ข้อสอบแข่งขันวิชาการนานาชาติ ปี 2553 รอบที่ 1
 

ผมได้ข้อสอบแข่งขันวิชาการนานาชาติจาก ชมรมครูแกนนำคณิตศาสตร์
จึงนำข้อสอบมาฝากครับ ขออัญเชิญท่านทวยเทพทั้งหลายได้มาทำเฉลยด้วยครับ

ตอนที่ 2 ข้อสอบวิชาการนานาชาิติ

ตอนที่ 3 ข้อสอบวิชาการนานาชาติ


ส่วนไฟล์ต้นฉบับตามลิงค์ด้านล่างนี้นะครับ

http://www.mtm1.ob.tc/Obec/obec_M3_2553.PDF

จากวิธีการขั้นตอนการหารจะได้ว่า
$m=10q_1+5$
$n=10q_2+2$
เมื่อ $q_1,q_2$ เป็นจำนวนเต็ม

จะได้ว่า
$3m=30q_1+15=(30q_1+10)+5=10(3q_1+1)+5=10q_3+5$ เมื่อ $q_3=3q_1+1$
$2n=20q_2+4=10(2q_2)+4=10q_4+4$ เมื่อ $q_4=2q_2$
นำ $3m-2n$ จะได้ว่า
$3m-2n=(10q_3+5)-(10q_4+4)=5(2(q_3-q_4))+1=5q_5+1$ เมื่อ $q_5=2(q_3-q_4)$
จากขั้นวิธีการหารจะได้ว่า 3m-2n หารด้วย 5 เหลือเศษ 1 จึงได้ว่า $p=1$
$\therefore p+3=1+3=4$ :great:

$\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}-x=0$
$\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}=x$
$x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}=x^2$
$2x=2\sqrt{x^2-2x+10}$
$4x^2=4(x^2-2x+10)$
$4x^2=4x^2-8x+40$
$8x=40$
$x=5$ :great:

6.$A=x^2+3x+9 = (x^2+9)+3x$
$B=x^2-3x+9= (x^2+9)-3x$
$AB= (x^2+9)^2-9x^2=x^4+9x^2+81$
$a+b+c=1+9+81=91$

8.$x=\sqrt{\frac{6}{7} } \quad \frac{1}{x} =\sqrt{\frac{7}{6} } $
$(x+ \frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2 $
$=\frac{6}{7}+\frac{7}{6}+2 $
$=\frac{169}{42} $
$42(x+ \frac{1}{x})^2= 169$

ข้อ 21 ลองมองรุปดีๆ มันจะเป็นของ สี่เหลี่ยมจตุรัส 1 รูปกับ วงกลม 2 วงกลม
สี่เหลี่ยมจตุรัสด้านยาวด้านละ 14
วงกลมรัศมีเท่ากับ 7
พ.ท.ทั้งหมด = 2*พ.ท.วงวกลม+พ.ท.สี่เหลี่ยมจตุรัส
$=2(\Pi7^2)+14^2$
$=2(154)+196$
$=504$
504 ต.ร.ซม.
ใช่ไหมครับ

19.$x^3-3x^2+kx-12=(x-a)(x-b)(x-c)=0$
$ab=\quad -6$
$abc=\quad 12 \rightarrow c = \quad -2$
$a+b+c=3,\quad a+b=5, \quad ab=-6$
$k=ab+bc+ac$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$
$a^2+b^2=25+12=37$
$k=\frac{9-4-37}{2} = \quad -14$

27.$A=1!+2!+3!+..+99!+100!$
ข้อสังเกตคือ $5!=120$...หลักหน่วยเป็นเลขศูนย์ ดังนั้นตั้งแต่$5!$ไป ผลบวกลงท้ายด้วยศูนย์แน่นอน
ดังนั้นหลักหน่วยเกิดจากผลบวกของ$1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33$
ต่อไปหาเลขในหลักสิบ ข้อสังเกตคือ หาพจน์ที่มีผลคูณลงท้ายด้วย$00$ ซึ่งหลังจาก$5!$ ไปจะมีผลคูณที่มีเลข$10$ อีกทีก็คือ $10!$ ดังนั้นหลักสิบก็คือผลบวกตั้งแต่$1!+2!+3!+...+9!$
$=33+120+720+5040+40320+....180$
$=....13$
$C=3,D=1 \rightarrow C-D=2$

9.ให้$m=15,n=12$........วิธีนี้จำมาจากอาBankerครับ
$3m-2n=45-24=21$...หารด้วย5 เหลือเศษ 1
$p+3=4$

20.$y=k+2x$....นำไปแทนในสมการวงกลม
$x^2+(k+2x)^2=20$
$5x^2+4kx+k^2-20=0$
สมการนี้จะมีคำตอบเพียงค่าเดียวเมื่อ $b^2-4ac=0$
$16k^2-4(5)(k^2-20)=0$
$-4k^2+20\times 20=0$
$4k^2-20\times 20=0$
$(2k+20)(2k-20)=0$
ค่า $k$ ที่เป็นบวกคือ $10$

23.ทอดลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกัน มีจำนวนวิธีในการขึ้นหน้าเท่ากับ$6\times 6\times 6$....คิดแบบนี้คือให้แต่ละลูกเต๋านั้นต่างกัน
จำนวนวิธีที่ผลรวมหน้าลูกเต๋าเท่ากับ $14$
เราให้หน้าเต๋าลูกหนึ่งเป็น$1,2,3,4,5,6$ แต่หน้าลูกเต๋าเป็น $1$ ไม่ได้ เพราะที่เหลือสองลูกรวมกันได้แค่ $12$
คิดง่ายๆเขียนออกมาได้ว่า
ลูกแรกขึ้นหน้า $2$ เขียนเป็น$(2,6,6)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $3$ เขียนเป็น$(3,6,5)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $4$ เขียนเป็น$(4,4,6),(4,5,5)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $5$ เขียนเป็น$(5,5,4),(5,3,6)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $6$ เขียนเป็น$(6,2,6),(6,3,5),(6,4,4)$
คัดเหลือแบบที่ไม่ซ้ำกันได้คือ $(2,6,6),(3,6,5),(4,4,6),(4,5,5)$....ลองดูว่าแต่ละแบบเขียนเรียงสลับตำแหน่งได้ทั้งหมดเ่ทาไหร่
$(2,6,6)$....เขียนได้ 3 แบบ
$(3,6,5)$....เขียนได้ 6 แบบ
$(4,4,6)$....เขียนได้ 3 แบบ
$(4,5,5)$....เขียนได้ 3 แบบ
รวมกันได้ $15$ แบบ
ความน่าจะเป็นที่ทอดลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกันแล้วได้ผลรวมของแต้มเท่ากับ 14 เท่ากับ$\frac{15}{216}=\frac{5}{72} $

22.$3x^2+kxy-2y^2-7x+7y-6$....เราลองแยกเป็นสมการเส้นตรงสองสมการโดยยังไม่ต้องสนใจสัมประสิทธิ์ของ$xy$
จะได้ว่าเท่ากับ$(3x-y+2)(x+2y-3)$
แล้วกระจายกลับจะได้ $k=5$

18.สร้างเลข3หลักที่เป็นคู่บวกจาก $0,2,3,4,5,6,7$ โดยใช้เลขไม่ซ้ำกัน
ดังน้นหลักหน่วยเป็นเลข$0,2,4,6$
หลักหน่วยเป็นเลข $0$ ลองเขียนอีกสองหลักได้ทั้งหมด $30$ แบบ
หลักหน่วยเป็นเลข $2,4,6$ ลองเขียนอีกสองหลักได้ทั้งหมด $24$ แบบ รวมได้$24\times 3=72$ แบบ......แก้ใหม่เป็น $25$ แบบ ดังนั้นรวมได้$75$
รวมทั้งสองกรณีได้เท่ากับ$72+30=102$ จำนวน...แก้ใหม่เป็น$105$

ขอบคุณครับที่ช่วยเช็คให้ครับ

ผมคิดว่าเป็น 25 แบบ นะครับ

ขอบคุณครับใช่ตามที่ช่วยดูให้ครับ:great::great::great:

ข้อ 24
189 หรือเปล่าครับผมวาดรูปไม่เป็นอ่ะครับอธิบายไม่ถูก
28.
ได้ 18 หรือเปล่าครับ

ข้อ 7. ผมคิดได้ $539$ ไม่รู้ว่าจะถูกไหม วิธีคิดยาวและเปลืองแรง เดี๋ยวคงมีคนช่วยหาวิธีสั้นๆให้.....ผมลืมไปแล้ววิธีที่มันง่ายๆ..
ข้อ 25. คิดเศษได้ $76$
$(1000+32)^{1032}$ หารด้วย $100$ เหลือเศษเท่ากับ $32^{1032}$
$32^{1032}=(30^2+2(2)(30)+2^2)^{516}$ หารด้วย $100$ เหลือเศษเท่ากับ $24^{516}$
$24^{516}=(20^2+2(4)(20)+4^2)^{258}$ หารด้วย $100$ เหลือเศษเท่ากับ $76^{258}$
$76^2=(70^2+2(6)(70)+2^2)$ หารด้วย $100$ เหลือเศษ $76$
$76^{258}=(76^2)^{129} $ หารด้วย $100$ เหลือเศษเท่ากับ $76^{129}$
$76^{129}=(76)(76)^{128}$
$(76)^{128}$ หารด้วย $100$ เหลือเศษ $76$
$76^{129} $ หารด้วย $100$ เหลือเศษ $76\times 76$.... เหลือเศษ $76$

ข้อนี้ไม่ได้ใช้mod เพราะว่ามันติดที่$32$ กับ $100$ มีco-primeคือ $4$

$7).$
$25^\ast ).$ ผมว่าเป็นหนึ่งในข้อที่น่าสนใจ
$30^\ast ).$ ข้อนี้ดูเหมือนยากนะ

อีกสองข้อที่น่าสนใจคือ $26^\ast ).$ และ $29^\ast ).$

เป็นข้อสอบของเด็กม.3หรือม.2ครับ

ผมคิดว่ายังไม่ถูกนะครับข้อ 30 น่ะลองดูโจทย์ดีๆสิครับ

ผิดตรงไหนหรอครับ โปรดชี้้แนะ :wacko:

ข้อที่ 26 โจทย์คล้าย ๆ กับหนังสือ สอวน. ครับ
เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ จะเขียนความสัมพันธ์จาก a ไป b ในขอบเขตของเซตที่กำหนดให้โดยที่ $\left|\,\right. a-b \left|\,\right. \leqslant 4$
ถ้า a = 1 จะได้ {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)} 5 คู่อันดับ
ถ้า a= 2 จะได้ .............. 6 คู่อันดับ
ถ้า a=3 จะได้ .............. 7 คู่อันดับ
ถ้า a=4 จะได้ .............. 8 คู่อันดับ
ถ้า a = 5 จะได้ .......... 9 คู่อันดับ
ถ้า $a=6-2006$ จะได้ 9 คู่อันดับ
ถ้า$a=2007 , a=2008 .... a=2010$ พิจารณาเอาเองนะ



จำนวนคู่อันดับ $(a,b)$ มีทั้งหมด $18070$ คู่

ข้อ 29 $$xyz+10xy+6yz+8zx+80x+60y+48z=2012$$
$$xyz+10xy+6yz+8zx+80x+60y+48z + 480=2552$$
$$xy(z+10)+6y(z+10)+8x(z+10)+48(z+10) = 2552$$
$$(z+10)[y(x+6)+8(x+6)] = 2552$$
$$(z+10)(y+8)(x+6) = 2552$$
ต่อเอาเองนะครับ

โจทย์ที่ผมเห็นคือ
$xyz+4xy+6yz+8zx+80x+60y+48z=2012$

ม.3ครับ:great:

ข้อ30.โจทย์ถูกตามที่คุณAmankrisเขียนแต่ในการแสกนบางจุดที่แสงจ้าทำให้ดูเครื่องหมาย+เห็นเป็น- ลองดูกันอีกที
สำหรับข้อ7.ผมเพิ่งคิดวิธีอธิบายแบบมัธยมต้นได้ตอนไปวิ่งจ๊อกกิ้งช่วงเย็น ลองมาช่วยดูกันว่าพอได้เรื่องได้ราวไหมครับ
เขียนได้ว่า$N+1=5A=4B=3C=2D$
จะได้$A: \quad B: \quad C: \quad D =\frac{4}{5}:1:\frac{4}{3}: 2 \quad =12:15:20:30$
จำนวนแรกที่สอดคล้องกับโจทย์กำหนดคือ $N=59$ เมื่อหารด้วย $11$ เหลือเศษคือ $4$
จำนวนที่สองที่สอดคล้องกับโจทย์กำหนดจะห่างจากจำนวนแรกเท่ากับ ค.ร.น.ของทั้งสี่จำนวนคือ $60$ ซึ่งลองแทนค่าดูก็ได้ และค่าที่สามก็ห่างจากค่าที่สองเท่ากับ$60$เช่นกัน สำหรับ$60$ หารด้วย$11$ เหลือเศษเท่ากับ $5$. เรารู้ว่า$44$ หารด้วย $11$ ลงตัว ในแต่ละขั้นเราได้เศษมาคือ$5$ จะรวมกันได้$40=5\times 8$ ถ้าอธิบายเป็นลำดับก็ได้แต่สำหรับมัธยมต้นยังไม่น่าจะได้เรียน ดังนั้นจำนวนที่โจทย์ถามคือ$59+8\times 60 =59+480=539$

ข้อ29.ยังคิดไม่ออก มาติดตรงที่$(x+6)(y+8)(z+4)=4(551-3(4x+3y))$......น่าจะต่อด้วยการใช้เงื่อนไขของ$x,y,z\quad \epsilon \quad I^+$ ยังไม่ไปไหนครับ

น่าจะได้เป็น$(z+10)(y+8)(x+6) = 2492+6xy$
$2492=2 \times 2 \times 7\times 89$ ซึ่ง $89$ เป็นจำนวนเฉพาะ
$(z+10)(y+8)(x+6) = 6xy(\frac{2492}{6xy} +1)$
$(z+10)(y+8)(x+6) = 6xy(\frac{2 \times 7\times 89}{3xy} +1)$.....ท่าทางจะแยกแบบนี้ไม่ได้
$(z+10)(y+8)(x+6) = 2(1246+3xy)$
$(z+10)(y+8)(x+6) = 2(2 \times 7\times 89+3xy)$
ถ้า$x,y$ เป็นไปได้คือ $2,7,14,89,178,623,1246$ แล้วหาค่าที่เหลือน่าจะพอได้คำตอบ
เดี๋ยวมาคิดต่อ
1.$(x,y)=(2,7)$ จะได้ $8 \times 15\times(z+10)=28(92)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
2.$(x,y)=(7,2)$ จะได้ $10 \times 13\times(z+10)=28(92)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
3.$(x,y)=(2,89)$ จะได้ $8 \times 97\times(z+10)=356(10)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
4.$(x,y)=(89,2)$ จะได้ $95 \times 10\times(z+10)=356(10)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
5.$(x,y)=(7,89)$ จะได้ $13 \times 97\times(z+10)=1246(5)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
6.$(x,y)=(89,7)$ จะได้ $95 \times 15\times(z+10)=1246(5)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
7.$(x,y)=(14,89)$ จะได้ $20 \times 97\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
8.$(x,y)=(89,14)$ จะได้ $95 \times 22\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
9.$(x,y)=(7,178)$ จะได้ $13 \times 186\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
10.$(x,y)=(178,7)$ จะได้ $184 \times 15\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
11.$(x,y)=(2,623)$ จะได้ $8 \times 631\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
12.$(x,y)=(623,2)$ จะได้ $629 \times 10\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
13.$(x,y)=(1,1246)$ จะได้ $7 \times 1254\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
14.$(x,y)=(1246,1)$ จะได้ $1252 \times 9\times(z+10)=2492(4)$....$z$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
ทำแล้วงง.....เหมือนจะไม่ได้คำตอบ
เดี๋ยวขอเวลาเช็คตัวเลขอีกที

