Gifted Triam
 

1. Aเป็นภาชนะที่ใส่น้ำทรงกรวยมีฝาปิดที่มีน้ำอยู่ เป็นปริมาตร a เท่าของปริมาตรกรวย A หลังจากใส่ทรงกรวยตัน B ลงไปในกรวย A ปิดฝากรวยแล้วตั้ง พบว่ากรวย B วางตัวดังรูป ถ้ามองจากด้านข้างภาชนะจะพบว่าหน้าตัดวงกลมของกรวย B อยู่พอดีกับระดับน้ำ จงหาอัตราส่วนของรัศมีกรวย A ต่อรัศมีกรวย B
(รูป กรวยใหญ่คว่ำอยู่ มีกรวยเล็กหงายอยู่ด้านใน โดยจุดยอดของกรวยเล็กอยู่ที่จุดศูนย์กลางของฐานของกรวยใหญ่)
2. ถ้ากราฟ y=x^2+c ตัดกับกราฟ x^2+y^2 = 4 ทั้งหมด 4 จุดเมื่อ เป็นค่าคงตัว ข้อใดถูกต้องที่สุด แสดงเหตุผลด้วยนะ
1.c>2
2.-4<c<-2
3.ไม่มีข้อใดถูก
:please:

1. ตกลงกรวยที่คว่ำคือกรวย A หรือครับ
2. ข้อนี้หากลองวาดกราฟวงกลมและพาราโบลา แล้วทดลองเลื่อนกราฟพาราโบลาขึ้นลงตามแกนสมมาตร จะเห็นคำตอบได้เกือบทันทีครับ

ข้อสอบกิฟเตรียมแบบนี้ไม่เคยเห็นเลยครับ - -* ไปเอาโจทย์ จากที่ไหนมาเนี่ย

จาก Tugmos คะ ช่วยคิดหน่อยคะ

อ่าว !! มี Gifted TriamUdom ด้วยหร๋อ ... อิอิ ... งงเลย ...

ผมขอเดาว่ารูปเป็นแบบนี้นะครับ
Attachment 441
จากรูปที่.1 เราจะได้ว่า
$ปริมาตรกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .r^2.h$ --> $ปริมาตรน้ำในกรวย A = a.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$

จากรูปที่.2 เราจะได้ว่า
$ปริมาตรอากาศในกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .(b.r)^2.(b.h) = b^3.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$ และ
$ปริมาตรกรวย B = \frac{1}{3}.\pi .(b.r)^2.(1-b).h = (b^2-b^3).\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$
$ปริมาตรน้ำในกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .r^2.h-[b^3.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h+(b^2-b^3).\frac{1}{3}.\pi .r^2.h]$
$ปริมาตรน้ำในกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .r^2.h-[b^2.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h] = (1-b^2).\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$

ดังนั้นเราจะได้ว่า $a = (1-b^2) --> b = \sqrt{1-a} $
แล้ว $r_A : r_B = r : b.r = 1 : \sqrt{1-a} $ ครับ :)

วัน เดือน ปี ที่ผ่านมา โอ้ -- จ๋า รักยังแจ่มจ้าไม่เลือน
สระน้ำคูบัวตามเตือน สงวนบุญหนุนเลื่อน... ยิ่งกว่าปิ่นปัก จุทา นั่นเอย
25ปี ผ่านมาแล้วหนอ

ตอบถูกแล้วคะช่วยคิดอีกข้อด้วยนะคะ

ลองสังเกตุ รูปชุดแรกดู พบว่า กรณีที่ c = -2 จะตัดกันแค่ 3 จุด และ เมื่อ c < -2 จึงจะตัด 4 จุด
Attachment 445
ลองสังเกตุที่รูปชุดสองดู พบว่า กรณีที่ c = -4 ที่ตำแหน่ง x = 2 , y = 0 ทั้งคู่ แต่เส้นสัมผัสของวงกลม
จะเป็นเส้นแนวดิ่ง และแต่เส้นสัมผัสของพาราโบลา จะมีความชันเป็น 4.0 แสดงว่าน่าจะตัดกัน 4จุด
ลองดูรูปที่ 2 พบว่าตัดกัน 4จุดจริงดังรูป
Attachment 446
แสดงว่าข้อนี้ต้อง ตอบ 3. ไมมีข้อไดถูก -- > ที่เหลือให้คิดเอาเอง นะครับ

ตอบถูกคะ แต่เหตุผลไม่ใข่ เพราะคำตอบที่เฉลยบอกไม่ได้มี 1 ตัว แต่ตอบ c>2 หรือ -17/4<c<-2 คุณpuriwatt ได้ครบหรือเปล่า หรือเราเข้าใจผิด

ถ้า $x^2 \geq 0$ และ $c>2$ แล้ว $y > 2$ และ $y^2 > 4 $ เสมอ เลยไม่มีจุดตัดครับ

แต่สำหรับกรณีที่ $ x^2 < 0 $ ยังไม่ได้คิดครับ วานช่วยคิดให้ด้วยครับ :please:
(พาราโบลาจะคว่ำ และ วงกลมเปลี่ยนไป --> ไม่อยากจะคิดเลย ตอนนี้หัวมันทึบครับ)

x^2 ติดลบได้หรือคะ โทษที่ยังไม่เรียนแม้แต่กราฟวงกลมเลยคะ แค่รู้คร่าวคร่าวเองงะ

$x^2\ge0$ เสมอครับ กราฟพาราโบลาที่ให้เลยต้องหงายเสมอครับ จึงเห็นได้ชัดว่าเมื่อ $c>2$ กราฟจะไม่ตัดกัน
จากด้านบนเราจะพบว่า $c<-2$ แน่ๆ
การหาขอบเขตล่าง ให้สังเกตว่าหากเลื่อนกราฟลงมาตามแกน y เรื่อยๆ ถึงค่า $c$ ค่า่หนึ่ง กราฟจะสัมผัสกับวงกลมเพียงสองจุด และจุดที่สัมผัสหรือตัดวงกลมมีพิกัดเป็น $(\pm\sqrt{4-y^2},y)$
เมื่อแทนในสมการแรกจะได้ $y=4-y^2+c$
หรือจัดรูปใหม่ได้เป็น $y^2+y-(c+4)=0\qquad ...(*)$
กราฟจะสัมผัสวงกลมเมื่อสมการ (*) ให้รากค่าเดียว
นั่นคือ เมื่อ $1+4(c+4)=0$ นั่นคือ เมื่อ $c=-17/4$

การหาขอบเขตล่าง ให้สังเกตว่าหากเลื่อนกราฟลงมาตามแกน y เรื่อยๆ ถึงค่า $c$ ค่า่หนึ่ง กราฟจะสัมผัสกับวงกลมเพียงสองจุด และจุดที่สัมผัสหรือตัดวงกลมมีพิกัดเป็น $(\pm\sqrt{4-y^2},y)$ แล้วจุดนี้หายังไงคะ

#14
จุดที่ตัดหรือสัมผัส ต้องอยู่ทั้งบนพาราโบลา $y=x^2+c$ และวงกลม $x^2+y^2=4$ ครับ
ทำสี่บรรทัดสุดท้ายใน #13 ให้จบก่อน แล้วแทน c=-17/4 ใน (*) เพื่อแก้หา y

ในกรณีที่แสดงเป็นกราฟโดยที่ $x,y \in R$ แล้ว $ x^2 \geq 0$ เสมอ (เหมือนที่คุณNongtum ตอบ)

และข้อนี้โจทย์ถามว่า a) ข้อใดถูกต้องที่สุด? และ b) แสดงเหตุผลด้วยนะ?
1.c>2 --> แต่ C>2 ไม่ตัดกัน ข้อนี้ผิด
2.-4<c<-2 --> ข้อนี้ถูกเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ ( แต่ไม่ที่สุด?)
3.ไม่มีข้อใดถูก --> ถ้า ข้อ2.ไม่ใช่ข้อที่ถูกต้องที่สุด แล้ว แสดงว่าข้อนี้ต้อง ตอบ 3.
และ มีคำตอบที่ $-4\frac{1}{4} < c \leq -4$ ที่ทำให้ข้อ 1. และ 2. ผิด

แนะนำ : เมื่ออยู่ในห้องสอบเวลามีจำกัด ให้ดูคำถาม และเรื่องหมาย+/- ให้ดี
ข้อนี้ผมจึงแสดงวิธีที่ไม่คิดมาก และแสดงเหตุผลด้วยกราฟว่ามีคำตอบเดียว
(ใช้วิธีที่เหมือนที่คุณNongtum เฉลยใน #2 โดยผมวาดรูปให้ดูครับ)

เออ แทนค่าพอเข้าใจแล้วคะ แต่ปัญหาก็คือทำเจ้า 4 บรรทัดสุดท้ายไม่เป็นนี่แหละปัญหา คืออยากรู้แค่ว่าจุดที่กราฟตัด 2 จุด ที่ติดรากนะคะ คิดไม่เป็นนนนน
ช่วยหน่อยนะคะ

สมการที่ 1. y = $x^2 + c$ --> $x^2 = y - c$
สมการที่ 2. $y^2$ + $x^2$ = 4
ที่จุดตัดต้องสอดคล้องกับทั้งสองสมการ --> แทนค่าสมการที่ 1. ในสมการที่ 2.ได้
$y^2 + y - c = 4$ --> $y^2 + y -(c+4) = 0$
Hint, $y^2 + by + a = 0$ --> y = -$\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2-4a}{4}} $
(ถ้าค่าในรูท > 0 แล้วจะทำให้ y มีสองค่า(สองระดับ) รวมซ้ายขวาเป็น 4 จุด)

แต่ถ้า ค่าที่อยู่ในรูทเป็น 0 แล้วจะทำให้ y มีเพียงค่าเดียว รวมซ้ายขวาเป็น 2 จุดเท่านั้น

แบบที่ 1. $0 = \frac{b^2-4a}{4} = \frac{1^2+4(c+4)}{4}$ = 4c+17

แก้สมการแล้วจะได้ c = -$\frac{17}{4}$

แบบที่ 2. y = -$\frac{b}{2}$ = -$\frac{1}{2}$ และ $y^2$ + y -(c+4) = 0

แทนค่าแล้วจะได้ c = -$\frac{17}{4}$ เหมือนกันครับ

ขอบคุณมากคะทั้งคุณ puriwatt คุณ nongtum มากมากคะ