เตรียมสอบสมาคมคณิตศาสตร์ (24 พ.ย.2556)
 

เล่นเหมือนมาราธอนครับ โดยใครตอบได้ก็ตั้งข้อต่อไปเรื่อยๆ

1.กำหนด $sinA+sinB=\frac{6}{5}$ และ $cosA+cosB=\frac{3}{2}$ จงหาค่าของ $sin(A+B)$

$sinA+sinB=2sin(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A-B}{2})=\frac{6}{5}$
$cosA+cosB=2cos(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A-B}{2})=\frac{3}{2}$

หารกันได้ $tan(\frac{A+B}{2} )=\frac{4}{5}$
$tan(A+B)=\frac{2\cdot \frac{4}{5} }{1-(\frac{4}{5} )^2}=\frac{40}{9}$
จาได้ $sin(A+B)=\frac{40}{41}$

2. กำหนด $a_1=1,a_2=1, a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$ เมื่อ n เปนจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1
จงหาค่าของ $\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{a_n}{(a_{n-1})(a_{n+1})}$

$$\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{a_n}{(a_{n-1})(a_{n+1})}$$

$$=\frac{a_2}{a_1a_3}+\frac{a_3}{a_2a_4}+...$$

$$=\frac{a_2}{a_1(a_1+a_2)}+\frac{a_3}{a_2(a_2+a_3)}+...$$

$$=[\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_1+a_2}]+[\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_2+a_3}]+...$$

$$=[\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_3}]+[\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_4}]+...$$

$$=2$$

3.กำหนด $f(x+f(y))=x+y-2013$ จงหา $f(2556)$

แทน x เป็น 0 ก็หลุดแล้วนะครับ

เขียนเป็นวิธีทำครับ ตอบแบบนี้ไม่ได้

ผมทำเรื่องพวกนี้ไม่ค่อยเป็นนะ เห็นคนโพสเเทนนู่นนี่เเล้วก็มีหลายท่านชอบบอกว่าเเทนไม่ได้ ผมก็ขอทำไปเลยละกัน 55

$$เเทน x=-f(y) ; f(0)=-f(y)+y-2013$$
$$เเทน y=0 ; f(0)=\frac{-2013}{2}$$
$$จะได้ f(x)=x-2013+\frac{2013}{2}$$
เเล้วก็เเทน 2556

แทนxด้วยf(y)
f(y+f(y))=y+f(y)-2013
แทนy+f(y)ด้วยk
f(k)=k-2013
f(2556)=543

เสนออีกไอเดียละกัน

ผมทำแบบนี้ครับ

แทน $x=2556-f(2556)$ และ $y=2556$

$f(2556-f(2556)+f(2556))=2556-f(2556)+2556-2013$

$f(2556)=3099-f(2556)$

ดังนั้น $f(2556)=1549.5$

จงหา$\sum_{n = 1}^{2556}\sqrt{256+\frac{256}{n^2}+\frac{256}{(n+1)^3-n(n+1)^2} }$

3. กำหนด
$a_1=1+5$
$a_2=1+5+9$
$a_n=1+5+9+13+..+(4n+1)$ ถ้า $k$เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $a_k=231$
จงหา $\int_{0}^{k}\sum_{n = 1}^{x}(a_n-2n^2) \,dx $

ดูใหม่นะคับ

$231=\frac{k}{2}[2+(k-1)(4)]$

แก้สมการได้ $ k=11$

จาก $a_n=\frac{n}{2}[2+(n-1)(4)]$

$$\int_{0}^{k}\sum_{n = 1}^{x}(\frac{n}{2}[2+(n-1)(4)]-2n^2) \,dx $$

$$=\int_{0}^{k}\sum_{n = 1}^{x}(-n) \,dx $$

$$=-\int_{0}^{k}\frac{x(x+1)}{2} \,dx $$

$$=-\int_{0}^{k}\frac{x^2+x}{2} \,dx $$

$$=-\frac{1}{2}[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]\left|\,\right. x=0,x=k$$

$$=-\frac{1}{2}[ \frac{11^3}{3}+\frac{11^2}{2}]$$

$=16\sum_{n = 1}^{2556}(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} +1) $
$=16(2556+\frac{2556}{2557} )$

กำหนดให้ A,B เป็นสมาชิกของเซตของคน A เดินจากจุด (0,0) โดยเดินขึ้น หรือ ขวาทีละ 1 หน่วยเท่านั้น และโอกาสที่ A จะเลือกวิธีทั้งสองมีค่าเท่ากัน
B เดินจากจุด (5,7) โดยเดินซ้าย หรือ ล่างทีละ 1 หน่วยเท่านั้น และโอกาสที่ B จะเลือกวิธีทั้งสองมีค่าเท่ากัน (A,B เดินพร้อมกันและเดินทีละก้าว)
จงหาความน่าจะเป็นที่เขาทั้งสองจะเดินมาพบกัน

อีกสักข้อ
จงหาจำนวนนับ $m$ ที่มากที่สุด ซึ่ง ทำให้ $\dfrac{1+2a^2}{1+b}+\dfrac{1+2b^2}{1+a} \ge m \cdot \dfrac{2+a^2+b^2}{2+2a+2b}$ สำหรับทุก $a,b \ge 0$
(นี่ไม่ใช่โจทย์โอลิมปิก เป็นโจทย์ใช้ความรู้ไม่เกิน ม.ปลาย)

ถ้า $x>0$ และ $1-\frac{6}{1+x} +\frac{15}{(1+x)^2} -\frac{28}{(1+x)^3} +...=\frac{16}{125} $ แล้วจงหาค่า $x$

ถึกๆเอาหน่อยคับ ตอบ 3

ขออนุกรมข้อสุดท้ายคับ โพสเเต่อนุกรม = ='

กำหนดอนุกรม $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ มีผลบวก n พจน์เเรกเป็น $\frac{n}{2(n+2)}$
จงหาค่าของ $\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{n+3} \cdot a_n)$

$a_n=\frac{n}{2(n+2)}-\frac{n-1}{2(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}$

$$\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{n+3} \cdot a_n)$$

$$=\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{n+3} \cdot \frac{1}{(n+2)(n+1)})$$

$$=\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)})$$

$$=\frac{1}{2}[(\frac{1}{2 \cdot 3}-\frac{1}{3 \cdot 4})+(\frac{2}{3 \cdot 4}-\frac{2}{4 \cdot 5})...]$$

$$=\frac{1}{4}$$

$f$ เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติว่า

$xf(x)-f(1-x)=-1+x^2-x^3$

จงหา $f(2556)$

$ x=2556 2556f(2556)-f(-2555)=-1+2556^2-2556^3 $ (1)
$ x=-2555 -2555f(-2555)-f(2556)=-1+2555^2+2555^3 $
$ f(-2555)=\frac{-1+2555^2+2555^3+f(2556)}{-2555}$
แทนใน (1) $ \frac{(2555)(2556)f(2556)-1+2555^2+2555^3+f(2556)}{2555}=-1+2556^2-2556^3 $
$ ((2555)(2556)+1)f(2556)=(-1+2556^2-2556^3)(2555)+1-2555^2-2555^3 $
$ f(2556)=\frac{(-1+2556^2-2556^3)(2555)+(1-2555^2-2555^3)
}{(2555)(2556)+1} $
จัดไปจัดมาได้ $ f(2556)=2-2556^2 $ หรือเปล่าครับ:confused:
คิดผิดขออภัย :please:

ผมขอเดาว่า $m=8$ ป่ะครับ

m=8 มากเกินไปครับ

ลองเดาๆ คิดว่าน่าจะ 2 ครับ

ปล. มั่วๆ นะครับ ฮ่าๆ

2 แหละครับ
So i will show that $m=2$
The inequality is equivalent to $$\frac{1+2a^2}{1+b}+\frac{1+2b^2}{1+a}\ge \frac{2+a^2+b^2}{1+a+b}$$
$$\sum \frac{a^2}{1+b}\ge\frac{a^2+b^2}{1+a+b}\leftrightarrow \sum a^2(a/(1+b)(1+a+b))\ge 0$$
$$\frac{a+b}{1+a+b}+\sum \frac{a^2}{1+b}\ge \frac{2ab}{(1+a)(1+b)}+\sum\frac{a}{1+a}$$
จับมาบวกกันก็จะได้ตามต้องการครับ

ถูกแล้วครับ :):) จริงๆอสมการข้อนี้ไม่ค่อย strong (เพราะให้ ม.ปลายทำ) ทำแบบนี้ก็ได้ครับ

$\dfrac{1+2a^2}{1+b}+\dfrac{1+2b^2}{1+a} \ge \dfrac{1+2a^2}{1+a+b}+\dfrac{1+2b^2}{1+a+b}$

ข้อความน่าจะเป็นตอบ 1/36 หรือเปล่าครับ

==============================

จงแก้สมการ $x^2+(x-y)^2= 4(x^2+y^2)\sin^2 \dfrac{\pi}{10} $ เมื่อ x,y เป็นจำนวนจริง

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่

$a^2+b^2+c^2+2abc=1$

$a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}= \dfrac{3}{2}$

จงหาค่าของ abc

มีเเค่ $x=y=0$ หรือป่าวอ่ะครับ

$x^2+(x-y)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2= x^2+(y-x)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$ อยู่ในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

ดังนั้น เป็นสมการวงกลมรัศมีเท่ากับขนาดของ $\sin \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$ จุดศูนย์กลาง $(0,x)$

แต่สังเกตว่า $x=0,y=0$ เป็นคำตอบของสมการ ดังนั้นวงกลมผ่าน $(0,0)$

จาก จุดศูนย์กลาง $(0,x)$ วงกลมผ่าน $(0,0)$ ดังนั้น รัศมีวงกลมเท่ากับขนาด $x$

จึงได้ว่า $\left|\,\sin \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2\right| = \left|\,x\right|$

หรือ $\sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2=x^2...(1)$



แทน สมการ $(1)$ ลงใน $x^2+(x-y)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$

$$x^2+(x-y)^2=x^2$$

$$(x-y)^2=0$$

$$x=y$$

แทนกลับลง (1);

$\sin^2 \dfrac{4\pi x^2}{10} =x^2$

ได้ $x=0$ เพียงค่าเดียวเป็นคำตอบของสมการ

แต่ $x=y$

ดังนั้น $x=0,y=0$ เป็นคำตอบของสมการเพียงคำตอบเดียว

ผมขอโทษอย่างแรงครับพิมพ์โจทย์ตกไป

มีข้อใหม่เพิ่มให่ :D

มันจะเป็นวงกลมได้อย่างไร

แนะนำว่าลองศึกษาสมการวงกลมดูใหม่นะครับ

ข้อความน่าจะเป็น ตอบ ------------------------------
$a^2+b^2+c^2+2abc=1$
$a^2+2bca+(b^2+c^2-1)=0$
จาก $a$ เป็นจำนวนจริง หา discriminant จะได้

$(b^2-1)(c^2-1) \ge 0$
ในทำนองเดียวกัน จะได้

$(a^2-1)(b^2-1) \ge 0$
$(c^2-1)(a^2-1) \ge 0$

จะได้ $a \ge 1, b \ge 1, c\ge 1$ หรือ $a \le 1, b\le 1, c \le 1$
ซึ่ง ถ้า $a \ge 1, b \ge 1, c\ge 1$ จะขัดแย้งกับ $a^2+b^2+c^2+2abc=1$

ดังนั้น $a \le 1, b\le 1, c \le 1$

ให้ $a= \cos A, b=\cos B$ เมื่อ $A,B \in [0,\dfrac{\pi}{2})$
จาก $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ จะได้ $c = -\cos(A+B)=\cos C$ เมื่อ $A+B+C=\pi$

จาก $\cos(A+B+C)=-1$
กระจาย !!!
$\cos A\cos B \cos C-\cos A\sin B\sin C - \cos B\sin C\sin A -\cos C\sin A\sin B = -1$

$abc - (a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}) = -1$

$abc = \dfrac{1}{2}$

เขียนย่อๆเอานะครับ ถ้าเขียนเต็มคงยาวกว่านี้

ขอเเสดงอีกวิธีนะครับ
$\displaystyle \frac{3}{2}=\sum_{cyc} a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}=\sum_{cyc} a\sqrt{(a^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+2abc)}=\sum_{cyc} a\sqrt{a^2+2abc+b^2c^2}=\sum_{cyc} a(a+bc)$
จึงได้ $abc=\dfrac{1}{2}$

Hint : (วิธีจากเพื่อนผมนะครับ) $\sin^2 \theta = \frac{1-cos 2\theta}{2}$ และหาค่า discriminant ครับ :)

ป.ล. คำตอบข้อนี้สวยดีครับ

3 ข้อนี้ยังไม่ยากมาก แต่อย่าตอบผิดนะครับ

1. ให้ $y= \tan x (1-\sin ^2 x)$ จะมี $x \in [0,2 \pi)$ กี่จำนวน ซึ่งทำให้ $2y^4-5y^3+2y^2=0$

2. จงหาสมการของเส้นตรงทั้งหมดซึ่งผ่านจุด $(3,4)$ และมีระยะตัดแกน $y$ เป็น $2$ เท่าของระยะตัดแกน $x$
(หมายเหตุ : ระยะตัดแกนคิดเครื่องหมายบวกลบด้วย)

3. กำหนดสี่เหลี่ยม $ABDC$ มี $AB=AC=1$ และ $A\hat{B}D =A\hat{C}D=90^{\circ}$ ให้ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, \theta = B\hat{A}C$
จงเขียน เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ $\overrightarrow{BD}$ ในรูปของ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \theta$

ข้อ 1 ตอบ 6คำตอบครับ

ยังไม่ถูกครับ อย่าลืมตรวจคำตอบด้วย ว่าแต่ละคำตอบที่หามานั้นใส่ tan แล้วหาค่าได้ไหม

ตอบอีกหนึ่งครั้ง 4 คำตอบถูกต้องไหมครับ ?

ถูกแล้วครับ :great::great: