ข้อสอบสมาคม ม.ปลายปี 2548
 

ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย มาให้เพื่อนๆพี่ๆ mathcenter สนุกสนานกานอีกแร้วคับ รู้สึกจะง่ายกว่าปีก่อนนะครับ (ปีก่อนผมทำ 4 คะแนนแทบมะได้สักข้อ >< )
แต่ถึงจาพอทำได้บ้างนิดหน่อย แต่ผมก้อผิดโง่ๆอีกตามระเบียบ โดยเฉพาะข้อสุดท้าย -*- ให้หา "ผลรวมคำตอบ" มะใช่ หาค่า x หุหุหุ
อ่า ใหม่ๆ โดนย่อภาพซะง้าน

เยี่ยมมากเลยครับ ใครว่าง ๆ มาร่วมเฉลยกันเถอะ ! :D ปีนี้หวังว่าคงไม่มีข้อที่แบบต้องมาแก้โจทย์กันอีก

โจทย์ข้อ 19 ผิดอ่าครับ
จิงๆ คนออกคงตั้งใจให้เปน z+1/Z แต่ผมไม่ได้ทำไปเพราะคิดว่า
คงให้ฟรี
เลยอยากรู้ว่าจะติดต่อ ทางสมาคมยังไงว่าโจทย์ผิด

เริ่มจากตอนที่หนึ่ง หากอยากได้เฉลยละเอียดข้อไหนบอกได้ครับ โปรดอย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดด้วยตนเอง

1. ข. (\(0<\sin{2°}<<1, \cos{2},\tan{2}\) เป็นลบ)
2. ค. (\(\displaystyle\large{\frac{3^{102}}{2^{100}+3^{101}}
=\frac{3(2^{100}+3^{101})-3\cdot2^{100}}{2^{100}+3^{101}}
=3-\underbrace{xxx}_{<1}}\))
3. ก.
4. ง.
5. ง.
6. ข.
7. ก. (\(f=f^{-1}\))
8. ง. (\(a_1=-48d\))
9. ง.
10. ค. \((n-4)(n-2)(n+2)(n+4)+36=(n^2-10)^2,\ n=40\)
11. ข.
12. ง.
13. ข.
14. ข.
15. ข.

Edit1: แก้คำตอบข้อ 5,6,8,14,15
Edit2: แก้ข้อ 7 (ทดได้ ก. แต่ตันพิมพ์ ข. -_-")

ผมคิดได้แบบนี้ อ่าคับ

1 ข
2 ค
3 ก
4 ง
5 ง
6 ข
7 ก
8 ง
9 ง
10 ค
11 ข
12 ง
13 ข
14 ข
15 ข

ถึงว่าข้อ 19 ผมงงอยู่ โจทย์ผิดนี่วา แล้วข้อ 18 ไม่กำหนดdet ของอะไรสักตัวมันจะหาได้เหรอครับ ข้ อ6 ได้คนะครับ ผมเลยหา a-1 ทีละตัวแล้ว

ผมอยากรู้เฉลยข้างหลังอะครับข้อ 4 คะแนน ใครช่วยอธิบายได้ จะเป็นบุญอย่างยิ่ง แล้วผมฝากถามพี่กร หน่อยครับว่า ถ้าเราตอบคำตอบเขาไม่ครบเนี่ย จะได้คะแนนบ้างไหมครับ ผมกลัวนับคู่อันดับไม่ครบอะครับ

ข้อ 6
ได้ A^-1 =

4 -2 1 -3
1 1 0 0
-1 0 1 0
-2 0 0 1

ครับ ลอง คูณกับ A ดู ดังนั้นได้ ค่ามากสุดคือ 4

คำเตือน: อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง

16. ค?? \[{\sqrt{3^{2n}-3^n+1}-\sqrt{3^{2n}}
=\frac{-3^n+1}{\sqrt{3^{2n}-3^n+1}+\sqrt{3^{2n}}}
=\frac{-1+1/3^n}{\sqrt{1-1/3^n+1/3^{2n}}+1}
{\buildrel{n\rightarrow\infty}\over{\rightarrow}}{-\frac{1}{2}}}
\]

17. ก. ให้ตัวแรกเป็น a₁ อัตราส่วนร่วมเป็น r จะได้ \(a_1r^5(1+r^3)=52=(-2)(-26)=(-2)(1+(-3)^3)\) นั่นคือ r=-3

23. ก. ให้ P มีพิกัดเป็น P(c,x) จากโจทย์จะได้ b:a=x:c หรือ x=cb/a แทน P ในสมการวงรีจะได้ 2(c/a)²=1 หรือ \(e=c/a=1/\sqrt{2}\)

27. ให้ a=log₃(x+y) จะได้
\(a^2+(\frac{1}{a})^2=2-(x+1)^2
\Leftrightarrow(a-\frac{1}{a})^2+(x+1)^2=0
\Leftrightarrow({a=\frac{1}{a}\wedge{}x=-1})\)
นั่นคือ (x,y)=(-1,4), (-1,4/3)

28. แยกตัวประกอบสองเทอมแรกด้วยสูตรผลต่างกำลังสามและเอกลักษณ์ฟังก์ชันตรีโกณฯ จะได้\[
3(\sin{x}\cos{x})^2-\alpha\sin{x}\cos{x}-1
=3(\sin{x}\cos{x}-\frac{\alpha}{6})^2-\frac{a^2}{12}-1\le0
\Leftrightarrow(3\sin{2x}-\alpha)\le\alpha^2+12\]
เนื่องจาก \(-1\le\sin{2x}\le1\) จะได้ว่า \((\pm3-\alpha)^2\le\alpha^2+12\) (ไม่แน่ใจนะครับว่าทำแบบนี้ได้ไหม)
แก้ทีละอสมการ แล้วนำคำตอบมา intersect กัน จะได้ว่าอสมการนี้จึงเป็นจริงทุกจำนวนจริง \(\alpha\in[-0.5,0.5]\)

29. จำนวนเต็มใดๆเมื่อยกกำลังสองแล้วหารด้วยสามจะหารลงตัวหรือได้เศษเป็นหนึ่ง เราจะคิดแจงกรณีดังนี้
กรณีแรก: เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด 2⁵=32 วิธี
กรณีที่สอง: เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามไม่ลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด \({9\choose0}+{9\choose3}+{9\choose6}+{9\choose9}=170\) วิธี
รวมทั้งสิ้น 32*170-1=5439 วิธี (Thank you nong Nithi)

30. ตาราง 9x9 มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 1+4+9+...+81=285 รูป ไว้คิดออกหรือมีคนอื่นตอบได้ก็เชิญตอบได้นะครับ

32. จัดรูปใหม่แล้วแยกตัวประกอบจะได้ (n-2)(m-5)=10 นั่นคือ (m,n)=(3,15),(4,10),(7,7),(12,6)

33. จำนวนเต็มสามหลักนี้ต้องหารด้วยสามสิบลงตัว จะได้ว่าหลักหน่วยของเลขนี้เป็นศูนย์ ผลบวกของเลขโดดไม่เกินสิบแปด เราจึงพิจารณาจำนวนจาก 120,150,180,...,540 ตามเงื่อนไขโจทย์ จะได้ว่า 270 ตัวเดียวเท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด

edit1: แก้ข้อ 17,27,28,29,30

ข้อ 30 อ่าคับ

มันมีรูป สี่เหลี่ยมเอียงๆ ด้วยนะครับ เอียงหลายแบบ หลายขนาดด้วย

\[A^2+A=A(A+I)=I\quad\Rightarrow\quad(A+I)^{-1}=
A\]\[A-I=-A^2\quad\Rightarrow\quad(A-I)^{-1}=-A^{-2}=
-(A+I)^2=-(A^2+2A+I)=-(A+2I)\]\[\therefore\quad
\det((A+I)^{-1}+(A-I)^{-1})=\det(-2I)=(-2)^3=-8\]

แหะๆๆ ยิ่งดูเฉลยยิ่งช้ำใจ ทดผิดหลายข้อเลยครับ T_T
|-2I| matrix 3x3 ผมตอบ -2 ไปเฉ้ย
และอีกหลายๆข้อ แหะๆๆ (ม่ายอยากประจานความเน่าตะเอง แง้ว) -*-

ข้อ 27 เหมือนคุง nongtum นะครับ แต่รู้สึกเลขจาผิด
a = log₃ (x+y)
จัดรูปเป็น (a-\( \frac{1}{a} \)² = -(x+1)²
จึงได้ x = -1 และ a-\( \frac{1}{a} \) = 0
ได้ a²-1 = 0 --> (a+1)(a-1) = 0
log₃ (y-1) -1 = 0 --> y = 4
log₃ (y-1) +1 = 0 --> y = 4/3
ตอบ (-1, 4) ,(-1, 4/3)

ข้อ 31 หาธรรมดาๆ ได้ 72.1272 ประมาณป็น 72.13 (ถ้าคิดเลขไม่ผิดอีก)
(แม้แต่ข้อนี้ ผมก้อลืมประมาณเลข ตอบไป 72.12 โอ้ว ให้ตายสิ กรรมการคร๊าบ ให้ผมเห๊อะ สักข้อ แหะๆๆ) :(

ข้อ 33 ไม่ต้องไล่เลขขนาดนั้นก็ได้หนิครับ
ให้ abc เป็นเลข 3 หลัก
จากโจทย์จะได้ 30(a+b+c) = 100a+10b+c --> 0 = 70a-20b-29c
ซึ่งสังเกตหลักหน่วยทำให้ทราบว่า c = 0
ดังนั้นจะได้ 7a = 2b ซึ่ง (a,b) = (2,7) กรณีเดียว ตอบ 270
ปล.ซึ่งผมทดผิด มันดันเหลือ 0 = 70a-20b-20c เลยตอบไป 6 คำตอบ เฮ่อ...

ข้อ 35 ลองดูจากกรณีง่ายๆก่อน
เลข 2 1 ตัว --> |2-x| = 1 --> x = 1,3
เลข 2 2 ตัว --> |2-|2-x|| = 1 --> x = -1, 1, 3, 5
...
เลข 2 n ตัว --> x = -(2n-3), -(2n-5),.... , 2n-1 , 2n+1
S x = 2n-1 + 2n+1 = 4n (พจอื่นหักล้างกันหมด)
เลข 2 2005 ตัว ผลรวมคำตอบเป็น 8020
ปล.ซึ่งผมตอบในกระดาษคำตอบไปว่า -4007, -4005,...,4011 ซะอย่างงั้น T_T
ปล.2 สรุป สมาคมปีนี้ผมจามีข้อถูกสักข้อไม๊เนี่ย ฮือ.... :(

ข้อ 7 ไม่ได้ตอบ 0 หรือครับ ถ้า f เท่ากับ f^-1 มันน่าจะลบกันหมด

คิดอะไรผิดหรือเปล่าครับ ผมคิดได้ 5439 วิธี คิดอย่างนี้ครับ ที่มาก็คล้ายๆ กัน
ขั้นที่ 1 เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด 2⁵=32 วิธี
ขั้นที่ 2 เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามไม่ลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด \({9\choose0}+{9\choose3}+{9\choose6}+{9\choose9}=170\) วิธี
เพราะฉะนั้น จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด 32ด170=5440 วิธี แต่ที่นับตรงนี้เรารวมวิธีการที่ไม่ได้เลือกอะไรเลยไปด้วย เพราะฉะนั้นต้องหักออก 1 วิธี เหลือ 5439 วิธีครับ

ข้อ 30 ตอบ

1ด9²+2ด8²+...+9ด1² = 825 ครับ

ไว้ว่างๆ จะมาเฉลยวิธีคิดให้

ข้อ 34 สนุกดีจัง

กำหนดให้
\(\large f(x)=y = \sqrt[3]{x^{2}+2x} \)

ดังนั้น
\(\large y^{3}= x^{2}+2x= (x+1)^{2}-1\)

หรือหมายความว่า
\(\large x+1= \sqrt{y^{3}+1} \Rightarrow x=\sqrt{y^{3}+1}-1=g(y) \)

เพราะ y เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน [0,2] และ หลังจากลงจุดหัว-ท้ายของ y=f(x) ที่ x=0,2 ก็จะได้ y=0,2 ตามลำดับ จากนั้นเมื่อตีกรอบ บริเวณ [0,2]x[0,2] บน ระนาบ XY ก็จะพบว่า
\( \large \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{2} g(y) dy = 2 \cdot 2=4\)
หรือเท่ากับว่า
\( \large \int_{0}^{2} (f(x) + g(x)) dx = 4 \Rightarrow \int_{0}^{2} (\sqrt[3]{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{3}+1}-1) dx=4\)

ดังนั้นคำตอบที่โจทย์ต้องการคือ
\( \large 4+\int_{0}^{2} (1)dx = 6\)

ส่วนข้อ 28 ผมว่าข้อความด้านล่าง ไม่น่าจะจริงสำหรับ ทุกจำนวนจริงaนะครับ

\(\large 3(sinxcosx-\frac{\alpha}{6})^{2}\leq \frac{\alpha^{2}}{12}+1 \)
ฝากคุณ nongtum check อีกทีแล้วกันครับ

แล้วก็แถมให้อีก 3 ข้อแล้วกัน
22. ก 24. ข 25. ค
ถ้าหายขี้เกียจ แล้วจะมา post วิธีทำให้นะครับ :D

ตามล้างตามแก้ที่ทำผิดแล้วนะครับ แต่หากยังมีที่ผิดก็บอกได้นะครับ ครั้งนี้ก็เหมือนเดิมอย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง

19. ก. เนื่องจาก \(z^2+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2-2=1\) และ \(z^3+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3-3(z+\frac{1}{z})=0\) ดังนั้นจาก \(0=(z^2+\frac{1}{z^2})^2(z^3+\frac{1}{z^3})
=(z^7+\frac{1}{z^7})+2(z^3+\frac{1}{z^3})+(z+\frac{1}{z})\) จะได้ \((z^7+\frac{1}{z^7})=-\sqrt{3}\)

20. ก. (\(0=\cos{(\pm\frac{\pi}{2})}=\cos(\arccos{(\frac{3x}{4})}-\arccos{(1-x)})\))

26. ให้ |AP|=x, |PQ|=z, |QB|=y จะได้ x+z=2y, y+z=2x หรือ x=y=z
ให้ \(\vec{BC}=3\vec{a},\ \vec{BA}=3\vec{x}\) จะได้ \(\Delta{}ABC=(9/2)|\vec{a}\times\vec{x}|,\ \Delta{}QBR=(2/2)|\vec{a}\times\vec{x|},\ \Delta{}SAP=(1/2)|\vec{x}\times2(\vec{a}-\vec{x})|=|\vec{x}\times\vec{a}|\)
ดังนั้น k=5/18

เหลือไม่กี่ข้อแล้ว ช่วยๆกันหน่อยครับ ;)

Edit2: แก้ข้อ 26

พี่ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับทั้งการออกและการตรวจข้อสอบสมาคม ฯ เลยนะครับ ลองเมลล์ไปถามที่ maththai@math.or.th บางทีอาจจะได้คำตอบนะครับ :)

เอ. เหลือข้อไหนบ้างแล้วนี่ ชักลายตา

เหลือข้อที่ผมอยากรู้อีกข้อนึงคือ21ครับ

แล้วข้อ26นี่ได้5/9แน่ไหมครับ ถ้าถูกจะได้เตรียมเฮเลย

ส่วนข้อ7ผมก็ว่าน่าจะได้0นะ ขอคำอธิบายด้วยครับ

แล้วพอจะมีใครทราบว่าmin max ของปีที่แล้วไหมครับ

หรือคะแนนที่ได้รางวัลชมเชย อันนี้ของถามพี่นิธิก็แล้วกัน หรือถ้าใครรู้บอกด้วยนะครับ

ข้อ 26 พื้นที่สามเหลี่ยม ABC เท่ากับ \(\large \frac{1}{2}\mid \vec{BC} \times \vec{BA}\mid \) นะครับคุณ nongtum

ข้อ 25
\(\large Y_{i}=13X_{i}+38 \) แล้วแทน X ด้วย 6

ข้อ 24

ก่อนตอบ ขอกำหนดตัวแปร ที่จำเป็นก่อน
AVE= ดีกรีเฉลี่ย E= จำนวนเส้น V= จำนวนจุดยอด max= ดีกรีมากสุด

เห็นได้ชัดว่า AVE= 2E/V

พิจารณา ข้อ (1)
เพราะ 2E/V ฃmax เสมอ (ถ้าไม่เชื่อ อาจมองเป็น 2E ฃ(max)(V) จะดูง่ายขึ้น)
ดังนั้น E/V < 2E/V ฃmax

แต่ AVE ของกราฟใหม่ คือ 2(E-max)/(V-1) < 2E/V (AVE กราฟเก่า) ดันไปสมมูลกับข้อความ E/V< max (ซึ่งเป็นจริงจากบรรทัดก่อน)

ดังนั้น ข้อ (1) เป็นจริง

ส่วน ข้อ 2 พิจารณา simple connected graph 5 จุด ที่มีดีกรี 3,3,3,3,2 พบว่า AVE เดิม เป็น 14/5 = 2.8 แต่ AVE ใหม่ เป็น 10/4 =2.5 ซึ่งลดลง
ดังนั้น ข้อ 2 เป็นเท็จ

ข้อ 22
พบว่า
\(\large \quad \vec{u}= \vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\quad \vec{v}= \vec{3i}-\vec{2j}+\vec{k} \)
และถ้า A,B,C คือ มุมแสดงทิศทางของเวกเตอร์ใดๆ cos²A+ cos²B+cos²C=1
ในกรณีของเวกเตอร์ w A=B=C และทำให้ cos A = 1/ึ3

ดังนั้น \(\large \quad \vec{w}= \frac{\mid \vec{w} \mid}{\sqrt{3}} (\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) \)

จากนั้นก็คำนวณ ตามปกติเลยครับ พบว่า ข้อ 1 ถูก

ส่วนข้อ 2 ก็ถูก ใช้สูตร \(\large \mid \vec{u} \times \vec{v} \mid \)

ข้อ 21
ถ้า y= 0 ดังนั้น f(x+0)=f(x)f(0) ดังนั้น f(0)=1 หรือ f(x)=0 ดังนั้น ข้อ 1 ถูก
ส่วน ข้อ 2 ไม่แน่ใจนิดๆ แต่ผมทำอย่างนี้ครับ
ถ้าหา อนุพันธ์เทียบกับ x แล้ว มอง y เป็นค่าคงที่ พบว่า
f '(x+y) = f '(x) f(y)
ถ้า แทนx =0
f '(y) = f '(0) f(y) ดังนั้น ข้อ 2 ถูก

ข้อ 30
จัตุรัสแบบไม่เอียง มี \( \large \sum_{n=1}^{9} (10-n)^{2} \) รูป...(1)

ต่อไป พิจารณาจัตุรัสแบบเอียง

สมมติ ABCDเป็นจัตุรัส ด้านละ n หน่วย ให้ X,Y,Z,W เป็นจุดบน AB,BC,CD,DA ตามลำดับ โดย BX=CY=DZ=AW =a ( โดย a เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า n)
ดังนั้น XYZW เป็นสี่เหลี่ยม จัตุรัส ที่ซ้อนในจัตุรัส ABCD (ลองวาดรูป check ดูนะครับ)
โดยการ vary ค่า a ได้ n-1 แบบ ดังนั้น สำหรับ 1 จัตุรัสนอน สามารถสร้าง n-1 จัตุรัสเอียง บรรจุข้างในได้

ดังนั้น จัตุรัสเอียงมี \( \large \sum_{n=1}^{9} (n-1)(10-n)^{2} \) รูป ....(2)

(1)+(2) จะได้ จำนวนจัตุรัสเท่ากับ\( \large \sum_{n=1}^{9} n(10-n)^{2} =825 \) รูป

ตอนนี้ก็เหลือแต่ การแก้ไขหากมีที่ผิด อย่างเดียวแล้วครับ

สุดท้าย รบกวนนิดนึง สำหรับใครที่มีข้อสอบจริงๆ ในมือ ผมอยากเห็นโจทย์ ข้อ 15 กับ 20 แบบ ชัดๆ น่ะครับ ขอบคุณล่วงหน้าอย่างแรง

คือว่าข้อ 26 เนี่ย
ได้ 5/18 นะ ถูกชัว
ลองคิดดูใหม่

แล้วข้อที่พิพม์ว่าไงอะครับ ข้อ19

ปีที่แล้วม.ต้นโจทย์ผิด2ข้อ
แต่ข้อนึงเขาให้ฟรี อีกข้อนึงเขายังเฉลยไปว่าถูกอะ

ข้อที่เป็นเส้นตรงตัดแกนอะครับ จำได้ไหม

ข้อ 19. หากเอาตามที่เขียนในข้อสอบคงต้องตอบว่าไม่มีคำตอบหรือโจทย์ผิดครับ แต่หากตั้งใจให้เป็น z+1/z จริงก็อย่างที่ทำให้ดูหน้าที่แล้วแหละครับ
ป.ล. ข้อสอบปีนี้ดูง่ายพิลึก(หรือว่าเราแก่ขึ้น :confused: ) บางข้อไม่น่าหลุดมาเป็นข้อสอบม.ปลายได้เลย

ผมว่าข้อ 15 ไม่ได้งเหรอครับ x บาร์ มันได้18 มัธยฐาน=16เหรอครับ แล้วเครื่องหมายต้องเป็นน้อยกว่าเท่ากับด้วยไม่ใช่เหรอ ครับ

ผมก็ว่า ข้อ 15 ได้ ง. เหมือนที่น้อง jojo บอกนะ ถ้าผมเห็นโจทย์ไม่ผิด

แล้วก็ข้อ 20 สรุปว่า
เซต A คือ คำตอบสมการ \(\large arccos(1-x)+\frac{\pi}{2}=arccos(\frac{3x}{4}) \)
เซต B คือ คำตอบ สมการ \(\large arccos(1-x)=\frac{\pi}{2}+arccos(\frac{3x}{4}) \)
ใช่หรือไม่ครับ

ถ้าใช่
ผมว่า A= {0} , B={32/25} นะครับ

ขออนุญาตใช้สิทธิโดนพาดพิงครับ
คะแนนปีที่แล้ว สุงสุด 85/100 แต่คะแนนที่ได้รางวัลชมเชยนี่ไม่แน่ใจนะครับ ขอโทษด้วย น่าจะประมาณแถวๆ 60

ที่จริงว่าจะมาเฉลยข้อ 30 (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) แต่มีคนมาเฉลยให้แล้ว ไอเดียตามนั้นละครับ

แล้วก็ข้อ 26. ที่เป็นเวกเตอร์ ตอบ \(\frac{5}{18}\) แน่นอนครับ แล้วก็ข้อ 21 มีคนมาเฉลยแล้วเนาะ

แต่ปีนี้ คงต้องคะแนนชมเชยมากกว่าปีก่อนๆละครับ เพราะรู้สึกมีหลายคนบอกว่าข้อสอบง่ายลง ได้เท่าไรเขียนกันมาบอกกันบ้างนะครับ

โทษนะครับพี่นิธิ แล้วปีที่แล้ว1/2/3 ใครได้บ้างอะครับ ผมไม่ได้ดูผลในวารสารสมาคม คนในวงการชัวร์เลย

แล้วข้อ20ทำไมได้เซตอย่างนั้นอะครับ พี่passer-by ช่วยอธิบายหน่อย

สำหรับ ที่น้อง jojo ถามมา

เอาเซต A ก่อนนะครับ
ให้ arccos(1-x) =q
take cos ทั้ง 2 ข้างของสมการ A
จะได้ sinq= -3x/4
และเพราะ sin²q+cos²q=1
นั่นคือ (1-x)²+ (-3x/4)²=1
แก้สมการจะได้ x= 0, 32/25
ซึ่งเป็นจริงเฉพาะ x= 0 (เพราะ 32/25 ทำให้ ซ้ายมือสมการอยู่ในจตุภาคที่ 2 และขวามืออยู่ในจตุภาคที่ 1)

ส่วนเซต B ก็เริ่มต้นคล้ายๆกัน
ให้ arccos(3x/4) =q
take cos ทั้ง 2 ข้างของสมการ B
จะได้ sinq= x-1
แล้วก็ set up สมการเหมือนข้อ A
แก้สมการจะได้ x= 0, 32/25
ซึ่งเป็นจริงเฉพาะ x= 32/25 (check จากสามเหลี่ยมุมฉาก 7,24,25)

ถึงน้อง jojo
คือพี่ก็เป็นคนนึงที่สอบปีที่แล้วละครับ ส่วนปีนี้หมดสิทธิ์สอบแล้ว
ปีที่แล้ว ที่ 1 คือพี่วุฒิชัยครับ ได้ 85/100 ที่ 2 นี่ถ้าจำไม่ผิดชื่อธนวิต (โทษทีน้องลำดับรุ่นไม่ถูก คนนี้ปีนี้อยู่ ม.6) ได้ 83 แล้วก็ที่ 3 มีพี่กับพี่วุฒิศักดิ์ ได้ 81/100
เรื่องคะแนนรางวัลชมเชยนี่ไม่แน่ใจนะครับ ก็อย่างที่หลายๆ คนว่าละ ข้อสอบง่ายขึ้น (แต่ไม่ง่ายจนเกินไป) อย่างปีที่ผ่านๆ มา (ก่อนที่ข้อสอบจะยากอย่างเมื่อปีที่แล้วกับ 2 ปีที่แล้ว) นี่จะมีคนได้ประมาณ 50 คน ใครรู้เกณฑ์ที่แน่นอนช่วยตอบด้วยนะครับ

ขอบคุณครับพี่ นิธิ ตอนนี้ก็เหลือแต่รอผล ใครได้เท่าไรบอกกันบ้างครับ

ข้อ6นี่ อึดอย่างเดียวหรือเปล่าครับ

นั่นน่ะสิ ผมก็สงสัยเรื่องนี้อยู่เหมือนกันครับ

วิธีทำแบบ"สมบูรณ์" ของข้อ 24,28 ดูได้ที่นี่ครับ (By คุณ warut)

ผมได้รับวารสารคณิตศาสตร์ฉบับสุดท้ายของปีนี้แล้วครับ แน่นอนว่ามีทั้งคำถามและเฉลย ตั้งแต่ของประถมถึง ม. ปลาย ในวารสารเขียนโจทย์ข้อ 19 ว่า z + 1/z = ึ3

เอ่อ ทำไมรูปข้อสอบไม่ขึ้นอ่ะครับ