โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ?
 

ไม่มีเฉลย พอดีเห็นเลยเอามาลงไว้เผื่อจะมีคนสนใจ

1.(2011)จงหาเลขหลักหน่วยของ $1!+2!+3!+...+95!$

2.(2011) จงพิสูจน์ว่า กำลังสองของจำนวนธรรมชาติ(จำนวนนับ) เมื่อถูกหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเป็น 0 หรือ1

3.(2011) จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $n!+2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

4.(2012) จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์นับไม่ถ้วนที่ลงท้ายด้วย $444$

5.(2012) เมื่อ $A,B,C$ เป็นเลขโดด(0-9)ที่ต่างกัน จงหาว่ามี$A,B,C$ กี่จำนวนที่ทำให้$ABA\times C=BCC$

6.(NSEJS_2008-2009)
จงหาค่าของ $(1-\tan A+\sec A)(1-\cot A+\csc A)$

7.(NSEJS_2008-2009) ถังทรงกระบอก มีรัศมี 6 ซม.และมีไอศครีมสูงเท่ากับ $h$ ซม. ตักแบ่งใส่กรวยไอติมที่มีรัศมีของโคนเท่ากับ $3$ ซม.โดยให้ส่วนบนสุดเป็นรูปครึ่งวงกลม(ตักแล้วทำยอดเป็นครึ่งวงกลม)และกรวยมีความสูงเท่ากับ $12$ ซม. ตักให้เด็กได้ 10 คนพอดี จงหาว่าค่า $h$ เท่ากับกี่ซม.

8.(NSEJS_2008-2009) สามเหลี่ยมหน้าจั่ว(isosceles triangle)ที่มีความยาวแต่ละด้านเป็นจำนวนเต็ม จะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วกี่แบบที่มีความยาวในแต่ละด้านไม่เกิน $4$

9.(NSEJS_2008-2009)

จากรูปข้อใดถูก
1.$\alpha +\beta =110^\circ $
2.$\alpha=\beta=55^\circ $
3.$\theta =110^\circ $
4.$\theta =140^\circ$

10.(NSEJS_2009-2010)

จากรูป วงกลมวงใหญ่มีรัศมีเท่ากับ $1$ หน่วย จงหาค่าของรัศมีวงกลมลงเล็ก

ดูผิดครับ:blood:

ชุดที่2
1.(NSEJS_2009-2010)
เมื่อ $D=a^2+b^2+c^2$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ต่อกัน และ $c=ab$ แล้ว ข้อใดถูก
1).$\sqrt{D} $ เป็นจำนวนเต็มคู่เสมอ
2).$\sqrt{D} $ เป็นจำนวนเต็มคี่เสมอ
3).$\sqrt{D} $ เป็นจำนวนเต็ม ที่อาจเป็นจำนวนคี่หรือคู่
4).$\sqrt{D} $ บางครั้งเป็นจำนวนอตรรกยะ

2.(NSEJS_2009-2010)
ถ้า $a^2+2b=7,b^2+4c=-7$ และ $c^2+6a=-14$ จงหาค่าของ $a^2+b^2+c^2$

3.(NSEJS_2009-2010)
จงหาค่าของ
$\cot^2\theta \left[\,\frac{\sec\theta -1}{1+\sin \theta } \right]+\sec^2\theta \left[\,\frac{\sin \theta -1}{1+\sec\theta } \right] $

4.(NSEJS_2009-2010)
สี่เหลี่ยมมุมฉาก $ABCD$ ซึ่งมีความยาวด้าน $AB,BC,CD,DA$ เท่ากับ $(5x+2y+2)$ ซม. , $(x+y+4)$ ซม. ,$(2x+5y-7)$ ซม. ,$(3x+2y-11)$ ซม. ข้อใดถูก
1).มีด้านหนึ่งยาวเท่ากับ 14 ซม.
2)เส้นทะแยงมุมแต่ละเส้นยาวเท่ากับ $39$ ซม.
3)เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมเท่ากับ $102$ ซม.
4)สี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่ $560$ ต.ร.ซม.

5.(NSEJS_2008-2009)
สมามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $L,M,N$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน $AB,BC,CA$ ตามลำดับ ถ้าสามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับ $48$ หน่วย จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $LMN$

6.(NSEJS_2011)
จงหาค่าของ $\sin^8\theta+\csc^8\theta$ เมื่อ $\sin\theta+\csc\theta=2$

7.(NSEJS_2011)
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวแต่ละด้านเป็นจำนวนเต็ม เมื่อ $AB=2001$ และ $BC=1002$ หน่วย แล้วจงหาว่ามีสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่รูป

8.(NSEJS_2011)
ลำดับหนึ่งที่ใช้เลขฐานสี่เป็นดังนี้ $1,2,3,10,11,12,13,20,21,...$ จงหาเลขในลำดับที่20

9.(NSEJS_2011)
ถ้า $4a-18b+13c=0$ และ $3a+3b-4c=0$ จงหาอัตราส่วนของ $a:b:c$

10.(NSEJS_2011)
จงหาจุดต่ำสุดของกราฟ $y=2x^2+4x+3$

ข้อ 1 ครับ
เนื่องจาก ตั้งแต่ $5!$ ขึ้นไปจะลงท้ายด้วย $0$ ทุกตัว
เลขหลักสุดท้ายได้จาก $1!+2!+3!+4!=33$
ดังนั้น เลขหลักหน่วย คือ $3$

ได้ $n=2$ แต่ไม่แน่ใจว่ามีอีกหรือไม่
เพราะ $n=1,3,4$ ไม่ทำให้ $n!+2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
$n\geqslant 5$ จะลงท้ายด้วย $2$ เสมอ ซึ่งไม่มีเลขใดยกกำลังสองแล้วลงท้ายด้วย $2$ เลย

$(1-\tan A+\sec A)(1-\cot A+\csc A)=1-\frac{1}{tanA}+\frac{1}{sinA}-tanA+1-\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosA}-\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinAcosA}$
$=2-(\frac{1}{tanA}+tanA)+\frac{1}{sinAcosA}=2-\frac{1}{sinAcosA}+\frac{1}{sinAcosA}=2$

ชุดแรก

ข้อ2)รูปทั่วไปของจำนวนนับแบ่งเป็นเลขคู่คี่ดังนี้

$\frac{(2n)^2}{4}=n^2$ลงตัว$\therefore $เศษ $0$

$\frac{(2n-1)^2}{4}=\frac{4n^2}{4}-\frac{4n}{4}$หารลงตัวเหลือพจน์สุดท้ายเศษ1

ข้อ4)$(1000n+462)^2=...444$โดยที่$n=0\rightarrow \propto $

ชุดที่2

ข้อ1) ตอบ $\sqrt{D} $ เป็นจำนวนคี่

เพราะ $a,b$ตัวใดตัวหนึ่งเป็นคี่ $a^2+b^2$เป็นคี่ และ $c=ab$ $c$ เป็นคู่ $c^2$จึงเป็นคู่

ดังนั้น $D$เป็นจำนวนคี่ $\sqrt{D}$ จึงเป็นจำนวนคี่ด้วย

ข้อ4)$\quad2,3$ ถูก

วิธีทำ นำทุกสมการบวกกันหมดจะได้

$(a+3)^2+(b+1)^2+(c+2)^2=0$

จะได้ $a=-3,b=-1,c=-2$ เเทนค่าเเล้วพบว่าจริง

ดังนั้น $a^2+b^2+c^2=14$

ตอบ $\theta =110^\circ $ และ $\alpha +\beta =110^\circ $

วิธีทำ จำนวนนับเเบ่งออกเป็นจำนวนคู่กับจำนวนคี่

$1.$ $x=2k$ บาง $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก

จะได้ $x^2=4k^2$ ซึ่งหารด้วย $4$ เศษ $0$

$2.$ $x=2k+1$ บาง $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก

จะได้ $x^2=4k^2+4k+1$ ซึ่งหารด้วย $4$ เศษ $1$

ใช้ทฤษฎีจากข้อ $2$ ว่า จำนวนนับกำลังสองหารด้วย $4$ เศษ $0,1$

วิธีทำ พิจารณา $n\geqslant 5$ จะได้ $n!+2$ หารด้วย $4$ เศษ 2 ซึ่งไม่เป็นกำลังสอง

ดังนั้น $n\leqslant 4$ เเทนค่าได้ $n=2$ ตัวเดียว

$\sin\theta+\csc\theta=\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta}=2$

จะได้ $\sin\theta=1$

ดังนั้น $\sin^8\theta+\csc^8\theta=1+1=2$

วิธีทำ สามเหลี่ยมทั้ง $4$ รูปที่เกิดขึ้นเท่ากันทุกประการดังนั้น $[LMN]=12$

วิธีทำ

$y=2x^2+4x+3$

$y'=4x+4=0$

$x=-1$

ดังนั้น $y=1$

ตอบ $(-1,1)$

Attachment 8066


จากรูปจะได้ $2r^2=(1-r)^2$

เเกได้ $r=\sqrt{2}-1$

8(ตอน 2).ถ้าแปลงเป็นเลขฐานสิบ ลำดับจะได้เป็น 1,2,3,4,5,6... ดังนั้นลำดับที่ 20 =20
แปลง 20 ให้อยู่ในระบบฐานสี่ = $110_4$
ตอบ 110

ข้อ1$\alpha +\beta =110^{\circ} $และข้อ2$\alpha =\beta =55^{\circ} $ก็ถูกนะครับ

ขอข้อง่ายๆ ละกัน :wub:
ตอบ 3:5:6

ครับ ข้อ 1 ถูกครับเเต่ผมว่าข้อ 2 ยังสรุปไม่ได้นะครับ

อ้อ โทษทีตั้งใจจะพิมพ์ว่าก็ถูกได้นะครับ

ข้อ 6 ชุดที่1
6.(NSEJS_2008-2009)
จงหาค่าของ $(1-\tan A+\sec A)(1-\cot A+\csc A)$

ใช้วิชามาร ให้ $A=45^\circ $
$(1-\tan A+\sec A)(1-\cot A+\csc A)$
$=(\sec A)(\csc A)$
$=\sqrt{2} \times \sqrt{2} $
$=2$

Attachment 8084

สามเหลี่ยม $ LMN = \frac{1}{4} ABC = \frac{1}{4} \times 48 = 12 $

Attachment 8085

AC ยาวที่สุดได้เท่ากับ 2001+1002 -1 = 3002 หน่วย

AC + 1002 > 2001

AC > 999

999 < AC < 3003

AC = 1000 ---> 3002 = 2003 จำนวน

สมมติ a เป็นจำนวนที่น้อยกว่า
จะได้
$D = (a^2+a+1)^2$
$\sqrt D = a^2+a+1 = a(a+1)+1$

but $2|a(a+1)$
$\therefore 2 \nmid a(a+1)+1$
ข้อ 2

โอ้วววว วิชามาร สุดยอดดดดด:please:

ถ้าเป็นเติมคำตอบก็ ตามนี้
แต่ถ้าวิธีทำแบบนี้ก็ได้ครับ
$(1-\tan A+\sec A)(1-\cot A+\csc A) = \dfrac{(cosA-sinA+1)(sinA-cosA+1)}{sinAcosA}$

$= \dfrac{1^2-(sinA-cosA)^2}{sinAcosA} $

$= \dfrac{1-(1-2sinAcosA)}{sinAcosA} $

$= \dfrac{2sinAcosA}{sinAcosA} $

$= 2$

ขอบคุณครับ ง่ายกว่าที่ผมทำอีก
แต่เจอโจทย์มันนึกไม่ออกอ่ะครับ เลยต้องทำแบบตรงๆไป:haha:

1, 2, 3
10, 11, 12, 13
20, 21, 22, 23
30, 31, 32, 33
100, 101, 102, 103
110

ลำดับที่20 คือ 110

$4a-18b+13c=0$

$4a-18b = -13c$

$72b -16a = 52c$.......(*)

$3a+3b-4c=0$

$3a+3b = 4c$

$39a+39b = 52c$...(**)

$72b -16a = 39a+39b $

$ 55a = 33b$

$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$

ทำนองเดียวกัน จะได้ $\frac{b}{c} = \frac{5}{6}$

จะได้ว่า a : b : c = 3 : 5 : 6

ขอบคุณคุณbankerที่ช่วยมาแก้ไขข้อ7ชุด2ครับ

ชุดแรก

ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหม
$n!+2=2(\frac{n!}{2}+1 )$
$\frac{n!}{2}=3\times 4\times ...\times n!$
จากตรงนี้ เราให้ $n>3$ ซึ่ง $\frac{n!}{2}$ เป็นจำนวนคู่แน่นอน
ดังนั้น $\frac{n!}{2}+1$ เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นพจน์ $\frac{n!}{2}+1$ จึงไม่สามารถแยกเอาเลข $2$ ออกมาเพื่อสร้างกำลังสองสัมบูรณ์ของ $2$ ได้
จะได้เอา เมื่อ $n>3$ จะไม่มีค่า $n$ ที่ทำให้ n!+2 เป็นกำลังสองสมบูรณ์
จึงเหลือทดสอบเมื่อ $n=1,2,3$ จึงเหลือแค่ $n=2$

ให้ $\sin\theta=x$
$\csc\theta=\frac{1}{x} $
$x+\frac{1}{x}=2 \rightarrow x^2-2x+1=0 \rightarrow (x-1)^2=0 \rightarrow x=1$
จะเอาไปแทนค่า หรือ จับสมการยกกำลังสองก็ได้ จะได้ตามนี้
$x^2+\frac{1}{x^2}=2$
$x^4+\frac{1}{x^4}=2$
$x^8+\frac{1}{x^8}=2$

แทน $\theta=45^\circ $
$\frac{\sec\theta -1}{1+\sin \theta }$

$=\left(\,\frac{\sqrt{2} -1}{\sqrt{2}+1}\right) \times \sqrt{2}$

$=\left(\,\frac{(\sqrt{2} -1)^2}{3}\right) \times \sqrt{2}$

$\frac{\sin \theta -1}{1+\sec\theta }=\left(\,\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)\times \frac{1}{\sqrt{2}} $

$=-\left(\,\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{3}\right)\times \frac{1}{\sqrt{2}} $

$\cot^2\theta \left[\,\frac{\sec\theta -1}{1+\sin \theta } \right]+\sec^2\theta \left[\,\frac{\sin \theta -1}{1+\sec\theta } \right] $ เมื่อให้ $\theta=45^\circ $

เท่ากับ $\left(\,\frac{(\sqrt{2} -1)^2}{3}\right) \times \sqrt{2}-\left(\,\frac{(\sqrt{2} -1)^2}{3}\right) \times \sqrt{2}$

ตอบ $0$

สัมประสิทธิ์ $ x^2 \ $ มากกว่า 0

vertex = $\frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(2)} = -1 $

$y = 2(-1)^2 +4(-1) +3 = 1$

จุดต่ำสุด = {-1, 1}

Attachment 8088

5x+2y+2 = 2x+5y-7

3x -3y =-9

x - y = -3 ..........(*)

x+y+4 = 3x+2y-11

2x + y = 15 ......(**)

x = 4, y = 7

ด้านยาว 36 ด้านกว้าง 15

ตอบ
2)เส้นทะแยงมุมแต่ละเส้นยาวเท่ากับ $39$ ซม.
3)เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมเท่ากับ $102$ ซม.

Attachment 8089

ข้อ 3 $\theta = 110^\circ $

ข้อ 1 $ \alpha + \beta = 110^\circ $

ถูก 2 ข้อ

{1, 1, 1}

{2, 2, 1}, {2, 2, 2}, {2, 2, 3}

{3, 3, 1,}, {3, 3, 2}, {3, 3, 3}, {3, 3, 4}

{4, 4, 1}, {4, 4, 2} {4, 4, 3}, {4, 4, 4}

รวม 12 แบบ

Attachment 8090

ปริมาตรไอติมที่ใช้ = $ \pi 6^2 h $

ปริมาตรกรวย = $\frac{1}{3} \pi 3^2 \times 12 $

ปริมาตรครึ่งทรงกลม = $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi 3^3 = \frac{2}{3} \pi 3^3 $

เด็กหนึ่งคนได้ไอติม $\frac{1}{3} \pi 3^2 \times 12 + \frac{2}{3} \pi 3^3 = 54 \pi $

เด็ก 10 คน
$ 10 \times 54 \pi = \pi 6^2 h$


$h = 15$

เอาวิธีทำแบบปกติ
$\frac{\sec\theta -1}{1+\sin \theta }=\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta(1+\sin \theta)} $

$\frac{\sin \theta -1}{1+\sec\theta }= \frac{\cos\theta(\sin \theta -1)}{1+\cos\theta} $

$\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta(1+\sin \theta)}\times \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta} $
$=\frac{\sin^2 \theta}{(1+\cos\theta)(1+\sin \theta)} $

$\cot^2\theta \left[\,\frac{\sec\theta -1}{1+\sin \theta } \right]=\frac{\cos \theta}{(1+\cos\theta)(1+\sin \theta)}$

$\frac{\sin \theta -1}{1+\cos\theta}\times \frac{\sin \theta+1}{\sin \theta+1 }$
$=\frac{-\cos^2\theta}{(1+\cos\theta)(1+\sin \theta)} $

$\sec^2\theta \left[\,\frac{\sin \theta -1}{1+\sec\theta } \right] $
$=\frac{-\cos \theta}{(1+\cos\theta)(1+\sin \theta)}$

ดังนั้น ตอบ $0$

ABA x C = BCC ---> 1B1 x C = BCC

161 x 4 = 644

191 x 5 = 955

ตอบ 2 จำนวน

****_______ชุดที่3_____________****
1.(NSEJS_2010-11) เมื่อ $a,b,c$ เป็นสัดส่วนต่อเนื่อง จงทำให้พจน์ $\frac{a^2+ab+b^2}{b^2+bc+c^2} $ อยู่ในรูปอย่างง่าย

2.(NSEJS_2010-11)เมื่อ $AD,BE,CF$ เป็นจุดกึ่งกลางของสามเหลี่ยม $ABC$ แล้วผลรวมความยาวของส่วนเส้นตรง $BE$ กับ $CF$ คือ
(1) $< \frac{3}{2}BC $
(2) $> \frac{5}{3}BC $
(3) $> \frac{3}{2}BC $
(4) $< \frac{2}{3}BC $

3.(NSEJS_2010-11) จากรูป คอร์ด $ED$ ขนานกับเส้นผ่านศูนย์กลาง $AC$ ของวงกลม ถ้า $\angle CBE$ เท่ากับ $60^\circ $ แล้ว $\angle DEC$ เท่ากับเท่าไหร่



4.(NSEJS_2010-11) ถ้า $a^2+b^2+c^2=1$ และ $p=ab+bc+ca$ แล้ว
(1) $ \frac{1}{2} \leqslant p \leqslant 2$
(2) $-\frac{1}{2} \leqslant p \leqslant \frac{1}{2} $
(3) $-\frac{1}{2} \leqslant p \leqslant 1 $
(4) $-1\leqslant p \leqslant \frac{1}{2} $

5.(NSEJS_2010-11) ถ้า $x^2-5x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{x^{10}+1}{x^5} $

6.(NSEJS_2010-11) พื้นที่วงกลมเพิ่มเป็นสองเท่า เมื่อรัศมีวงกลม $r$ เพิ่มขึ้นอีก $a$ จงหา $r$ ในรูปของ $a$

7.(NSEJS_2010-11) จงหาผลคูณของรากสมการ $\sqrt[3]{8+x} +\sqrt[3]{8-x}=1$

8.(NSEJS_2010-11) เส้นรอบรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดเป็นมุมฉากเท่ากับ $2p$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ในเทอมของ $p$

9.(NSEJS_2010-11)

จากรูป $AB$ ขนานกับ $DE$ จงหาผลต่างระหว่างมุม $x$ กับ $y$

10.(NSEJS_2010-11)
ถ้า $\alpha ,\beta ,\gamma $ เป็นรากของสมการ $(x-2)(x^2+6x-11)=0$ .จงหาค่าของ $\alpha+ \beta +\gamma $

11.(์NSEA 2010-11)
จากการกระจาย $(a+b+c)^{73}$ มีจำนวนพจน์ทั้งหมดกี่พจน์

12.(์NSEA 2010-11)
จากการสุ่มหยิบจำนวนสามจำนวนจากชุดเลข $1-20$ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนคู่

13.(์NSEA 2010-11)
จงหาเลขสองหลักท้าย(หลักสิบกับหลักหน่วย)ของ $1!+2!+3!+...+101!$

14.(์NSEA 2010-11)
สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งมีพื้นที่เท่ากับ $4\sqrt{3} $ จงหาพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมรูปนี้

15.(์NSEA 2010-11)
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีจุดบนด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งอยู่ห่างจากด้านที่เหลือเท่ากับ $m$ และ $n$ จงหาความยาวที่น้อยที่สุดของด้านตรงข้ามมุมฉากนี้

16.(์NSEA 2010-11)
$x+\frac{1}{x}=2\cos \theta $. จงหาค่าของ $x^3+\frac{1}{x^3}$

17.(์NSEA 2010-11)
จงหาค่ามากที่สุดของ $5\cos \theta+3 \cos (\theta +\frac{\pi }{3} )+3$

18.(์NSEA 2010-11)
ถ้า $1<a<0$ จงหาค่าของ $log(1+a)+log(1+a^2)+log(1+a^4)+log(1+a^8)+...$

19.(์NSEA 2010-11)
จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนายาวเท่ากับ $10,25$ ซม.และสองด้านที่เหลือที่ไม่ขานกันยาวเท่ากับ $13,14$ ซม.

20.(์NSEA 2010-11)
ถ้า$\frac{\cos\alpha }{a} =\frac{\sin \alpha }{b} $ แล้ว จงหาค่าของ $a \cos2\alpha+b\sin 2\alpha$