IJSO #7 2553
 

ช่วยแก้ไขให้ด้วยครับ
upload file ไว้ที่
http://upic.me/i/4x/ijso7p01.jpg
http://upic.me/i/ls/ijso7p02.jpg
http://upic.me/i/j5/ijso7p03.jpg
http://upic.me/i/2e/ijso7p04.jpg

ขอบคุณครับ safety first, save ไว้ก่อน เดี๋ยว file หมดอายุ :D

ขอบคุณมากครับ

ผมขออนุญาตเอามาลงให้เห็นชัดๆ ครับ

ขอบคุณมากครับ สำหรับโจทย์
เท่าที่คิดได้

1. ก
2. ค
3. ง (โดย คุณ passer-by)
4. ค
5. ข
6. ง
7. ข
8. ก
9. ค
10. ข
11. ค
12. ก
13. ข
14. ง
15. ค
16. ข
17. ง
18. ก
19. ค (โดย คุณ passer-by)
20. ก
21. ข
22. ง
23. ก
24. ค
25. ง

รบกวนผู้รู้ท่านอื่น ช่วยแนะนำด้วยครับ
ขออนุญาติไปทำงานก่อน :cry:

ข้อ3,4 เราตอบ ก อะ ใครทามได้มาโพสกันหน่อยคราบ

ข้อ 3 ผมยังหาจำนวนเต็มบวกทั้งคู่ไม่เจอครับ :wacko:

เจอแต่ชุดที่เป็นเต็มบวกและเต็มลบ คุณ drinkbas ได้คำตอบอะไรบ้างครับ

ส่วนข้อ 4 น่าจะเป็น ค ครับ

ป.ล. ปีนี้ไม่มี calculus มหาโหดเลย... ดีจัง :laugh:

มีด้วยเหรอครับ ปีไหนอ่ะ

ข้อ 3 จัดรูปสมการใหม่เป็น $ n= \frac{m(m-48)}{24-m}$

จากสมการนี้ ถ้าต้องการให้ m,n เป็นจำนวนนับทั้งคู่ แสดงว่า 24 < m< 48

และ เนื่องจาก n เป็นจำนวนนับ ดังนั้น $ 24-m | m(m-48) \Rightarrow 24-m |\, 24m \Rightarrow 24-m |\, 24^2 $

แทนค่า m เช็คแล้วพบว่า มี 10 คู่อันดับดังนี้ครับ

(m,n) = (25,575),(26,286),(27,189),(28,140),(30,90),(32,64),(33,55),(36,36),(40,20),(42,14)

ส่วนข้อ 19 ผมว่าน่าจะเป็นข้อ ค นะครับ

ข้อ 19 ผมได้ ก ครับ

Attachment 2513

$3\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = R$
$R = 3+2\sqrt{3}$

ผมว่าแนวคิดไม่ถูกนะครับ ถ้าจะเป็นตามที่คำนวณโจทย์ต้องเป็นครึ่งลูก เพราะถ้าเต็มลูกจุดที่สัมผัสจะอยู่สูงกว่านี้ครับ(มองจากมุมสูง)

ขอบคุณ คุณหยินหยางครับ พอมาดูด้าน side view ถึงเห็นว่าคำตอบที่แล้วฝาชีมันจะติดที่จุด B

Attachment 2514

$Rsin45 = (3)cos45+3$
$R = 3+3\sqrt{2}$

อืมม...ทำไมตรง side view ถึงมั่นใจว่าเป็น 45 องศาล่ะครับ

ภาพที่ผม จินตนาการได้ในหัว คือ ผมลากเส้นจาก จุดสัมผัสฝาชีกับทรงกลม ทะลุผ่านจุดศูนย์กลางทรงกลมมายังจุดศูนย์กลางครึ่งทรงกลม จาก 3 ทิศทาง แล้วเชื่อมสามเหลี่ยมด้านเท่าด้านละ 6 หน่วยตรงระนาบจุดศูนย์กลางทรงกลม

ถ้ารัศมีครึ่งทรงกลมเป็น R

สิ่งที่ผมได้คือพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ 6 หน่วย และมีจุดยอดที่จุดศูนย์กลางครึ่งทรงกลม (ฝาชี) โดยที่สันทุกสันยาว R-3 หน่วย

แล้วผมก็แก้สมการตามปกติหาค่า R ซึ่งตรงกับข้อ ค ครับ

..ขอไปลองคิดทบทวนดูใหม่อีกทีครับ

ขอบคุณมากครับ สำหรับคำชี้แนะ

ผมว่าวิธีนี้ก็ไม่น่าจะถูกครับ จะใช้วิธีนี้ได้โจทย์ต้องกำหนดให้เป็น 2 ลูกถึงจะใช้ได้ครับ ผมมีวิธีคิดเหมือนคุณ passer-by ครับ

จาก Top view ของคุณ Kowit pat. ความเห็น #10 และ Side view ความเห็น #12
มองให้เห็นเป็นกรวยสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ 6 หน่วย(ที่กึ่งกลางทรงกลม) และ
มีจุดยอดที่จุดศูนย์กลางครึ่งทรงกลม (ฝาชี)

จะได้ R ฝาชี = 3 + สันเอียงของกรวย

ตาม ความเห็น #13 ของคุณ passer-by ถูกต้องแล้วครับ

ข้อนี้ผมได้ $\sqrt{21}$ อะไรเนี่ยแหละครับ (จำช้อยไม่ได้)

คำตอบข้อ 19. ตามคุณ passer-by ถูกต้องแล้วครับ

ตอนทำ ผม มั่ว+มึนไปหน่อย จับ 3D มาคำนวณเป็น 2D แล้วก็ใส่มุมผิด ๆ
ต้องขอไปรับโทษ ด้วยการวิ่งรอบสนามซัก 19 รอบ :haha:

ขออภัยและขอบคุณสำหรับคำแนะนำดี ๆจาก ทุกท่าน

รบกวนช่วยดูข้ออื่น ๆ ให้ด้วยครับ :laugh:

ช่วยอธิบายเพิ่มเติมให้หน่อยครับ
ว่าทำไม $ 24-m | m(m-48) \Rightarrow 24-m |\, 24m $
และทำไม $24-m |\, 24m \Rightarrow 24-m |\, 24^2 $
ขอบคุณครับ

ลองดู 2 บรรทัดนี้นะครับ
$ m(m-48) = m((m-24)-24) = m(m-24) -24m $

$ 24m = 24(m-24+24) = 24(m-24)+24^2$

ขอบคุณครับ เข้าใจแล้วครับ
น่าจะเหมือนกับ
$ m(m-48) = m^2-48m = (m^2-2\times m\times 24+24^2)-24^2 $
$ = (m-24)^2-24^2$

ผมมีวิธีคิดอีกแบบ
$ \frac{1}{24} = \frac{1}{m} + \frac{1}{m+n} $
$ 24 = 2^3 \times 3 $
$ \frac{2}{2\times x} + \frac{1}{2\times x} $ ก็จะหา $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มได้
ทำนองเดียวกัน เปลี่ยน $2$ เป็น 3, 4, 6, 8, 12 และ 24 ได้อีก 6 ค่า
รวมเป็น 7 ก็คือ จำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ 24 (8 ตัว) - 1 (ต้องหักตัวประกอบที่เป็น 1 ออก)
เพราะ $ \frac{1}{x} + \frac{1}{x} $ จะได้ $ m = m+n \Rightarrow n = 0 $ ไม่ได้
จะมี 3 ที่เป็นตัวประกอบจำนวนเฉพาะของ 24 อีก
$ 24 = 3 \times 8 $
$ \frac{3}{3\times 2\times x} + \frac{2}{3\times 2\times x} $ ก็จะหา $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มได้
ทำนองเดียวกัน เปลี่ยน $2$ เป็น 4 และ 8 ได้อีก 2 ค่า
รวมเป็น 3 ก็คือ จำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ 8 (4 ตัว) - 1 (ต้องหักตัวประกอบที่เป็น 1 ออก)
เพราะ $ \frac{3}{3\times x} + \frac{3}{3\times x} $ จะได้ $ m = m+n \Rightarrow n = 0 $ ไม่ได้

ผมลองวาดรูปมาให้ดูเป็น 3D
Attachment 2589

ผมได้ 20ข้อเองงะ
โห

ใครพอจะมีวีธีละเอียดๆที่สามารถเข้าใจ แบบคนที่ไม่ค่อยถนัดเลขาเข้าใจอ่าครับ

หาสันยังไงครับ?

แล้วข้อ 4,10,13,19,21 มีแนวคิดยังไงเหรอคับ ทำไม่เป็นอ่าคับ:haha::haha::sweat:

ข้อ22 ทำไมผมได้ ค。อะคับ

ข้อ4
$1-\sqrt{6} +\frac{1+3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} }{1+\sqrt{2} +2\sqrt{3} +\sqrt{6} }$
= $1-\sqrt{6} +\frac{(1+\sqrt{3})+(\sqrt{6} +3\sqrt{2} ) }{(1+\sqrt{2})+(6+2\sqrt{3} ) }$=$1-\sqrt{6} +\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{6}(1+\sqrt{3} ) }{1+\sqrt{2}+\sqrt{6}(1+\sqrt{2} ) } $
=$1-\sqrt{6}+\frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{6} ) }{(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{6} ) } $
เเล้วที่เหลือก็ง่ายเเล้วคับ

ข้อ10 ถ้า a เป็นค่าคงตัวที่ทำให้ $x+ay = y+ax = xy$ มีเพียงคำตอบเดียวเเล้ว a มีค่าเท่ากับเท่าไหร่
$x+ay-(y+ax)=0$---> $(x-y)(1-a)=0$ เเต่ระบบสมการมีคำตอบเดียวเเสดงว่า a ไม่เท่ากับ1
$\therefore x=y$ แทนค่า x=y ใน $x+ay=x$
จะได้ $y+ay=y^2$---> $y(y-(1+a))=0$ ---> y=0,1+a
เเต่ระบบสมการมีคำตอบเดียว แสดงว่า $1+a=0$--->a=-1

โอ้ ขอบคุณ๛Cachy–Schwarz๛ มากคับ:):):)

หาความยาวของสันยังไงครับ ไม่มีใครตอบเลย

$13).$ ทำ $AP:PC=1:2$ ก่อน ที่เหลือก็ง่าย

$19).$ มีเฉลยแล้ว ลองทำความเข้าใจดู ไม่ได้จริงๆเดี๋ยวทำแบบเข้าใจง่ายๆให้

$21).$ $\sqrt{a+b}<a+b<a+\sqrt{b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

หาสันของข้อไหนคับ

ข้อ19 ตามที่โพสต์นี้บอกอ่ะครับ:mad: