Mwit square~math
 

โจทย์ยากมากๆครับ ลองทำดู อย่าลืมลงวิธีทำให้ด้วยละกันนะครับ
กำหนดให้ o มีคอร์ด AB ตัด CD ที่ F โดย AF=FB ให้ Q เป็นครึ่งวงกลมที่มี CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ลาก FE ตั้งฉาก CD โดยตัดครึ่งวงกลม Q ที่ E และ EF=6 จงหาความยาว AB (ผมวาดรูปไม่ได้อ่ะครับ)

จงหา x ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2+2}=\frac{1}{x}$

ให้เส้นแบ่งครึ่งมุม A ของสามเหลี่ยม ABC ตัด BC ที่ D และตัดวงกลมที่ล้อมรอบ ABC ที่ E ทำให้ BD=BE=AC จงหาขนาดมุม ABC

กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนเต็ม จงหาจำนวนคู่อันดับ (a,b) ที่ทำให้ $\left|\,a\right|+\left|\,b\right|-\left|\,a+b\right|=2553$

กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม ที่มีจำนวนตัวประกอบทั้งหมดของ x เป็นจำนวนเฉพาะ และ$\left|\,x\right|<40$ จงหาผลบวกกำลังสองของค่า x ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

จงหา $\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...$

ให้ o เป็นวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC ซึ่งสัมผัสด้าน BC,AB,AC ที่ D,E,F ตามลำดับ DG ตั้งฉาก EF ที่ G ถ้า BE=3 CF=5 และ $\frac{EF}{GF}=\frac{m}{n}$ โดยหรม.ของ m,n=1 จงหา m+n

ให้ x เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $2^{4x}-11(2^{3x})-2^{2x+3}+17(2^{x+2})+2^6=0 $จงหาผลบวกของ x ทั้งหมด

ให้ a,b,c,d เป็นรากที่แตกต่างกันของพหุนาม $P(x)=x^4+2x^3-3x^2-4x+1$ จงหา $(a^2-2)(b^2-2)(c^2-2)(d^2-2)$

กำหนดให้ $a,b$ เป็นจำนวนนับที่ทำให้ $a^2=2(b!)+2553$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $a^2-2b$

ถ้ามีคนทำเยอะ เดี๋ยวมาเพิ่มอีกครับ กลัวไม่มีใครทำ:cry:

มาลง hint ไว้ก่อน เพราะช่วงนี้ไม่ค่อยว่าง
เฉพาะพีชกับนัมเบอร์นะครับ เรขายังไม่ได้คิด
ถ้าผิดพลาดยังไงก็ขออภัยด้วย

2. ย้าย $\frac{1}{x+1}$ ไปอีกข้างนึง จะได้ค่า x ออกมา ถ้าต้องการมั่นใจว่ามีเท่านั้นจริงๆ
ก็ลองคูณกระจายตามโจทย์ดูก็ได้ครับ เผื่อจะมีอีก

4. สิ่งที่เป็นจริงคือ a,b จะมีเครื่องหมายแบบเดียวกันไม่ได้ (เป็น + ทั้งคู่ไม่ได้ เป็น - ทั้งคู่ไม่ได้)
โดยไม่เสียนัยให้ a เป็น + b เป็น - ดูครับ

5. การที่ x จะมีจำนวนตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะนั้น เราจะได้ว่า
x ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ หรือ จำนวนเฉพาะที่ยกกำลังสอง หรือจำนวนเฉพาะที่ยกกำลังสี่หรือจำนวนเฉพาะยกกำลัง 6
.... ได้ ค่า x ออกมากี่ค่าไม่รู้ครับ (เพราะยังไม่ได้คิด) แล้วก็ทำตามที่โจทย์บอกครับ

6. มันอยู่ในรูป ซิกม่าของอะไรครับ ลองจัดรูปดูครับ ข้อนี้ไม่ยาก

ข้อนี้ ผมคิดได้ 0 อ่ะครับ ถูกรึเปล่า

ข้อนี้ได้ 2 ตัวเดียวหรือเปล่าครับ???

ป.ล. เพิ่งรู้ว่าข้อสอบนี้เผยแพร่ได้ - -

ผมก็ได้ 2 ครับ แต่ไม่รู้ว่ามีตัวอื่นอีกรึเปล่า

และก็ เค้าแจกข้อสอบคืนครับ

ปีนี้เขาไม่ได้เขียนไว้ว่าห้ามเผยแพร่ เลยโพสต์ได้สินะครับ

(นึกว่าเหมือนปีที่แล้ว)

ป.ล. ทีมคุณ ~king duk kong~ ขำเรื่องอะไรกันหรอครับ (อย่าหาว่ายุ่งเรื่องชาวบ้านเลย)

ป.ล.2 ผลคงแปรผันตรงกับซาลาเปาอะครับ เลยไม่ติด :cry:

คือผมได้ $\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...$ แล้วไม่รู้จะไปยังไงอ่ะครับ

$\sum_{i = 3}^{n}\frac{n}{(n-2)!+(n-1)!+n!}=\sum_{i = 3}^{n}\frac{n}{(n-2)!n^2}
=\sum_{i = 3}^{n}\frac{1}{(n-2)!n}=\sum_{i = 3}^{n}\frac{n-1}{n!}=\sum_{i = 3}^{n}\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}$

งงนิดนึงอะครับ ที่ผมแยกมาได้แบบนี้

$(n-2)!+(n-1)!+n! = (n-2)!(n-1+n^2-n) --> (n-2)!(n^2-1)$

ยังไงก็ช่วยอธิบายด้วยนะครับ

$(n-2)!+(n-1)!+n!=(n-2)(1+(n-1)+n(n-1))$

ลืมตัวหน้าไป ขออภัยครับ:please:

ช่วยโจทย์ข้อนี้ด้วยครับ

กำหนดให้ $a,b$ เป็นจำนวนนับที่ทำให้ $a^2=2(b!)+2553$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $a^2-2b$

ผมเพิ่มโจทย์นี้ และโจทย์อื่นเพิ่มแล้วนะครับ คิดไม่ออกจริงๆ ขอท่านเทพจากสำนักตั๊กม่อมาช่วยด่วนครับ

ได้ a = 51 b = 4

$51^2 - 2(4) = 2601-8 = 2593 $

ไม่แน่ใจนะครับ ๆ ผมจัดรูปแล้วก็ยัดลงไปเลย 55+

hint
พิจารณา b ตั้งแต่ 1-4 ได้ b ที่สอดคล้องมากี่ค่าไม่รู้ครับ (ยังไม่ได้คิด)
ถ้า $b\geqslant 5$ จะได้ว่า ก้อนซ้ายอยู่ในรูป 5k+3 สำหรับ k บางจำนวน
แต่ด้านขวา สามารถอยู่ในรูป 5k+3 ไม่ได้

ก็จะได้คำตอบครับ

ถ้าไม่รบกวนอะไรมากนะครับ แสกนลงเลยน่าจะดีกว่าครับ

$a^2 = 2(b!)+2553$

$จะลงท้ายด้วย 3 เมื่อ b \succ 4 $


เนื่องจาก กำลังสอง ของผลคูณใด ๆ จะไม่ลงท้าย ด้วย 3 อย่างแน่นอน

$\therefore b = 1 , 2 ,3 , 4 $

ถ้า b = 1 จะได้ $a^2 = 2555$

$a^2 - 2b = 2553$

ถ้า b = 2 จะได้ $a^2 = 2557 $

$a^2 - 2b = 2557 - 4 = 2553 $

ถ้า b = 3 จะได้ $a^2 = 2565 $

$a^2 - 2b = 2565 - 6 = 2559 $

ถ้า b = 4 จะได้ $a^2 = 2601 $

$a^2 - 2b = 2601-8 = 2593 $

สรุปว่า มีทั้งหมด 3 ค่า ครับ 2553 2559 และ 2593 ครับ

ภาพไม่ค่อยชัดเท่าไรเลยครับ

แต่คงพอแกะเอาได้นะครับ :happy:

รุ้สึกว่าเขาจะใม่ให้โพสลงเว็บไม่ใช่หรือครับ หรือว่าปีนี้เปลี่ยนกฏแล้วหว่า

เขาไม่มีข้อความห้ามอะครับ

เลยจัดให้เต็มที่ :haha:

ถ้ามีอะไรผมคงติดคุกคนแรก

คนที่สอง คุณ ~king duk kong~

น่าสนุกมากมาย
อิๆยากดีคับ

ผมสนใจข้อนี้ครับ (จริงๆไม่ได้สนใจอ่ะครับ แต่รู้สึกว่ามันง่ายผิดปกติ)

กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับระบบสมการ
a(a+1)=b
b(b+1)=c
c(c+1)=a
จงหา $a^3+b^3+c^3$

วิธีผมนะ เอาทุกสมการมาบวกกันจะได้ $a^2+b^2+c^2=0$
จึงได้ a=b=c=0
จบ เลิก

ตอบ 0

แสดงวิธีทำแล้วดูตลกกว่าคิดเองซะอีก :kiki:

ใครคิดข้อไหนก็โปรดๆด้วยครับ

ข้อ 16 . กำหนดให้ a,b และ c เป็นจำนวนเต็มสามจำนวนที่ a + b + c = abc

จงหาค่า a + b + c ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

a = 0 b = 0 c = 0 --> a+b+c = 0

a = 1 b = 2 c = 3 --> a+b+c = 6

ตอบ 0 และ 6 รึเปล่าครับ ?

เท่าที่คิดได้ก็ประมาณนี้นะครับ

แต่ไม่แน่ใจว่าจะมีมากกว่านี้หรือไม่

รูสึกว่า -1,-2,-3 ก็ใช้ได้นะครับ

ลืมมองจำนวนเต็มลบเลยครับ :sweat:

แล้วเราจะคิดให้ครอบคลุมยังไงอ่ะครับ

โจทย์โหดทีเดียวเลยล่ะคับ

ผมลองทำข้อวงกลมOแนบในสามเหลี่ยม ทำไปเรื่อยๆ มันได้ EF:GF = 2:1 งั้นก้อแปลว่าm+n = 3 นะสิ ไม่ค่อยมั่นใจเลยแฮะ = =

#26
แนวคิดของผมนะ (แยก case เยอะมาก ==')
ให้ $a,b,c\in \mathbb{I}$
$a+b+c=abc$
$c=\frac{a+b}{ab-1}$

กรณีที่ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$ ชัดเจนว่า $a+b+c=0$

กรณีที่ $a,b,c\not= 0$
จะได้
$\left|\,\frac{a+b}{ab-1}\right| \geqslant 1$

กรณีที่ $a,b$ เป็นบวกทั้งคู่จะได้ $ab\geqslant 1$ แต่กรณีที่ $a=b=1$ พบว่าไม่มีคำตอบดังนั้น $ab>1$
จะได้
$a+b\geqslant ab-1$
$(a-1)(b-1)\leqslant 2$
จะได้ $(a,b)=(2,2),(2,3),(3,2)$ แต่กรณีที่ $(a,b)=(2,2)$ จะได้ $c\not\in \mathbb{I} $

กรณีที่ $a,b$ เป็นลบทั้งคู่ ให้ $a=-m,b=-n$ เมื่อ $m,n>0$ กรณีที่ $m=n=1$ พบว่าไม่มีคำตอบ
พิจรณากรณีที่ $m,n>1$ ได้ $mn-1>0$
$\left|\,\frac{a+b}{ab-1}\right| \geqslant 1$
$\frac{\left|\,-m-n\right| }{mn-1}\geqslant 1$
$m+n\geqslant mn-1$
ทำในแบบกรณีแรก จะได้ $(m,n)=(2,3),(3,2)$
ดังนั้น $(a,b)=(-2,-3),(-3,-2)$

กรณีที่ $a,b$ มีตัวหนึ่งเป็นลบอีกตัวป็นบวก
โดยไม่เสียนัย สมมิตให้ $b$ เป็นลบ ให้ $b=-n$ เมื่อ $n\in \mathbb{I}^+ $ จะได้
$\left|\,\frac{a-n}{-an-1}\right| \geqslant 1$
$\left|\,a-n\right| \geqslant an+1$
กรณีที่ $n>a$ จะได้
$n-a \geqslant an+1$
$0\geqslant (a-1)(n+1)$
แต่ $n+1>0$ จะได้ $1\geqslant a$ ซึ่งมีคำตอบแค่กรณี $a=1$ ซึ่งจะได้ $(b,c)=(-1,0)$ ซึ่งซ้ำกับกรณีแรกสุด

กรณีที่ $a>n$
$a-n \geqslant an+1$
$0\geqslant (a+1)(n-1)$
แต่ $a+1>0$ จะได้ $1\geqslant n$ ซึ่งมีคำตอบแค่กรณี $n=1$ ซึ่งจะได้ $(a,c)=(1,0)$ ซึ่งซ้ำกับกรณีแรกสุด

ดังนั้น $a+b+c$ มีแค่ 3 ค่าคือ $0 ,6,-6$

ผมข้อข้อแรกละกันอิๆ

$sinx^4+4cosx^2=sinx^4+4(sinx^2+cosx^2)cosx^2$
=$sinx^4+4sinx^2cosx^2+4cosx^4$
คงง่ายแล้วล่ะครับ

คือรู้สึกผมทำได้ประมาณ 5 ข้ออ่ะครับ ใครคิดได้ ลงไว้ด้วยละกันนะครับ:please:

ขอบคุณครับ

ได้คำตอบ = 2 ใช่รึเปล่าครับ ?

งั้นผมช่วยข้อ 14 ก็แล้วกันนะครับ

$\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}+\sqrt{x+c}=\sqrt{x+a+b-c}$
จับยกกำลังสองแล้วจัดรูปจะได้
$(x+c)=-(\sqrt{x+a}\sqrt{x+b}+\sqrt{x+b}\sqrt{x+c}+\sqrt{x+c}\sqrt{x+a})$
แต่สมการฝั่งขวาน้อยกว่าหรือเท่ากับ $0$
ซึ่งถ้าน้อยกว่า $0$ จะได้ $x+c$ เป็นลบทำให้ $\sqrt{x+c}$ ไม่เป็นจำนวนจริง
ดังนั้น $x+c=0\rightarrow x=-c$
ผลที่ตามมาคือ $-(\sqrt{x+a}\sqrt{x+b}+\sqrt{x+b}\sqrt{x+c}+\sqrt{x+c}\sqrt{x+a})=0$
แทน $x=-c$ จะได้ $\sqrt{x+a} \sqrt{x+b}=0$
แต่ $b\not= c$ จะได้ว่า $x=-c=-a$
แทนค่ากลับไปจะได้คำตอบคือ 5

โจทย์สวยดีครับ

ข้อ 13 ไม่ยาก แต่ชอบมากมายเลย :wub:

ผมได้ x = 1 ใช่รึเปล่าครับ

ไม่แน่ใจว่ามีค่าอื่นอีกรึเปล่า - -

ถ้าค่า x เฉยๆจะหาไม่ได้ในแบบ ม.ต้น ครับ :nooo:

ลองทำให้ดูหนอ่ยครับ

แล้วก็ขอคำตอบด้วยครับ

ส่วน x

ผมจับ $2^x = a$ ซะ แล้วก็ ยัด ๆ ๆ สังเคราะห์ลงไปจนได้มาตัวนึงอ่ะครับ :haha::haha:

รบกวนด้วยครับ.. :please:

บรรทัดก่อนจบจะได้ว่า
$2^x=a\pm\sqrt{b}$
นั่นคือ
$2^{x_1}=a+\sqrt{b}$
$2^{x_2}=a-\sqrt{b}$
$2^{x_1+x_2}=a^2-b$

และจะได้ $x_1+x_2=5$ ครับ

เอิ่ม.. ยิ่งกว่าเข็มขัดสั้นอีกครับ..

คาดไม่ถึง ๆ 5+ :haha:

พอมาดูอีกที ก็เริ่มงงครับ ๆ มันมีที่มาป่าวครับ ? ?

ข้อ 12 ตอบ $(1+\sqrt{5})/2$ ปล่าวครับ