ข้อสอบ สิรินธร ครั้งที่ 13 ม.ต้น 13 ธันวาคม 2558
 

ข้อสอบ สิรินธร ครั้งที่ 13 ม.ต้น 13 ธันวาคม 2558 ครับ
รบกวนช่วยๆกันเฉลยด้วยนะครับ:please::please::please:

ข้อ 3 ตอน 1 จัดรูปได้เป็น$x^2+2x+y^2\leqslant 4 \rightarrow (x+1)^2+y^2\leqslant 5$
เป็นพื้นที่ภายในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (-1,0) รัศมี $\sqrt{5} $ หน่วย กราฟอสมการ$y\leqslant |x+1|$
ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมแล้วแบ่งครึ่งเหลือครึ่งวงกลม พื้นที่เป็น$2.5\pi$

ข้อ 4 ตอน 1 นำ 5 ไปแทนในอสมการแล้วเป็นเท็จ ค่าของ 6 ทำให้อสมการเป็นจริง ตอบ ข
ข้อ 6 ตอน 1 ให้$\sqrt[3]{5}=a\rightarrow x^3+x^2-ax+a^3+a^2=0$
$(x+a+1)(x^2-ax+a^2)=0 ได้ว่า x=-a-1=-\sqrt[3]{5}-1$ นำไปแทนใน k หาค่าต่อ ได้ -5

ข้อ 14 ตอน 1 เลขหลักเดียว มีเลข 1 1 ตัว เลข 2 หลัก มีเลข 1 ในหลักสิบ 1x สามารถใส่ได้ 10 วิธี ในหลักหน่วย
X1 สามารถใส่ได้ 9 วิธี ในหลักร้อย มีเพียงตัวเดียว ได้เลข 1 ทั้งหมด 21 ตัว ในทำนองเดียวกันเลข 2,3,4,5,6,7,8,9 มีทั้งหมด 20 ตัว จำนวนเลขโดทั้งหมดในหลักเดียว 9 ตัว เลข 2 หลักมี $2\times90=180$ เลข 3 หลักมี 3 ตัว
ได้เลขโดดทั้งหมด 192 ตัว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ $\frac{21(1)+(2+3+...+9)(20)}{192}=4.69$

ข้อ 18 ตอน 2 $พิจารณา mod8$ $3\equiv 3mod8 $
$33\equiv 1 mod8$ $333\equiv 5mod8$ $3333=3000+333\equiv333mod8\equiv5mod8$
$33333=33000+333\equiv333mod8=5mod$ สำหรับเลข 3 สี่ตัวขึ้นไปจะหารเหลือเศษ5 เสมอ
ได้เศษเป็น $3+1+2013(5)=10069\equiv5mod8$
ดังนั้น$[(3+33+333+.....+333...333(2015ตัว))]^2\equiv25mod8\equiv1mod8$ ครับผม

ข้อ 7 ตอน 2 ลอกสมาคมปีนี้ มา ==" จากโจทย์บอกสมมติให้ $B=x^2+ex+2$ เมื่อ e เป็นค่าคงที่
จะได้ $ax^3+bx^2+cx+d=(3x+2)(x^2+ex+2)=3x^3+(3e+2)x^2+(2e+6)x+4=0$
เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $a=3 ,b=3e+2 ,c=2e+6, d=4 $ แต่ $4b+c=0\rightarrow 14e=-14,e=-1$
ได้ $b=-1,c=4$ ได้ $a+b+c+d=10$

ข้อ 8 ตอน 2 นี่ถึกมาก แถมในห้องสอบทดผิดด้วย:cry:
$143,489,802=101000000001000010_3$
ได้ $w=17,x=15,y=6,z=1$
ได้ $w(x+y)^2+\sqrt{z}=17(441)+1=7498$

ข้อ 19 ตอน 2 สังเกตแบบรูปที่ให้มาผลบวกของตัวบนและตัวล่างของ เลข ใดๆในแบบรูปมีค่าเท่ากับ $2(x+1)$ เมื่อ x คือจำนวนตรงกลาง ดังนั้นผลบวกเลขที่อยู่ด้านบนและด้านล่างของ $250$ คือ $502$

ข้อ 1 ตอน 2
แยกเป็น 2 กรณี
1. x เป็นเลขหลักเดียว
จะได้ว่า $\frac{xxx}{x+x+x} =37$
มีทั้งหมด 9 จำนวน
2.xเป็นเลขสองหลัก มีทั้งหมด 90จำนวน
ให้ $x=\overline{ab} $ เมื่อ $1\leqslant a\leqslant 9, 0\leqslant b\leqslant 9$
จะได้ว่า $\frac{xxx}{x+x+x} =\frac{\overline{ababab} }{3\overline{ab} }=\frac{10101}{3} =3367$

ผลรวมของจำนวน $\frac{xxx}{x+x+x} =(37\times 9)+(3367\times 90)=333+303030=303363$

ข้อ 4 ตอน2
$n-S(n)=873$
จะได้ว่า 1.$n\geqslant 873$
และ 2. $n$ เป็นเลขสามหลัก ไม่ใช่สี่หลัก เพราะพิจารณา ค่าของ $S(n)$ ของเลขสี่หลักจะอยู่ระหว่าง $1-36$
ซึ่ง เมื่อแทนค่า $S(n)$ ที่มากที่สุดลงไปจะได้ $n=873+36=909$ ซึ่งไม่ใช่เลขสี่หลัก

ให้ $n=\overline{abc} $ เมื่อ $a,b,c$ เป็นเลขโดด
$n=873+S(n)$
$\overline{abc}=100a+10b+c=873+(a+b+c)$
$99a+9b=873\rightarrow 11a+b=97$
เนื่องจากเรารู้ว่า $873<n\leqslant 999$ เราจึงเลือกแทน $a=8$ ส่วน $a=9$ ทำให้ได้ค่า $b$ ติดลบ
จะได้ว่า $a=8,b=9$ และ $0\leqslant c\leqslant 9$

ผลรวมของค่า $n$ เท่ากับ $890+891+892+...+899$
เท่ากับ $890\times10+(1+2+3+...+9)$
$=8900+45=8945$

ข้อ 3 ตอนที่ 2
$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=48$
$2(\frac{b}{2} -\frac{a}{2} )^2+2(\frac{c}{2} -\frac{b}{2} )^2+2(\frac{c}{2} -\frac{a}{2} )^2=48$
$(\frac{b}{2} -\frac{a}{2} )^2+(\frac{c}{2} -\frac{b}{2} )^2+(\frac{c}{2} -\frac{a}{2} )^2=24$
เราเขียน $24$ ในรูปของผลบวกของจำนวนกำลังสองได้รูปแบบเดียวคือ $24=4+4+16$
ดังนั้น $\frac{b}{2} -\frac{a}{2}=2,\frac{c}{2} -\frac{b}{2} =2,\frac{c}{2} -\frac{a}{2}=4$
เพราะว่าโจทย์กำหนด $a\leqslant b\leqslant c$
ดังนั้น $b-a=4,c-b=4 $ และ $c-a=8$
สำหรับกรณีที่มีสองค่าใดๆเท่ากันนั้น จะได้ค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เพราะสมมุติให้ $a=b$จะได้สมการ $(\frac{c}{2} -\frac{b}{2})^2=12$ เช่นเดียวกับกรณีของ $b=c$

โจทย์กำหนดว่า $a,b,c<2558$
พิจารณาค่ามากที่สุด คือ $c$ เท่ากับ $2557$จะได้ว่า $a=2557-8=2549$
ดังนั้นมีจำนวนชุดคำตอบเท่ากับ $2549$

ทดเสร็จสักสามสี่ข้อ ได้ข้อสอบมาจากลูกที่ไปสอบ ทำไม่ได้ ถึงกับบอกว่า มีข้อสอบแบบนี้บนโลกมนุษย์ด้วยเหรอ
เดี๋ยวทดเสร็จจะค่อยๆพิมพ์ลงให้ช่วยการตรวจว่า ผมทดผิดตรงไหนครับ

ข้อ 18 ตอนที่ 2
แบบไม่ใช้มอดูลลัส
$N=3^2\times (1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015})\times (1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}) $

ถ้าเขียนแต่ละพจน์ให้อยู่ในรูป $8P+r$ เมื่อ $r$ เป็นเศษของการหารด้วย 8
$N=(8+1)\times (8P+r)\times (8P+r)$
$=(8+1)\times (64P^2+16P+r^2)$
$=(8+1)\times (8(8P^2+2P)+r^2)$
$=64(8P^2+2P)+8r^2+8(8P^2+2P)+r^2$

พจน์ที่ไม่มีเลข 8 คือเศษจากการหาร $N$ ด้วย 8 ซึ่งก็คือ $r^2$
$1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}$
ถ้าลองเขียนใหม่จะได้ว่า
$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)+2013(100)+2014(10)+2015(1) $
พิจารณา $1000=(2\times 5)^3=2^3\times 5^3$
นั่นแสดงว่าตั้งแต่ $1000$ ขึ้นไป จะมี $2^3$ เป็นตัวประกอบ
$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)=8M$

$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)+2013(100)+2014(10)+2015(1) $
$=8M+2013(100)+2014(10)+2015(1)$
$=8M+(8(251)+5)(8(12)+4)+(8(251)+6)(8(1)+2)+(8(251)+7)$
$=8M+(8\bigtriangleup +4)+(8\bigtriangledown+4)+(8(251)+7) $
$=8\bigcirc +7$

หรือจะกระจาย $2013(100)+2014(10)+2015(1)=201300+20140+2015=\left\{\,8(25162)+4\right\} +\left\{\,8(2517)+4\right\}+\left\{\,8(251)+7\right\} $
$=8(25162+2517+251)+4+4+7$
$=8(25162+2517+251)+8+7$
$=8(25162+2517+251+1)+7$

$1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}=8\bigcirc +7$
จะได้ว่า $r=7 \rightarrow r^2=49$
$r^2$ หารด้วย 8 เหลือเศษ 1
ดังนั้น $N=(3+33+333+...+\overbrace{333...333}^{2015})^2 $ หารด้วย 8 เหลือเศษคือ 1

ข้อ 15 ตอนที่2
$\sqrt[3]{20+\sqrt{392} }+\sqrt[3]{20-\sqrt{392} }=M$
$\sqrt[3]{20+\sqrt{392} }=A\rightarrow A^3=20+\sqrt{392}$
$\sqrt[3]{20-\sqrt{392} }=B\rightarrow B^3=20-\sqrt{392}$
$A^3+B^3=40=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
$A^2-AB+B^2=(A+B)^2-3AB$
$AB=2$
$40=(A+B)((A+B)^2-3AB)=(A+B)^3-3AB(A+B)$
$40=(A+B)^3-6(A+B)$
$(A+B)^3-6(A+B)-40=0$
$M^3-6M-40=0$
$(M-4)(M^2+4M+10)=0$
เนื่องจาก $M^2+4M+10=0$ มีค่าdiscriminantน้อยกว่า 0
$b^2-4ac=(4^2)-4(1)(10)=16-40=(-24)$
เหลือคำตอบในระบบจำนวนจริงคือ $M-4=0 \rightarrow M=4$
$\sqrt[3]{20+\sqrt{392} }+\sqrt[3]{20-\sqrt{392} }=4$

ข้อ 21 ตอนที่ 2
จาก $\sqrt[3]{4-\sqrt{15} } \times \sqrt[3]{4+\sqrt{15} } =1\rightarrow \sqrt[3]{4-\sqrt{15} }=\frac{1}{\sqrt[3]{4+\sqrt{15} }} $
$(\sqrt[3]{4-\sqrt{15} })^{x}+(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x} =8$
$(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x} +(\frac{1}{\sqrt[3]{4+\sqrt{15} }})^{x}=8 $
$(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{2x}-8(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x} +1=0$
ให้ $(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=A$
$A^2-8A+1=0$
$A=4\pm \sqrt{15} $
กรณีแรก $(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=4+\sqrt{15} $
จะได้ $x=3$
กรณีที่สอง $(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=4-\sqrt{15} =(\sqrt[3]{4-\sqrt{15} })^3$
$(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{-3}$
ดังนั้น $x= -3$

$a=3,b=-3$
$a^4+2b=3^4+2(-3)=81-6=75$

เติมคำข้อ 4 คุณกิตติคิดอะไรผิดไปหรือเปล่าครับ

ข้อ 7 ตอนที่ 1
$\frac{2xy+yz-4xz}{47xyz} =\frac{2}{47}(\frac{1}{z} )+ \frac{1}{47}(\frac{1}{x})-\frac{4}{47}(\frac{1}{y})$
$\frac{3xy}{x+y}=4\rightarrow \frac{1}{4} =\frac{x+y}{3xy}\rightarrow \frac{3}{4} =\frac{1}{x}+\frac{1}{y} $......(1)
$\frac{2yz}{y+z}=3\rightarrow \frac{1}{3} =\frac{y+z}{2yz}\rightarrow \frac{2}{3} =\frac{1}{z}+\frac{1}{y} $......(2)
$\frac{5xz}{x+z}=2\rightarrow \frac{1}{2} =\frac{x+z}{5xz}\rightarrow \frac{5}{2} =\frac{1}{x}+\frac{1}{z} $......(3)
(1)-(2) $\frac{1}{12} =\frac{1}{x}-\frac{1}{z}$.....(4)
(4)+(3) $\frac{31}{12}=\frac{2}{x}\rightarrow \frac{1}{x}=\frac{31}{24}$
แทน $\frac{1}{x} $ ในสมการ (4)
$\frac{1}{z}=\frac{1}{x}-\frac{1}{12}=\frac{31}{24}-\frac{1}{12}=\frac{29}{24} $
$\frac{1}{y}=\frac{2}{3}- \frac{1}{z}=\frac{2}{3}-\frac{29}{24}=-\frac{13}{24} $
$\frac{2xy+yz-4xz}{47xyz} =\frac{2}{47}(\frac{1}{z} )+ \frac{1}{47}(\frac{1}{x})-\frac{4}{47}(\frac{1}{y})$
$=\frac{2}{47}(\frac{29}{24} )+ \frac{1}{47}(\frac{31}{24})-\frac{4}{47}(-\frac{13}{24})$
$=\frac{1}{47\times 24}\left(\,58+31+42\right) $
$=\frac{131}{47\times 24} =\frac{1}{8} $

$\frac{47xyz}{2xy+yz-4xz} =8$

ไม่รู้ว่าข้อ4 ผมลืมกรณีไหนไปบ้างไหมครับ ช่วยบอกหน่อยครับ แชร์วิธีแก้โจทย์กันได้ครับ ผมจะได้เรียนรู้ด้วยครับ

พบแล้วครับ บวกเลขผิดไปครับ
ขอบคุณมากครับ

ข้อ27 ตอนที่1
$a=-(\sin 15^\circ +\cos 15^\circ)$
$b=\sin 15^\circ \cos 15^\circ=\frac{2\sin 15^\circ \cos 15^\circ}{2}=\frac{\sin 30^\circ}{2} =\frac{1}{4} $
$a^2=(\sin 15^\circ +\cos 15^\circ)^2=1+2\sin 15^\circ \cos 15^\circ=1+2b$
$a^2-b=1+b,a^2+b=1+3b$
$a^4-b^2=(a^2-b)(a^2+b)=(1+b)(1+3b)=(1+\frac{1}{4} )(1+\frac{3}{4})=\frac{35}{16} $

ข้อ 23 ตอนที่2
$12345678910111213...2015=1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12/13/.../2014/2015$
พิจารณาทีละล็อต
$1/2/3/4/5/6/7/8/9$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$
$10/11/12/13/14/15/16/17/18/19$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $(1\times 10)+1+2+3+4+5+6+7+8+9=10+45=55$
$20/21/22/23/24/25/26/27/28/29$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $(2\times 10)+1+2+3+4+5+6+7+8+9=20+45=65$
เช่นเดียวกับล็อตของ $30/31/32/33/34/35/36/37/38/39$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $(3\times 10)+1+2+3+4+5+6+7+8+9=30+45=75$
เริ่มมีรูปแบบ ให้เดาไว้ว่าจาก 1-99 น่าจะมีผลบวกเท่ากับ $45\times \overbrace{10}^{จำนวนล็อต หลักสิบ 0-9} +(10+20+30+40+50+60+70+80)$
$=450+450=900$

จาก 100 ถึง 199 มีเลขหนึ่งเพิ่มมา 100 ตัว มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $900+100=1000$
จาก 200 ถึง 299 มีเลขสองเพิ่มมา 100 ตัว มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $900+(2\times 100)=1100$
เริ่มเห็นรูปแบบว่าจาก 1ถึง 999 มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $900\times \overbrace{10}^{จำนวนล็อต หลักสิบ 0-9}+(100+200+300+...+900)=9000+4500=$ $13500$

จาก 1000 ถึง 1999 มีเลขหนึ่งเพิ่มมา 1000 ตัว มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $13500+1000=$ $14500$
จาก 2000 ถึง 2015 มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $(16\times 2)+1+2+3+4+...9+1+1+1+1+2+1+3+1+4+1+5=32+45+21=$ $98$

ผลบวกของเลขโดดของจำนวน $12345678910111213...2015$ เท่ากับ $13500+14500+98=28098$

ไม่รู้ว่าจะตกหล่นตรงไหนไปบ้าง ช่วยผมดูด้วยแล้วกันครับ

ผมลองคิดดูเล่น ๆ ยังเหลืออีกนิดหน่อย 4 ข้อ บางข้อที่ยังขี้เกียจทำ เพราะดูเหนื่อย :haha:

ข้อไหนที่คิดว่าผิดช่วยโต้แย้งด้วยนะครับ. :rolleyes:

ตอนที่ 1.

1. ก
2. ข?
3. ก
4. ข
5. ก
ตอนที่ 2.
1. 303363
2. 30
3. 2549
4. 8945
5. 274

รบกวนคุณ Gon เฉลยข้อ 10 ตอน 1 ให้หน่อยครับ:please:

ข้อ 10 ตอน 1

$\Delta ABD \sim \Delta COE$ ครับ

ข้อ 11 ตอน 1

ง. หรือเปล่าครับ

ข้อ 2 ตอน 1

ถ้าให้ $\textrm{f}_{a}(1) = 0$ ได้หรือเปล่าครับ

ข้อ 11 ตอนที่2
$\frac{a}{2-a} =\frac{b}{7-b}=\frac{c}{15-c} $
$\frac{2-a}{a} =\frac{7-b}{b}=\frac{15-c}{c} $
$\frac{2}{a} =\frac{7}{b}=\frac{15}{c} $
$\frac{a}{2} =\frac{b}{7}=\frac{c}{15}=k$......(1)
$\frac{a+b+c}{2+7+15}=\frac{a+b+c}{24} =k $
$\frac{-a}{-2} =\frac{-b}{-7}=\frac{c}{15}=k$
$\frac{c-b-a}{15-7-2}=\frac{c-b-a}{6}=k $....(2)
(1)=(2) $\frac{c-b-a}{6}=\frac{a+b+c}{24}=k$
$c-b-a=\frac{16\times 6}{24} =4$

รัศมี $R = \sqrt{74}$ จากนั้นผมใช้กฎของไซน์เวอร์ชันสมบูรณ์แบบ

(ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยากโดยลากเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC จุดหนึ่ง)

$\frac{b}{\sin B} = 2R $ จะได้ $\frac{AC}{\sin B} = 2\sqrt{74}$

เมื่อรู้ $\sin B$ ก็จะรู้ค่าอื่นตามมาคือ $AD = \frac{63}{5}, AB = \frac{9\sqrt{74}}{5}, DC = \frac{7}{5}\sqrt{19}, BC = \frac{45+7\sqrt{19}}{5}$

จากนั้นใช้สูตร $\Delta = \frac{abc}{4R}$ แทนค่า $AB, BC, CA$ ลงไปก็จบครับ. :cool:

(ซึ่งพิสูจน์จาก พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = $\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B$ ร่วมกับของกฎของไซน์เวอร์ชันสมบูรณ์แบบ)

ขอบคุณครับ :great: ข้อ 11 ผมทดเลขผิดนิดหน่อย

ส่วนข้อ 2 ตอน 1 $\textrm{f}_{a}(1) = 0$ ได้ครับ แทน $N = 1$ ลงในสมบัติ (4)

ข้อนี้ ถ้าผมโมเมต่อว่ามันมีสมบัติของลอการิทึมทั้งหมดเลยแล้วกัน แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ทั้งหมด จะคิดออกมาได้ $\frac{3}{2}$ ว่าง ๆ จะลองพิสูจน์ดูครับ.

ข้อ 17 ตอนที่ 1 ถ้าแรเงาตรงกลาง ผมคิดได้ ค.

ข้อ 12 ตอนที่ 2 ผมคิดได้ 504

รบกวนผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยครับ :kaka::)

ข้อ 12 ตอน 2 ผมคิดได้ 504 เหมือนกันครับ

ข้อ 28 ตอนที่ 2 ลองแยกได้สามกรณีคือ
1. $a_n=n$ เมื่อ $n=1,5$
2.$a_n>n$ เมื่อ $n>5$
3.$a_n<n$ เมื่อ $2\leqslant n\leqslant 4$
เมื่อแทนเป็น $a_x,a_y$ จะเกิดกรณีต่างๆดังนี้
1.$a_x>x$ และ $a_y>y$ เมื่อ $x,y>5$
จะได้ $a_xa_y>xy$ ไม่เกิดกรณี $a_xa_y<xy$

2.$a_x<x$ และ $a_y<y$ เมื่อ $2\leqslant x,y\leqslant 4$
จะได้ $a_xa_y<xy$ จะเกิดคู่อันดับทั้งหมด 9 คู่อันดับ
เขียนแจกแจงได้คือ $(2,2),(2,3),(2,4),(3,2)(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)$

3.$a_x>x$ และ $a_y<y$ เมื่อ $x>5$ และ $2\leqslant y \leqslant 4$
แทนค่า $y$ ทีละค่า
3.1 $y=2,a_y=1$
$a_xa_y=a_x$ และ $xy=2x$
จะเกิด $a_xa_y<xy \rightarrow a_x< 2x $ มีค่า $x=6,7$
ได้คู่ลำดับ $(6,2),(7,2)$

3.2 $y=3,a_y=2$
$a_xa_y=2a_x$ และ $xy=3x$
จะเกิด $a_xa_y<xy \rightarrow a_x< \frac{3}{2} x $ มีค่า $x=6$
ได้คู่ลำดับ $(6,3)$


3.3 $y=4,a_y=3$
$a_xa_y=3a_x$ และ $xy=4x$
จะเกิด $a_xa_y<xy \rightarrow a_x< \frac{4}{3} x $ ไม่มีค่า $x$ ที่สอดคล้อง

กรณีที่ 3 ได้ 3 คู่อันดับคือ $(6,2),(7,2),(6,3)$

4.$a_x<x$ และ $a_y>y$ เมื่อ $2\leqslant x \leqslant 4$ และ $y>5$
แทนค่า $x$ ทีละค่า
จะเกิดแบบเดียวกันกับกรณีที่ 3 ซึ่งได้คู่ลำดับคือ $(2,6),(2,7),(3,6)$
รวม 3 คู่ลำดับ

5.กรณี $a_x=x$ เมื่อ $x=1,5$
จะได้ $a_xa_y<xy \rightarrow a_y<y $ เมื่อ $2\leqslant y \leqslant 4$
ได้คู่อันดับคือ $(1,2),(1,3),(1,4),(5,2),(5,3),(5,4)$
รวม 6 คู่ลำดับ

6.กรณี $a_y=y$ เมื่อ $y=1,5$
จะได้ $a_xa_y<xy \rightarrow a_x<x $ เมื่อ $2\leqslant x \leqslant 4$
ได้คู่อันดับคือ $(2,1),(2,5),(3,1),(3,5),(4,1),(4,5)$
รวม 6 คู่ลำดับ

รวมทั้ง 6 กรณีเกิดคู่ลำดับ $9+3+3+6+6=27$
ตอบ 27คู่ลำดับ

ขอบคุณครับ. :great:

ข้อ 12 ตอน 2 ผมลืมดูตัวถัดไปครับ รีบไปหน่อย :blood:

ตอนแรกดูเป็น $a_n = \frac{\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}}{\frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5}}$ ที่จริง ต้องเป็น $\frac{\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+3}}{\frac{1}{2n+3} - \frac{1}{2n+4}}$

ส่วนข้อ 17. ผมตาลาย วงผิดข้อเอง :haha: ต้องเป็นตัวเลือก ค. ถูกแล้วครับ. ;)

ข้อ 28 ตอน 2 ผมคิดใหม่แล้วได้เท่ากับของคุณกิตติ ตอนแรกตาผมมองสลับที่ระหว่าง $a_x$ กับ $x$, $a_y$ กับ $y$ และยังลืมไปอีกว่า $x=y$ ได้ด้วย.

ขอบคุณ คุณ กิตติ และคุณ gon มาก ๆ ครับ :):)

ข้อ 26 เจ้าลูกชายตอบ 334
ข้อ 27 ตอบ 300 ครับ

ข้อ 27 ยังคิดไม่ออก ไม่ว่าจะคิดให้ตีตารางเป็น 12 คูณ 7 แล้วหักออก ติดกันอิรุงตุงนัง
ลองคิดแบบตรงๆ ก็มีพื้นที่ที่ซ้อนกันหลายรอบ ลบออกหักออกจนมึนหัว
ไม่รู้ว่าพอจะมีวิธีง่ายๆแบบม.ต้นไหมครับ มึนจริง

ข้อ 27 ผมลองคิดและตรวจทาน 1 รอบ แล้วได้ 297 รูปครับ.

มาจาก $36\binom{2}{2} + 14\binom{3}{2} + 5\binom{4}{2} + 3\binom{5}{2} + \binom{9}{2} + \binom{10}{2} + \binom{13}{2}$

ของผมคิดแบบ ม.ปลายครับ ซึ่งตามหลักการแล้วมันคิดได้ทุกรูป แต่ข้อนี้รูปมันไม่สวย ไม่มีรูปแบบ ต้องไล่กรณีทั้งหมด 7 กรณีครับ เป็นเส้นด้านบนที่เป็นไปได้ แต่ละในแต่ละกรณี ดูเส้นด้านล่างที่เป็นไปได้ แล้วเลือกเส้นในแนวดิ่งมา 2 เส้นที่ปิดล้อมได้ แล้วเอามาบวกกัน

อย่างกรณีที่ 1. ถ้าเส้นบนสุดประกบคู่กับเส้นที่สอง จากด้านบน

จะมีทั้งหมด $\binom{13}{2}$ รูป

แต่ถ้าเป็น เส้นบนสุดประกบคู่กับเส้นที่สาม จากด้านบน

จะมีทั้งหมด $\binom{4}{2} + \binom{3}{2} + \binom{2}{2}$ รูป ไล่เรื่อยไปแบบนี้จนครบครับ มันเหนื่อย ทีแรกผมเลยไม่ทำ :haha:

รบกวนข้อ 6 ตอน1 ด้วยครับ

ให้ $a = \sqrt[3]{5}$
จะได้สมการ $x^3+x^2-ax+a^3+a^2=0$
$(x^3+a^3)+(x^2-ax+a^2)=0$
$(x+a)(x^2-ax+a^2)+(x^2-ax+a^2)=0$
$(x^2-ax+a^2)(x+a+1)=0$
$\therefore x=-\sqrt[3]{5}-1 $

โจทย์ถามหา $(x+1)^3$
$\therefore (x+1)^3=(-\sqrt[3]{5})^3=-5 $

ข้อ 2 ตอนที่ 2 คิดยังไงหรอครับ ขอบคุณครับ

รบกวนผู้รู้ช่วยดู ข้อ22 ตอน1 ให้ทีครับ (ผมได้ไม่ตรงที่คุณgonแปะคำตอบไว้)
ผมตอบ ค. 3 นิพจน์ คือ ac , a+b+c , a-b+c
ขอบคุณครับ :please:

ผมได้ตรงนะครับ คิดว่า $a, b, c$ น่าจะได้ตรงกัน ก็คือ $a > 0, b < 0, c > 0$
$\therefore a - b + c > 0$ แน่นอน

จากรูป แทนค่า $x = 1$ จะได้ $y$ ต้องน้อยกว่า $0$
$\therefore y = a + b + c < 0$

อ้อ ผมเบลอเอง ขอบคุณครับ :laugh:

เวอร์ชันตรีโกณมิติ ให้มุม ykz = $\theta$ หน่วยองศาทั้งหมด

ในรูปสามเหลี่ยม xyk โดยกฎของไซน์เราได้ $\frac{xk}{yk} = \frac{\sin(\theta - 20)}{\sin 20} ... (1)$

ในรูปสามเหลี่ยม kyz โดยกฎของไซน์เราได้ $\frac{yk}{yz} = \frac{\sin 80}{\sin \theta} ...(2)$

(1)x(2) , $ 1 = \frac{\sin(\theta - 20)}{\sin 20} \cdot \frac{\cos 10}{\sin \theta}$

$\frac{\sin(\theta - 20)}{2\sin 10 \sin \theta} = 1$

$\sin(\theta - 20) = \cos(\theta - 10) - \cos(\theta + 10)$

$\cos(110-\theta) + \cos(\theta +10) = \cos(\theta -10)$

$2\cos 60 \cos(\theta - 50) = \cos(\theta -10)$

$\cos(\theta -50) = \cos(\theta - 10)$

$\theta - 50 = 360n \pm (\theta - 10)$

เลือก $n = 0$ และเครื่องหมายลบ ได้ $\theta - 50 = -\theta + 10 \Rightarrow \theta = 30$