส้นหนึ่ง ab=1 หน่วย จงหา ob ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้

5. n=2554 n^2 มีตัวประกอบกี่ตัว
ปล.ถ้าจำไม่ผิด ในช้อยรู้สึกจะมีแต่เกินร้อย

6. ลูกบอลแดง 3 ลูก เขียว 2ลูก ขาว 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่เรียงโดยแต่ละสีไม่ติดกัน

ข้อ 4 โจทย์มีแค่นี้หรือครับ อ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจ
Attachment 6364

แบบนี้หรือเปล่า

โจทย์แบบนี้หรือเปล่าครับ

ถ้า $n =2554 $

$n^2$ มีตัวประกอบกี่ตัว

7. รูปหกเหลี่ยมแนบในวงกลมมีสามด้านที่ติดกันยาวด้านละ 3 หน่วย อีกสามด้านที่ติดกันยาวด้านละ 5 หน่วย โดยด้านที่อยู่ตรงกลางของกลุ่มด้านที่ยาว 3,5 ขนานกัน จงหาความยาวเส้นทะแยงมุมที่ขนานกับสองเส้นดังกล่าว

โจทย์ ในบรรดาจำนวนเต็มบวก N ทั้งหลายที่มีจำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกรวมทั้งสิ้่น 2554 จำนวน จงหาว่าจำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกที่มากที่สุดของ $N^2$ ที่เป็นไปได้จะมีเท่าใด

ขอลงที่จำได้ก่อนนะครับ
8. ให้ $P(x)= (x-2012)(x-2010)(x-2008)...(x-2)$ จงหาว่าจำนวนของจำนวนเต็ม $k$ ที่มำให้ $P(k)\prec 0$ เท่ากับเท่้าไหร่ (มีช้อบมีเป็นอนันต์ด้วย)

9. กำหนดพหุนาม$ p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง
ถ้าเศษจาก $p(x)$หาร $x-1$ คือ$9$
$p(x)$หาร $x-2$ คือ $39$
$p(x)$หาร $x-3$คือ $89$
$p(x)$หาร $x-4$ คือ $159$ จงหา $a-b+c-d$

10.ถ้า 42 วัน มี n! วินาทีแล้ว n คือจำนวนใด

อีกข้อจำได้แค่ว่าถาม $\frac{a}{b}$ มีค่าเท่าไร ข้อนี้ตอบ 2 ถ้าใครจำได้ก็ช่วยต่อด้วย

ข้อ 8 เป็นอนันต์เปล่าครับ

ข้อ 9 ได้ $a=0,b=10,c=0,d=-1$

ข้อ 10 ได้ n=10 หรือเปล่าครับ

ข้อ 9 ทำยังไงอะครับ ขอวิธีทำด้วยครับ เลขเยอะเเก้ไม่ออก confuse

10. จำนวนเต็ม $a,b$ ที่สอบคล้องกับ
$17a+6b=25$ จงหาว่าค่าที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของ $a-b$ คือ..

11. $N=2^{14}+1$ และ $N=abc$ เมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $1<a<b<c$ หา $ b^2+c^2$

12. ใน 6 สัปดาห์มีกี่วินาที (ตอบในรูปเเฟค)

ข้อ9...น่าจะใช้ความรู้เรื่องทฤาฎีเศษเหลือที่ว่า เมื่อหารพหุนาม$P(x)$ ด้วย $x-c$ เศษที่ได้เท่ากับ $P(c)$ แทนค่า $c=1,2,3,4$ ได้สมการสี่สมการกับสี่ตัวแปร แก้สมการออกมาก็ตอบ

ขอบคุณครับผมเข้าใจอยู่ :D เเต่คุณอากิตติลองเเก้สมการดูจะรู้ว่าเลขเยอะมากมาย
ที่ผมถามเพราะอาจจะมีวิธีที่ไม่ต้องทำแบบนี้ ผมเคยเห็นคุณ passer-by ทำ กำหนดพหุนามใหม่ขึ้นมา
เเต่ถ้าหาอะไรได้ครบตอนหลังก็ต้องกระจายกลับเพื่อหาค่า a,b,c,d เหมือนเดิม :cry:

#15
ทำแบบ #17 ก็ได้ครับ

หรือ
ถ้ามีเวทมนตร์ ก็เสกแบบนี้

ได้แบบนี้หรือเปล่าครับ

วีธีเดียวกันเลยครับ

ข้อ 7 อ่านโจทย์แล้ว งง มาก

ตามนั้นครับ :rolleyes:

มันจะได้ว่า $Q(x)=0$ แล้วเราก็สมมติ $Q(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=P(x)+1-10x^2$
ดังนั้น $P(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10x^2-1$
จากที่ดู $k$ ก็น่าจะเท่ากับ $1$ เพราะ $P(x)$ เป็นพหุนามโมนิก เเล้วต่อไปจะหา $a,b,c,d$ ยังไงครับ
มีวิธีเทียบ สปส. รึเปล่าหรือว่าต้องกระจายอย่างเดียวครับ

ขอวิธีทำข้อ 10 ด้วยครับ

$6 \times 7 \times24 \times 60 \times 60$

$= (6 \times 7) \times (8 \times \color{blue}{3}) \times (\color{blue}{3} \times2 \times 10) \times (4 \times 3 \times 5 \times 1)$

$ = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$ = 10 !$

ึคุณ Cachy-Schwarz ไปสอบมาได้ที่เท่าไหร่หรอครับ

ไม่ได้ดูอันดับที่ครับรู้เเต่ว่าไกล = =

#23
ไม่จำเป็นต้องกระจายครับ (หรือ ถ้ารักในพีชคณิตก็ไม่ว่ากัน)
ดู $-P(-1)$ ได้ครับ

ได้ กี่คะแนนหรอครับ

ปล1. ผมไม่ได้ไปหรอกครับ

ปล.2 $2^{14}+1=5 \cdot 29 \cdot 113$ อยากเห็นวิธีข้อนี้มากเลยครับ

โหดมากครับ :great::great: แล้วที่ผมทำมามันถูกเเล้วรึเปล่าครับ

$2^{10} +1 = 1024 + 1$

$2^{11} +1 = 2048 + 1$
.
.

$2^{14} +1 = 163840 + 1 =16385 = 5 \times 29 \times 113$

$a = 5, \ \ b = 29, \ \ c = 113$

$ b^2+c^2 = 29^2 + 113^2 = 841 + 12769 = 13610$

ปัญหาคือจะแยกตัวประกอบอย่างไรในเวลาไม่นานนัก :sweat:

#31
$2^{14}+1=(2^7+1)^2-2^8$

พอไหวไหม

คาราวะ 10 จอกครับ :great:

เห็นวิธีแล้วนึกในใจว่าทำไมถึงคิดไม่ออกเนี่ย :haha:

ข้อ
13. จากการสุ่มหยิบหมายเลข 3 ครั้งๆละ 1 หมายเลขจากกล่องที่มีเลข 1,2,3,4,5 หมายเลขละ 1 ชิ้นไม่ใส่คืน ให้
a,b,c แทนหมายเลขที่สุ่มหยิบได้ในครั้งที่ 1,2,3 ตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่ ab+c เป็นจำนวคู่เท่ากับ...

14. ชาย 10 คนนั่งเก้าอี้ 10 ตัวเรียงในเส้นตรง จากนั้นทุกคนยืนขึ้นเพื่อจะนั่งที่นั่งใหม่
จงหาว่ามีกี่วิธีที่ชายทั้ง 10 คนจะเลือกนั่งเก้าอี้ 10 ตัวนั้นโดยชายเเต่ละคนนั่งเก้าอี้ตัวเดิมหรือนั่งติดกับเก้าอี้ที่เขาเคยนั่ง

15. ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ $d_1,d_2...,d_k$ เป็นตัวหารที่เป็นบวกทุกตัวของ n โดยที่
$1=d_1<d_2<d_3<...<d_k=n$
จงหาว่าจะมีจำนวนเต็มบวก n ทั้งสิ้นกี่จำนวนที่สอดคล้องกับ
(i) $2\leqslant n\leqslant 2011$
(ii) $d_2=k$

:died: ไหวแน่นอนครับ สุดยอด :great:

จริงๆแล้ว $2^{10} = 1024 \ $ เป็นตัวเลขที่ต้องรู้อยู่แล้ว

ยกกำลังไปอีกสองสามครั้ง บวกกับ 1 ก็ได้ 16385 ซึ่งมี 5 เป็นตัวประกอบ ก็แยกได้อีก 2 ตัว รวมใช้เวลาไม่น่าเกิน 2 นาที

รู้สึกว่า โจทย์จริงๆ A B จะวิ่งคนละเส้นครับ แต่ห่างกัน 1 หน่วยเสมอ และ 2 เส้นทำมุมกัน 30 องศ่า

16.ให้ $x$เป็นจำนวนจริงบวก หาว่า $\sqrt[3]{x\sqrt{x} }$ มีค่าเท่าใด

17. ค่าเฉลี่ยของจำนวน 7 จำนวน เท่ากับ 27 ถ้านำจำนวนที่น้อยที่สุดออกไปจะทำให้ค่าเฉลี่ยของ 6 จำนวนที่เหลือเป็น
33 จงหาจำนวนที่นำออกไป

18. $\sqrt{2+\sqrt{x} } = 3$ หา x

19. กำหนดลำดับ 1,-2,3,-4,5,-6... จงหาค่าเฉลี่ยของ 200 พจน์เเรก

ผลรวม 200 พจน์แรกเท่ากับ -100

ค่าเฉลี่ยเท่ากับ $\frac{-100}{200} = -0.5$

$\sqrt{2+\sqrt{x} } = 3$

$2 + \sqrt{x} = 9$

$\sqrt{x} = 7$

$ x = 49$