|
แนวๆTMO
1.(APMO) $a,b,c \in R$ จงพิสูจน์ $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 9(ab+bc+ca)$$
2.จงหาค่าของ $\binom{3n}{0} +\binom{3n}{3} +...+\binom{3n}{3n} $ 3.Let$ ABC$ be an acute angled triangle and let H be its orthocenter.Let $h_{max}$ denote the largest altitude of the triangle$ ABC$. Prove that $AH + BH + CH \leqslant2h_{max}$. 4.ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน และ $AC$ ตัด $BD$ ที่ E แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป ให้ $G_1,G_2$ เป็นจุด centroid ของสามเหลี่ยม $ABE$ และ $CDE$ และ $H_1,H_2$ เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม $ADE$ กับ $BCE$ พิสูจน์ว่า $G_1G_2 \bot H_1H_2$ 5.จงหาสี่สิ่งอันดับที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่ทำให้ $7^a=6^b+5^c+4^d$ 6.ให้ a,b,c เป็นจำนนวนเต็มที่สอดคล้องสมการ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3 $ จงหา $(a,b,c)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ 7.จงหาค่า $x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=\frac{9}{2}$ 8.let$\triangle ABC$,$H$ the Orthocenter and $M$ the midpoint of $AC$. Let $L$ be the line through$M$ Parallel to the bisector of $\angle AHC$. Prove that $L$ divides the triangle in two parts of equal Perimeter. |
อ้างอิง:
|
5.
$I)$ $mod$ $3$ ได้ $b=0$ $II)$ $mod$ $4$ ได้ $d=0$ $III)$ $7^a-7=5^c-5$ ได้ $a=c=1$ สรุป: $(a,b,c,d)=(1,0,1,0)$ |
มาเพิ่มโจทย์ครับ
9.กำหนด $M$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า $ABC$ ถ้า $P,Q,R,T,G$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม $MBC, MAC, MAB, PQR, ABC$ ตามลำดับ พิสูจน์ $M,T,G collinear$(ขอแบบไม่ใช้Homothety)
10. ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$ และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$ 11.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็มใดๆ52จำนวนจะต้องมี2จำนวนที่ผลต่างกำลังสองของทั้ง2จำนวนหารด้วย100ลงตัว |
อ้างอิง:
แล้วใช้ $\left(\,50+a\right)^2\equiv a^2 \left(\,mod 100\right) $ ทำให้เราแบ่งจำนวนออกเป็น 2 ช่วงได้ คือช่วง $a\equiv 0,1,2,...,49 (mod 100 )$ กับ $a\equiv 50,51,52,...,99 (mod 100 )$ แล้วยกกำลังสองทั้งสองช่วง จะได้เศษจากการหารด้วย 100 เท่ากัน จะเป็น $\left(\,50+a\right)^2-a^2\equiv 0 \left(\,mod 100\right) $ แล้วใช้หลักรังนกพิราบ ได้ รังนก 50 รัง แสดงว่าต้องมีนกอย่างน้อย 51 ตัวที่ทำให้มีอย่างน้อย 2 ตัวที่ทำให้ผลต่างกำลังสองของทั้งสองจำนวนหารด้วย 100 ลงตัว และ $51<52$ ผมทำอะไรผิดรึเปล่าครับ ขอคำแนะนำด้วยครับ |
คุณ นกฟินิกซ์เหินฟ้า เอาโจทย์เรขามาจากไหนหรอครับ โจทย์เจ๋งดีอ่ะครับ ถ้ามีขอลิงค์หน่อยได้ไหมครับ
|
แนวนี้น่าจะมีในหนังสือโลกเรขาคณิตนะครับ
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$= \dfrac{(1+1)^{3n}+(1+cis \dfrac{\pi}{3})^{3n}+(1+cis \dfrac{2\pi}{3})^{3n}}{3}$ 3. พิสูจน์ว่า $AH\cdot BC + BH \cdot CA + CH \cdot AB = 4[ABC]$ ; วาดวงกลมล้อมรอบ$= \dfrac{8^n+2(-1)^n}{3}$ 6. AM-GM 7. bound ค่า 9. ถ้า $D,E,F$ เป็นจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของ $\triangle ABC$ จะเห็นว่า $\triangle PQR$ เกิดจากการย่อ $\triangle DEF$ โดยมีศูนย์กลางเป็น $M$ แล้วก็ค่อยๆไล่สามเหลี่ยมคล้ายเลยครับ 10. $AQ//BC$ 11. อีกวิธีนะครับ ลองใช้เอกลักษณ์ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ดู |
ข้อ 10 มันคล้ายกันยังไงอ่ะครับไม่เข้าใจ
แล้วข้อ 6 มัน AM-GM ได้แค่ a=b=c เฉย ๆนะครับ มันมีคำตอบที่ไม่เท่ากันอยู่อีกนะครับ ข้อ 1 สัมผัสส่วนต่อของ BC ที่ต่อออกไปทางด้าน C ครับ ลากส่วนสูงจากจุด A มา BC ครับ |
#6 น่าจะจาก FFTMO9 มั้งครับ เหมือนกันหลายข้ออยู่อะ
|
ข้อ 6 อสมการเป็นสมการ ก็ต่อเมื่อ ...
ข้อ 10 ผมอ่านโจทย์ผิดเอง ขอโทษด้วยครับ ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้ ลองพิสูจน์ว่า $AQ//BC$ ดูครับ |
ข้อ 6
คำตอบนั้นมันก็มีอยู่คำตอบนึงครับ แต่มันมีอีกครับ $(a,b,c)= (t^2(t+1),-(t+1)^2,-t),(t^2(t-1),-(t-1)^2,-t)$ ครับ |
ที่ผมตอบไปคือคิดแค่ จำนวนเต็มบวก
ถ้าเป็นจำนวนเต็ม คำตอบจะอยู่ในรูป $(k,k,k),(k\alpha^2 \beta,-k\beta^2(\alpha+\beta),k\alpha (\alpha+\beta)^2)$ เมื่อ $k,\alpha,\beta,\alpha+\beta \not= 0$ วิธีทำทำคล้ายๆ TMO9 ข้อ 12 แล้วก็ต่อไปอีกนิดหน่อย |
ขอบคุณมากครับ ขอทิ้งโจทย์ไว้หน่อยคิดหลายวันแล้ว TT
1. จงหาจำนวนเต็มบวก (a,m,n) ที่ $a^m+1|(a+1)^n$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
เพิ่มคอมบิครับ
จัดนักเรียน4ห้องห้องละ4คนเป็น4กลุ่มกลุ่มละ4คนโดยนักเรียนห้องเดียวกันจะต้องไม่อยู่ในกลุ่มเดียวกันหลังจากนั้นครูจะเลือกตัวแทน6คนจา กนักเรียนกลุ่มนี้เพื่อให้ไปทำกิจกรรมพัฒนาชุมชน3คน กิจกรรมวิชาการ3คน โดยมีเงื่อนไขว่านักเรียนที่ไปทำกิจกรรมประเภทเดียวกันจะต้องไม่อยู่ในกลุ่มเดียวกันและจะต้องไม่อยู่ในห้องเดียวกัน จะเลือกตัวแทนได้แตกต่างกันกี่แบบ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
มันเป็นไปได้หรอครับ ถ้าผิดตรงไหนขอโทษด้วยครับ |
#18
1. คิดแบบตารางหมากรุก $4 \times 4 $ ระบายสีสองสี 2. แบ่งเซตออกเป็น $i^2 \equiv j \pmod {p}$ มีเศษต่างกัน $\dfrac{p+1}{2}$ แบบ |
ทำไมได้ $=r^2$ ครับ
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
เพิ่มโจทย์อีกซักข้อคับ 3.จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเลข$9$ตัวจาก{$1,2,3,...,9$}โดยที่จำนวนติดกันเพียง$2$คู่เท่านั้น ตัวอย่าง $12598....$หรือ$123...$เท่านั้นครับ |
เติมโจทย์ครับ
1. ให้ $x,y,z>0$ จงแสดงว่า $$\frac{x}{x+y-|x-y|}+\frac{y}{y+z-|y-z|}+\frac{z}{z+x-|z-x|}+\frac{x}{x+y+|x-y|}+\frac{y}{y+z+|y-z|}+\frac{z}{z+x+|z-x|}\geq 3. $$ 2. ให้ $a,b$ เป็นรากที่ต่างกันของพหุนาม $x^3-2x+c$ จงแสดงว่า $a^2(2a^2+4ab+3b^2)=3$ ก็ต่อเมื่อ $b^2(3a^2+4ab+2b^2)=5$ 3. ให้ $f:[1,\infty ) \rightarrow \mathbb{R}$ นิยามโดย $f(x)=\frac{{x}^2}{\left\lfloor\,x\right\rfloor }$ จงแสดงว่า $f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ผมก็ยังไปต่อไม่ได้น่ะครับ ช่วยเฉลยหน่อยได้ไหมครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
2. ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $a^2+ab+b^2=2$ จะส่งผลให้ $a^2(2a^2+4ab+3b^2)+b^2(3a^2+4ab+2b^2)=8$ $P(x)=x^5-px^4+qx^3-rx^2+sx-t$ find $P(a)+P(b)+P(c)+P(d)+P(e)$ |
มาเพิ่มโจทย์ให้ครับ อิอิ
จงพิสูจน์ว่ารากจริงทั้งหมดของพหุนาม $P(x)=2x^5-25x^4+110x^3-200x^2+160x-100$ มีค่าอยู่ในช่วง $(1,4)$ |
อ้างอิง:
$(x-4)^3(2x^2-x+2)=-28$ ขั้นแรกพิสูจน์ว่า ถ้า $x<0$ จากสมการจากโจทย์จะได้ $P(x)<0$ ถ้า $x\geq 4$ จะฝั่งซ้ายมากกว่าเท่ากับ 0 ซึ่งขัดแย้งกับข้างซ้ายติดลบ ดังนั้น $x <4$ ถ้า $0< x<1$ ดังนั้นจะได้ $2<2x^2-x+2<3 $ และให้ $A= (x-4)^3$ จะได้ $2A<-28<3A$ แก้อมสการออกมาได้ $ 4-\sqrt[3]{\dfrac{28}{3}} < x <4-\sqrt[3]{14}$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $1<x$ $x \in (1,4)$ |
Number
1.ให้ $p_1,p_2,...p_n\geq 5 $ จงแสดงว่า $\displaystyle 2^{p_1p_2p_3...p_n}+1$ มีจำนวนตัวประกอบอย่างน้อย $4^n$ ตัว 2. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่า $(n+1)(n+2)...(n+10)$ ไม่มีทางเป็นกำลังสองสมบูรณ์ Combinatorics 1.There are n distinct points in the plane. Prove that the number of point pairs with the unit distance is smaller than $\dfrac{n}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}n^{\frac{3}{2}}$ |
Inequality
For $a,b,c>0 , a+b+c=1$ prove that $$ \frac{a^2}{1+(a+b)^2}+\frac{b^2}{1+(b+c)^2}+\frac{c^2}{1+(c+a)^2}\le\frac{2187}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{ab+bc+ca} $$ Functional Equation Determine all continuous function $ f\colon\mathbb{(0,+\infty)} \to\mathbb{(0,+\infty)} $ satisfying $$ f(x^3)+f(y^3)+f(z^3)=f(xyz)f(\frac{x}{y})f(\frac{y}{z})f(\frac{z}{x}) $$ Geometry Let $l$ be a tangent to the incircle of triangle $ABC$. Let $l_{a},l_{b}$ and $l_{c}$ be the respective images of $l$ under reflection across the exterior bisector of $\hat A,\hat B$and $\hat C$. Prove that the triangle formed by these lines is congruent to $ABC$. |
#34 ยากจังครับ ทำไม่ได้เลยอ่ะครับ ขอ Hint หน่อยครับ
|
Solnนี้ credit AOPSครับ:)
Homogenise this into \[\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2+(a+b+c)^2}\leq \frac{3^7}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{(a+b+c)^6(ab+bc+ca)}.\] Now we can scrap the previous condition of $a+b+c=1$ and assume that $a+b+c=3.$ Then it suffices to check that \[\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2+9}\leq \frac 3{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{(ab+bc+ca)}.\] Note that we have the following identity: $\frac{9a^2}{(a+b)^2+9}=a^2-\frac{a^2(a+b)^2}{(a+b)^2+9},$ Which, in accordance with the Cauchy-Schwarz inequality, leads us to \[\sum_{cyc}\frac{9a^2}{(a+b)^2+9}\leq\sum_{cyc}a^2-\frac{\left(\sum a^2+\sum ab\right)^2}{2(\sum a^2+\sum ab)+27}.\] Let $x=\sum_{cyc}a^2$ and $y=\sum_{cyc}ab,$ so that we have $x+2y=9$ and $x\ge y,$ leading to \[\frac{(x+y)^2}{2(x+y)+27}=\frac{x+y}{2+\frac{27}{x+y}}\geq \frac{2(x+y)}{13}.\] So it is sufficient to check that \[x-\frac{2(x+y)}{13}\leq\frac{27}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{ab+bc+ca};\] Which, on using the inequality $27(a^8+b^8+c^8)\geq (a^2+b^2+c^2)^4,$ reduces to \[\frac{x^4}{y}+2y\geq 11x\] Now note that, \[\begin{aligned}\frac{x^4}{y}+2y\geq \frac{9x^2}{y}+2y&=\frac{7x^2}{y}+\left(\frac{2x^2}{y}+2y\right)\\&\geq 7x+4x=11x;\end{aligned}\] Where the last step follows from $x\geq y$ and the AM-GM inequality. Equality holds in the original inequality iff $a=b=c=\frac13.\Box$ |
ข้างซ้ายเป็น 15/8 ครับ คราวนี้ผิดตรงไหนอีกหรอครับ
|
NT
1.หาจำนวนเฉพาะp,qทั้งหมดที่ $pq|(5^p-2^p)(5^q-2^q)$(credit:beatmania) 2. จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ $1971\mid 50^n+a\cdot 23^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่(credit:tonklaZolo) Combinatorics 1.พิจารณาการเดินบนด้านของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง โดยแต่ละก้าวสามารถเดินจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดอื่นที่ติดกันเท่านั้น จงหาจำนวนเส้นทางการเดินที่จะกลับมายังจุดตั้งต้นหลังเดินไป$n$ก้าว 2.(TMO9th) นักเรียนชายและหญิง อย่างละ 2n คน แข่งเทควันโดแบบพบกันหมด และมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้ (ก) ถ้าเพศเดียวกันแข่งกัน ผู้ชนะได้ 3 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และเสมอคนละ 1 คะแนน (ข) ถ้าชายแข่งกับหญิง ในกรณีที่หญิงชนะ จะได้ 3 คะแนน แพ้ 0 คะแนน และเสมอได้ 2 คะแนน ในกรณีชายชนะ ได้ 2 คะแนน แพ้หรือเสมอได้ 0 คะแนน หลังการแข่งขันสิ้นสุด หาคะแนนรวมเด็กแต่ละคน และ P แทนจำนวนคู่แข่งขันที่ผลการแข่งขันเสมอ และ Q แทนจำนวนคู่แข่งขันทั้งหมด ถ้านักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดได้ 4n-1 คะแนน หาค่า $\frac{P}{Q}$ :ดูคะแนนต่ำสุด แต่ผมไม่รู้จะไปต่อยังไงครับ:) |
#39 NT
1.โจทย์เป็นแบบนี้ป่ะครับ $pq|(5^p-2^p)(5^q-2^q)$ ถ้าโจทย์เป็นอย่างที่ว่า คร่าวๆนะครับ 1.ถ้า $p=q$ มีกรณีเดียว คือ $p=q=3$ 2.ถ้า $p>q$ ดู $q|5^p-2^p$ และ $q|5^{q-1}-2^{q-1}$ จะได้ $q|5^{(p,q-1)}-2^{(p,q-1)}$ ซึ่งก็คือ $q|5-2$ ได้ $q=3$ 3.แสดงต่อจาก 2.ได้ไม่ยากว่า $p=13$ 2.แยกตัวประกอบ 1971 ดูครับ :D |
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:15 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha