|
ช่วยคิดหน่อยนะครับคิดไม่ออก ^^
1. กำหนดให้ $x^2 = yz+1$, $y^2 = zx+2$ เเละ $z^2 = xy+4$ ค่ามากที่สุดของ x+y+z เป็นเท่าไร
2.จงหาคำตอบของระบบสมการ $x-\sqrt{yz} = 42$ , $y-\sqrt{zx} = 6$ เเละ $z-\sqrt{xy} = -30$ 3. ค่าของ $\frac{1 + \frac{1}{2^4}-\frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}-\frac{1}{6^4}...}{1-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4} -\frac{1}{6^4}+...}$ เป็นเท่าไร 4. กำหนด $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+... = \frac{\pi^2}{6}$ ค่าของ $1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...$ เป็นเท่าไร 5.จงเเยกตัวประกอบของ $a^3+b^3+c^3-3abc$ 6.สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ จากการกระจาย $(x+1)^7(x^2+1)^5(x^4+1)^3(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)(x^{256}+1)(x^{512}+1)(x^{1024}+1)$ เป็นเท่าไร 7.กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่เเตกต่างกันทั้งหมดเเละเป็นค่าคงที่จงหาคำตอบของสมการ $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} = 0$ 8.กำหนด x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-x^4-y^4-z^4 = 3591$ 9.จงหา n ทั้งหมดที่ทำให้ n+20 เเละ n-20 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ 10.จงหา n ทั้งหมดที่ทำให้ n+9 , 16n+9เเละ 27n+9 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ เเค่นี้ก่อนนะครับเมื่อย ยังไงถ้าคิดได้เเล้วช่วยลงวิธีทำด้วยนะครับ ^^ |
นี่คงไม่ใช่โจทย์ ม.ต้นกระมังครับเนี่ย ทำไมโหดพอสมควรเลย
|
ม.ต้นครับ - -
|
อ้างอิง:
คำตอบ ข้อ $5$ คือ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$ ข้อ $6$ คือ $4096$ ข้อ $9$ คือ $29$ และ $101$ ข้อ $10$ คือ $0$ และ $280$ อ้างอิง:
|
ข้อ 7 เเก้ให้เเล้วนะครับเเต่ข้อ 3. นี้ข้อมูลผมมันเขียนมาอย่างนี้นะครับไม่ทราบว่าโจทย์ผิดหรือป่าวนะ พี่ๆช่วยๆกันดูทีครับ
|
ข้อ 3 โจทย์ไม่ผิดครับ แต่ถ้าจะทำโจทย์ข้อนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์โดยไม่มีคำถามอื่นๆตามมา
ต้องใช้ความรู้ระดับมหาวิทยาลัยครับโดยเฉพาะความจริงที่ว่าทั้งสองอนุกรมในโจทย์ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์จะทำให้เราสามารถโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมโดยที่ค่าของผลบวกยังไม่เปลี่ยนแปลง (ถ้าอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมจะส่งผลให้เราได้ค่าผลบวก ที่ต่างออกไปจากอนุกรมเดิม) กำหนดให้ $S=1+\dfrac{1}{2^4}-\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$ $T=1-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}-\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$ จะได้ว่า $S=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{6^4}+\dfrac{1}{9^4}+\cdots)$ $=(1-\dfrac{2}{3^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$ $T=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{6^4}+\cdots)$ $=(1-\dfrac{2}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$ ดังนั้น $\dfrac{S}{T}=\dfrac{79}{81}\cdot\dfrac{8}{7}=\dfrac{632}{567}$ :yum: |
11.กำหนด a,b,cเป็นจำนวนจริงซึ่ง a+b+c>0 เเละสอดคล้องกับระบบสมการ $a^2bc+ab^2c+abc^2+8 = a+b+c $ ,$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+3abc = -4 $,$a^2b^2c + a^2bc^2+ab^2c^2 = 2+ab+bc+ca$ ค่าของ $a^5+b^5+c^5$ เป็นเท่าไร
12. กำหนด x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $ \frac{1}{x}-\frac{1}{xy}-\frac{1}{xyz} = \frac{19}{97}$ ค่าของ $4x +3y +4z $ เป็นเท่าไร เมื่อ $x < y < z$ 13. นำจำนวนเต็มบวกตั้งเเต่ 1 ถึง n ใส่ลงในตารางขนาด n x n โดยไม่ซ้ำกัน ทั้งเเนวตั้ง เเนวนอน เเละเเนวทะเเยง จะได้ทั้งหมดกี่วิธี 14.โยนลูกเต๋าที่เเตกต่างกันทั้งหมด n ลูก จำนวนวิธีที่ผลรวมเเต้มเป็น 5 n เป็นเท่าไร 15. A มีเหรียญ n+1 เหรียญ B มีเหรียญ n เหรียญ ถ้าทั้ง 2 คนโยนเหรียญของตนทั้งหมดพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเหรียญที่ออกหัวของ A มากกว่าจำนวนเหรียญที่ออกหัวของ B ต่อเลยนะครับใครที่ทำข้อไหนได้เเล้วช่วยลงวิธีคิดให้ด้วยนะครับบบบบ |
คำตอบของข้อ 11 คือ 1279
ส่วนข้ออื่นๆ เดี๋ยวจะลองคิดดู แต่รู้สึกว่าไม่หมูเลยครับ ยังมีอีกกี่ข้อครับ เป็นข้อสอบของการแข่งขันอะไรครับ |
มีเรขาอีกนิดหน่อยครับว่างๆจะเอามาลง มันเป็นโจทย์ที่ผมจดมาจากเพื่อนอีกทีเขาบอกว่าไปเรียนพิเศษมาผมเห็นว่ามันยากดีเลยเอามาลงให้พี่ๆช่วยคิดยังไงก็ฝากด้วยนะครับ
|
ขอตอบข้อที่12 ว่าคำตอบคือ :haha::haha::haha:
555 |
ข้อ 5,6,10ขอวิธิทำหน่อยนะคะ ขอบคุณล่วงหน้า
|
ทยอยเอาแนวคิดเฉพาะข้อที่ได้คิดก่อน หากทดได้เพิ่มจะพยายามพิมพ์ให้ครับ
สมมติ $y=kx,\ z=lx$ สำหรับ $k,l$ บางตัว เนื่องจาก $x \ne 0$ ดังนั้น $$2=\frac{y^2-zx}{x^2-yz}=\frac{k^2-l}{1-kl}=\frac{l^2-k}{1-kl}=\frac{z^2-xy}{x^2-yz}$$ ทำให้ $k^2+k=l^2+l$ โดยที่ $kl\ne1$ ดังนั้น $(k+\frac12)^2=(l+\frac12)^2$ จากเงื่อนไขที่ได้ เราจะแบ่งเป็นสองกรณีดังนี้ กรณีแรก $k=l$ จะพบว่า $$\frac{k^2-k}{1-k^2}=\frac{-k}{1+k}=2,\qquad k\ne\pm1$$ดังนั้น $k=l=-\frac23$ นั่นคือ $x=\pm\frac{3}{\sqrt5},\ y=z=\mp\frac{2}{\sqrt5}$ กรณีหลัง $l+k+1=0$ จะพบว่า $x+y+z=0$ แต่จาก $y^2-x^2=z(x-y)+1$ จะได้ $(x+y+z)(x-y)+1=1\ne0$ ค่าสูงสุดที่ต้องการจึงเท่ากับ $\frac{1}{\sqrt5}$ ให้ $S,T$ แทนผลรวมที่โจทย์กำหนดให้และผลรวมที่ต้องการหาตามลำดับ ดังนั้น $T=S-\frac14S=\frac{\pi^2}{8}$ ลองเริ่มจากแทน $x=-y-z$ เพื่อแสดงว่า $x+y+z$ เป็นตัวประกอบของ $x^3+y^3+z^3-3xyz$ สิครับ จัดรูป แล้วแยกตัวประกอบเทอมทางซ้ายของแต่ละสมการก่อน จะได้ $$\begin{eqnarray} (a+b+c)(abc-1)&=-8&\\ (a+b+c)(ab+bc+ca)&=&2\\ (ab+bc+ca)(abc-1)&=-4&\\ \end{eqnarray}$$ดังนั้น$$(a+b+c)(ab+bc+ca)^2(abc-1)=(a+b+c)(abc-1)$$ กำจัดเทอมซ้ำ และพิจารณาเงื่อนไข $a+b+c>0$ ประกอบ จะพบว่า $ab+bc+ca=-1=abc,\ a+b+c=4$ จาก $\sum a^2=(\sum a)^2-2\sum ab=18,\ \sum a^3=(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)+3abc=73$ $\sum a^2b^2=(\sum ab)^2-2abc\sum a=9$ และ $\sum (a^2b^3+a^3b^2)=4\sum a^2b^2-abc(\sum ab)=35$ ดังนั้น $\sum a^5=\sum a^2\sum a^3-\sum (a^2b^3+a^3b^2)=1279$ พิจารณา $$\frac1{x}-\frac{19}{97}=\frac1{xy}(1+\frac1{z})$$ จะพบว่า $97y-19xy=97(\frac{z+1}{z})$ นั่นคือ $z\vert 97$ เมื่อ $z=1$ จะได้ $97(\frac{y-2}{y})=19x$ เพราะ $y\ne 2$ ดังนั้น $y=1,97$ แต่ทั้งสองค่าจะให้ $x$ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อ $z=97$ จะได้ $97-\frac{98}{y}=19x\quad\dots(*)$ ดังนั้น $y=1,2,7,14,49,98$ แต่เมื่อทดสอบกับ $(*)$ จะพบว่ามีแต่ $(x,y,z)=(5,49,97)$ ที่สอดคล้อง ดังนั้น $4x+3y+4z=555$ |
ต้องขอบคุณคุณ nongtum:great: ที่มาช่วยแสดงแนวคิดให้ ผมไม่ค่อยถนัดในการใช้ latex และใช้เวลาค่อนข้างมากในการพิมพ์
ส่วนข้อ 11 ก็คิดคล้ายๆกัน แต่ทำไมผมได้คำตอบไม่ตรงกันอะ:confused: แนวคิดผมคือ ผมได้ $a+b+c=4, ab+bc+ca=-1, abc = -1$ ซึ่งจะได้ว่า a,b,c เป็นรากของสมการ $x^3+4x^2-x+1 = 0$ ซึ่งจัดรุปอีกทีจะได้ $x^n+4x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3} = 0$ โดยใช้ viete's formula แทนค่า a,b,c เมื่อ n = 4 และ n = 5 |
คำตอบตรงกันแหละครับ ผมทดผิดไปนิดหน่อย ตอนทำไม่เคยนึกที่จะใช้สมบัติของรากของสมการตอนคำนวณสักที ทั้งๆที่เคยเห็นหลายครั้ง แก้แล้วครับ
|
ข้อ.6 ผมคิดได้ 4096 ( 3 ชุดแรกมีการยกกำลังด้วยนะครับ)
|
อ้างอิง:
|
ข้อ.9 กำหนดให้ $m^2 = n-20$ แล้ว $ n+20 = (m+a)^2 = m^2 + 2a.m + a^2$
(n+20)-(n-20) = $40 = 2a.m+a^2$ --> $m = \frac{(40-a^2)}{2a}$ a = 1, $m = \frac{39}{2}$, $n = \frac{1601}{4}$ a = 2, m = 9, n = 101 a = 3, $m = \frac{31}{6}$, $n = \frac{1681}{36}$ a = 4, m = 3, n = 29 a = 5, $m = \frac{3}{2}$, $n = \frac{89}{4}$ a = 6, $m = \frac{1}{3}$, $n = \frac{181}{9}$ ถ้ามีการกำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ม แล้วต้องตอบ 29 กับ 101 ครับ |
อ้างอิง:
|
ขอบคุณคุณ Puriwatt ที่ท้วงครับ
แหะๆ พลาดแบบไม่น่าพลาด งั้นผมขอแก้ใหม่ตรงนี้ละกัน แต่จะทิ้งที่ทำไว้เหมือนเดิมตรงนั้น เผื่อใครอยากใช้ไอเดียนี้ลุยข้อ 2 หรือข้ออื่นๆที่ใช้แนวคิดแบบนี้แล้วได้ จับสมการลบกันเป็นคู่ๆ แล้วแยกตัวประกอบ จะได้ว่า $$\begin{eqnarray} (x-y)(x+y+z)&=&-1\\ (z-y)(x+y+z)&=&2\\ (x-z)(x+y+z)&=&-3\\ \end{eqnarray}$$เห็นได้ชัดว่า $x+y+z\ne 0$ ดังนั้น $\dfrac{x-y}{y-z}=\dfrac12$ ซึ่งทำให้ $z=3y-2x$ (ขั้นตอนนี้ผมลองทดดูแล้ว พบว่าไม่ว่าจะจับคู่ใดมาหารกัน ก็ได้ $z=3y-2x$) ให้ $y=kx,\ z=(3k-2)x$ ดังนั้น $$2=\frac{y^2-zx}{x^2-yz}=\frac{k^2-3k+2}{1-k(3k-2)}=-\frac{(k-1)(k-2)}{(3k+1)(k-1)}=-\frac{k-2}{3k+1}$$ ซึ่งจะได้ $k=0$ (หาก $k=1$ เราจะได้ $x^2=5x^2+1$ ซึ่งคำตอบไม่เป็นจำนวนจริง) แทน $(x,0,-2x)$ ใน $x^2=yz+1$ จะได้ $x=\pm1$ ในที่สุดจะได้ $(x,y,z)=(1,0,-2),(-1,0,2)$ ผลรวมสูงสุดจึงเป็น 1 ส่วนข้อ 9 ผมอาศัยการสังเกตว่า $n^2+(2n+1)=(n+1)^2$ และจาก $40=19+21=7+9+11+13$ เป็นผลรวมของจำนวนคี่บวกเรียงกัน(แล้วได้ 40)ที่เป็นไปได้ (ในที่นี้ จะได้ $n-1$ หรือ $n-13,\ n-4,\ n+7$ เป็นจำนวนจัตุรัสด้วย แล้วแต่กรณี) หาค่า $n$ จากตัวบวกตัวแรกแล้วหา $n^2+20$ (ทำไม) ก็จะได้สองคำตอบคือ 29 กับ 101 ครับ แต่ก็ จากโจทย์ จะมีจำนวนเต็ม $a,b,c$ ที่ $a^2=n+9,\ b^2=16n+9,\ c^2=27n+9$ เพราะ $16a^2=16n+9+135=b^2+135$ เราจะประยุกต์วิธีในข้อ 9 มาใช้ได้ดังนี้ เพราะ $\qquad\quad\begin{eqnarray}135&=&2\cdot67+1\\ &=&(2\cdot21+1)+45+47\\ &=&(2\cdot11+1)+25+27+29+31\\ &=&(2\cdot3+1)+9+11+13+15+17+16+21+23+25\\ \end{eqnarray}$ เป็นผลรวมของจำนวนคี่บวกเรียงกัน(แล้วได้ 135)ที่เป็นไปได้ เราจะได้ค่า $n,a,b,c$ ตามตารางต่อไปนี้ $\qquad\quad\begin{array}{rrrr} b & n & a & c\\ 67 & 280 & 17 & 87\\ 21 & 27 & 6 & \not\in\mathbb{Q}\\ 11 & 7 & 4 & \not\in\mathbb{Q}\\ 3 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}$ |
16)กำหนดระบบสมการ $\frac{a1}{2}+\frac{a2}{3} +\frac{a3}{4}+... +\frac{a2007}{2008} = \frac{4}{3}$
$\frac{a1}{3}+\frac{a2}{4}+\frac{a3}{5}+...+\frac{a2007}{2009} = \frac{4}{5}$ $\frac{a1}{5}+\frac{a2}{5}+\frac{a3}{6}+...+\frac{a2007}{2010} = \frac{4}{7}$ . . . . . . . . . $\frac{a1}{2008}+\frac{a2}{2009}+\frac{a3}{2010}+...+\frac{a2007}{4014} = \frac{4}{4075}$ จงหาค่าของ $\frac{a1}{3}+\frac{a2}{5}+\frac{a3}{7}+...+\frac{a2007}{4015}$ เป็นเท่าไร 17.) ให้ $a,b,c,d,e,fเเละg$ เป็นจำนวนเต็ม สมการ $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+g^6 = 96957 $ มีทั้งหมดกี่คำตอบ |
18.)กำหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมี มุม ABC = 51 องศา ถ้า m เป็นจุดภายในทำให้ มุม MCB = มุม MCA = 9 ถ้า มุม MBC = 21 ขนาดของ มุม AMC เป็นเท่าใด
19.) ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี AB<AD เส้นทเเยงมุมAC เเบ่งครึ่ง มุม BAD E เป็นจุดภายในบนด้าน AD ทำให้ BC = CD = DE ถ้า มุม ABC = 130 องศา เเละ มุม BAD = 40 องศา เเล้ว ขนาดของมุม ACE เป็นเท่าไร 20.) ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี มุมABC = มุมCBD = มุมADB = 40 องศา AC พบ BD ที่ M ถ้า AM+BM = DM ขนาดของ มุมBDC เป็นเท่าไร ขอบคุณสำรหับเเนวคิดนะครับ สุดยอดจิงๆ :great: |
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อ.19 ตอบ 45 องศา (ดูรูปประกอบ)
Attachment 576 |
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อ.18 มุมAMC = 129 องศา (ดูรูปประกอบ)
Attachment 589 |
โจทย์จากอาจารย์ไมตรี ศรีทองแท้ 10000000% ยืนยันชัวร์ครับ -*-
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:38 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha