ส่วนหนึ่งเเบบฝึกหัด ใน ค่าย มก.
 

เอา ข้อ ที่ผม ยังทำไม่ได้ในบางข้อ อย่างข้อ เเรก เป็นต้นครับ
เริ่มที่ number ก่อนครับ ถ้าว่างจะสเเกนมาให้ ผมว่าคงไม่ยากสำหรับ เซียนในเว็บนี้ครับ

2.(วิธีถึก)
$2552\leq\sqrt{n}+\frac{1}{2}<2553$
$\frac{26040609}{4}\leq\ n<\frac{26061025}{4}$
แต่จาก n เป็นจำนวนเต็ม
$\therefore 6510153\leq\ n<6545256$
$6510152.25\leq\ n-\frac{3}{4}\ <6545255.25$
$2551.5\leq\sqrt{n-\frac{3}{4}}\ <2552.4998...$
$2552\leq\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}<2552.9998...<2553$
$\left\lceil\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}\right\rceil =2552$

3.
สังเกตว่าทางซ้ายมี 73 พจน์ เนื่องจากผลบวกแต่ละตัวเป็นจำนวนเต็มและ $\left\lceil\ r+0.19\right\rceil=\left\lceil\ r+0.91\right\rceil$ หรือ $\left\lceil\ r+0.19\right\rceil=\left\lceil\ r+0.91\right\rceil+1$ และผลบวกของทั้ง 73 พจน์เท่ากับ 746 ดังนั้นจะได้ว่า
$\therefore\left\lceil\ r+0.19\right\rceil=\left\lceil\ r+0.20\right\rceil=...=\left\lceil\ r+0.56\right\rceil=7$ และ $\left\lceil\ r+0.57\right\rceil=\left\lceil\ r+0.58\right\rceil=...=\left\lceil\ r+0.91\right\rceil=8$
จาก $\left\lceil\ r+0.56\right\rceil=7$ ได้ว่า $6.44\leq\ r<7.44$
จาก $\left\lceil\ r+0.57\right\rceil=8$ ได้ว่า $7.43\leq\ r<8.43$
ดังนั้นได้ว่า $7.43\leq\ r<7.44$
$\therefore 743\leq 100r<744$ นั่นคือ $\left\lceil\ 100r\right\rceil=743$

สำหรับ ข้อ 2 ผมเดาว่าน่าจะมี วิธีเดียว เเหละครับ ผมลองหาวิธี อื่น ยังไม่เจอ ถ้า เจอ ก็บอกด้วยครับ

floor function ทั้งนั้นเลยหรอครับ

ข้อ3 ผมใช้hermit ได้เป็น 546+19*7+8*8=743

ผมสงสัยว่าข้อ2 นี่ กรณี ทั่วไป ให้เป็น k จะได้เหมือนกันป่าวครับ

2. สมมติ $n$ เป็นจำนวนนับ และ $\left[\,\sqrt{n}+\dfrac{1}{2}\right]= k $ จะได้

$k\leq \sqrt{n}+\dfrac{1}{2}<k+1$

$k-\dfrac{1}{2}\leq\sqrt{n}<k+\dfrac{1}{2}$

$k^2-k+\dfrac{1}{4}\leq n< k^2+k+\dfrac{1}{4}$

$k^2-k+1\leq n < k^2+k+\dfrac{1}{4}$ (เำพราะว่า $n$ เป็นจำนวนเต็ม)

$k^2-k+\dfrac{1}{4}\leq n-\dfrac{3}{4} < k^2+k-\dfrac{1}{2}<k^2+k+\dfrac{1}{4}$

$k-\dfrac{1}{2}\leq\sqrt{n-\dfrac{3}{4}}<k+\dfrac{1}{2}$

$k\leq \sqrt{n-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}<k+1$

$\left[\,\sqrt{n-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}\right]=k $

4. มาจากโจทย์โอลิมปิกรัสเซียครับ
$$\Big[\frac{p}{q}\Big]+\Big[\frac{2p}{q}\Big]+\Big[\frac{3p}{q}\Big]\cdots+\Big[\frac{(q-1)p}{q}\Big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}$$
เมื่อ $(p,q)=1$

เเล้วข้อ 1 คิดยังไงครับ

อืม..ขอลองทำข้อ$1$ดู ไม่รู้ทำแบบนี้ได้รึป่าวนะครับ ยังไงช่วยตรวจด้วยครับพ้ม
ผมจะบังคับให้มันเป็นจำนวนเต็ม
$\frac{n^3+1}{mn-1} = \frac{(n^3-1)+2}{mn-1} = \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{mn-1}+\frac{2}{mn-1}$
$\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{mn-1}+\frac{2}{mn-1}$ ตรงนี้จะเป็นจำนวนเต็มได้ m,n ต้องเป้น 1,2 และ 1,3
ผมเลยตอบ $(1,2),(1,3)$

ผมว่าไม่ได้นะครับ เพราะเป็นไปได้ที่ $\frac{2}{mn-1}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม แต่เมื่อบวกกับ $\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{mn-1}$ แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม

อ่อ คงอย่างที่คุณ Mathophile ว่าจริงๆด้วย กรณี (2,2) โฮ๊ะๆ ปล่อยไก่ซะแล้วผม ขอบคุณครับที่ท้วง อิๆ

ข้อ 1 ครับ คิดว่าน่าจะถูก (หลังจากผ่านการมึนมาหลายรอบ :tired: )



ปล. ปีนี้โจทย์ในค่าย มก. โหดขึ้นกว่าปีที่แล้วเยอะเลยนะครับเนี่ย :eek:

ไม่คิดเลยครับ ว่าจะให้ m=n+a
5 คำตอบถูกเเล้วครับ เพราะตอนนั้น อาจารย์เขาปล่อยมาเสร็จเเล้ว ผมก็ตอบ เลข 5 คู่อันดับไปเเล้ว อาจารย์ ก็บอกว่า
ถูกเเล้ว เเต่ผมเเสดงยังไม่ได้ครับ

ไม่ทราบว่าข้อ4 นี่ proof อย่างไรครับ

งั้นขอปล่อยอีกข้อครับ
จงหา n ซึ่งเป็นจำนวนนับ ซึ่ง n=(T(n))^4
T คือ ฟังก์ชันเทาครับ
ข้อนี้ สนุกครับ

เดี๋ยววันหลังจะนำมาให้ทั้ง เเบบฝึกหัดครับ
เพราะทำไปบ้างเเล้วครับ ช่วงนี้ขี้เกียจด้วยครับ

เรขาบ้างครับ
ส่วนใหญ่เฉลี่ยประมาณนี้ครับ
1.p is a point on the altitude AD of the triangle ABC.THe line BP,CP meet CA,AB at E,F respectively.
show that AD bisect มุม EDF
2.The triangle ABC has AB and AC unequal.The angle bisector of A meet the perpendicular of BC at X.The line
joining the feet of the perpendicular from X to AB and AC meets BC at D Find BD/DC
ขอให้สนุกครับ

เอ่อ...ข้อที่หาคู่อันดับ (m,n) ที่ผมตอบไปมี 9 คู่อันดับนะครับ :huh:

ไม่นับการสับเปลี่ยน ครับ

แต่ผมคิดว่าการสับเปลี่ยนตำแหน่งมีความสำคัญนะครับ

เช่น กรณี $(m,n)=(1,2)$ จะได้ $\frac{n^3+1}{mn-1}=9$
แต่ถ้า $(m,n)=(2,1)$ จะได้ $\frac{n^3+1}{mn-1}=2$
ถึงจะได้ออกมาเป็นจำนวนเต็มเหมือนกัน แต่ผลลัพธ์ที่ออกมาก็ไม่เท่ากันน่ะครับ

ผมผิดเเล้ว หล่ะครับ ขอโทษครับ

เรขาข้อหนึ่งครับ
1. ลาก $FS,ET$ ตั้งฉากกับ $BC$ ที่ $S$ และ $T$ ตามลำดับลาก $FD,ET$
ให้ $FS$ ตัด $BE$ ที่ U และ $TE$ ตัด $CF$ ที่ $V$
$\Delta{BUF} \sim \Delta{BAD}$
$\therefore \frac{FU}{AP} = \frac{BU}{BP}$ ______________(1)
$\Delta{BDP} \sim \Delta{BUS}$
$\therefore \frac{US}{PD} = \frac{BU}{BP}$______________(2)
$\therefore \frac{FU}{US}=\frac{AP}{PD}$_______________(3)
$\Delta{CEV} \sim \Delta{CAP} $
$\therefore \frac{EV}{AP} = \frac{CV}{CP}$______________(4)
$\Delta{CTV} \sim \Delta{CPD}$
$\therefore \frac{CV}{CP} = \frac{VT}{PD}$______________(5)
จาก $(4),(5)$ จะได้ว่า $ \frac{EV}{VT} = \frac{AP}{PD} $ ___________(6)
จาก $(3),(6)$ จะได้ว่า $\frac{EV}{VT} = \frac{FU}{US}$
$\therefore \frac{VE}{ET} = \frac{FU}{FS}$
$\therefore \frac{FS}{ET} = \frac{FU}{EV}$
แต่จาก $\Delta{FUP} \sim \Delta{PEV} $
$\therefore \frac{FS}{ET}=\frac{FU}{EV}=\frac{UP}{PE}=\frac{SD}{DT}$________(*)
จาก $(*)$ และ $\hat{FSD} = \hat{ETD}$ จะได้ว่า $\Delta{FDS} \sim \Delta{DET}$
$\therefore \hat{FPA}=\hat{ADE}$

ข้อ หนึ่ง
ผมสร้างอย่างงี้อ่ะครับ
ลากเส้นขนานซึ่งขนานกับBC ผ่านจุด A ต่อ DE DFเปตัดเส้นขนานดังกล่าวที่ M,N เเล้วใช่ เชวา กับ สามเหลี่ยมคล้าย เส้นขนาน

แล้วค่ายมก.คืออะไรอ่ะครับ