วานผู้รู้ช่วยเฉลยข้อ 30 ให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ

ถ้าตามที่คุณกิตติบอกว่ามันเป็นบวกทั้งหมด คุณ Amakris ก็ทำถูกอ่ะครับ
ลองดู คห.ที่ 20 อ่ะครับ

คุณ "กิตติ" ยังไม่ได้บอกนะครับว่า ทำไมค่า $x,y$ เป็นไปได้แค่นี้

ปล.จริงๆผมทำอีกวิธีหนึ่ง แต่อยากดูวิธีของท่านอื่นๆก่อน

สำหรับข้อ30.....ที่ลองแทนตัวเลขนั้น เพราะต้องการแปลงผลบวกให้อยู่ในรูปผลคูณโดยลองให้ค่า$x,y$ เป็นตัวประกอบของ $1246$ ซึ่งจะง่ายต่อการดึงตัวร่วมออกมา ซึ่งการลองก็ได้พิสูจน์แล้วว่า ค่า$x,y$ ที่เราคิดว่าต้องเป็นตัวประกอบของ$1246$ นั้น ไม่สามารถให้คำตอบได้
ผมคิดว่าน่าจะค่าจากความเป็นไปได้อย่างอื่นซึ่งผมก็ยังไม่ได้คำตอบ

$29).$

$$xyz+4xy+6yz+8zx+80x+60y+48z=2012$$
ให้ $t=z+4$ , $u=x+6$ , $v=y+8$

จัดรูปสมการใหม่เป็น $$tuv+48u+36v=2780$$
เช็ค $mod\,3$ พบว่า $3\nmid tuv$

แทนค่า $u\geqslant 7$ , $v\geqslant 10$ ได้ว่า $5\leqslant t\leqslant 29$ และ $3\nmid t$

จะรันค่า $t$ จึงจัดรูปอีกทีเป็น $$(tu+36)(tv+48)=2780t+1728$$
ผมลองไล่ดูแล้วพบว่า ไม่มี $(t,u,v)$ ที่สอดคล้อง

3.45ใช่ไหมครับ

ข้อ 29 อ่ะครับ ถ้าสมมุติว่ามันไม่ใช่จำนวนเต็มบวกอ่ะครับ

แล้วเราจะหาค่าที่โจทย์ถามได้มั้ยอ่ะครับ

มีค่าได้มากมายครับ

โจทย์ผิดรึเปล่าครับ ปีที่แล้วผมไปสอบมา โจทย์มันเป็นอย่างนี้ครับ
กำหนดให้ $x, y, z$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งสอดคล้องกับ

$$ xyz + 10xy + 6yz + 8zx + 80x + 60y + 48z = 2072$$
จงหาค่าของ $2x + 3y + 4z$

:happy:

คำตอบของข้อนี้คือ 29 อ่ะครับ
แต่ผมคิดเท่าไรก็คิดไม่ได้ 29 ซักทีเลย

ขอผู้รู้ช่วยแนะนำหน่อยครับ :)

@#39

ไม่ทราบว่าได้คำตอบมาจากไหนครับ

แล้วก็แนะนำว่าลองพิมพ์ solution ดูดีไหมครับ